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辽宁省五校协作体2014届高三上学期期初考试 数学(文)试题 word版含答案


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1 、 已 知 集 合 M ? ?x ( ) A、 ?

? x2 y2 ? ? x y ? ? ? 1? , N ? ? y ? ? 1? , 则 M ? N ? 4 ? 3 2 ? ? 9 ?
C、

B、

?(3,0), (2,0)?
2 0 1 3

[?3,3]

D、 ?3,2?

2 、 已 知 复 数 z? (

i , 则 复 数 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 1? i

) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人, 则该样本中的老年职工人数为( )

A、9 C、27

B、18 D、36

4、已知 {a n } 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10 , 则 a1 a7 ? 2a3 a7 ? a3 a9 ? ( ) A、10 B、20 C、60 D、100 5、右图的算法中,若输入 A=192,B=22,输出的是( ) A、0 6、在区间 [? ( A、 ) B、1 C、2 D、4

? ?

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2 2 ? 1 2 2 3

1 3

B、

C、

D、

7、 给定命题 p : 函数 y ? sin(2 x ? 当 x ? k? ? ( ) A、 p ? q 是假命题 C、 p ? q 是真命题

?
4

) 和函数 y ? cos(2 x ?

?
2

3? 命题 q : ) 的图象关于原点对称; 4

, (k ? Z ) 时,函数 y ? 2 (sin 2 x ? cos 2 x) 取得极小值.下列说法正确的是

B、 ?p ? q 是假命题 D、 ?p ? q 是真命题

8、已知三边长分别为 3、4、5 的 ?ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆, P 为球面上一点, 若 点 P 到 ?ABC 的 三 个 顶 点 的 距 离 相 等 , 则 三 棱 锥 P ? ABC 的 体 积 为 ( ) A、5 B、10 C、20 D、30

9、函数 f ? x ? ? e ( )

? ?x4

的部分图象大致是

10、已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x ,正实数 a 、 b 、 c 满足 f (c) ? 0 ? f (a) ? f (b) ,若实数 d 是函 x 数 f ( x) 的一个零点,那么下列四个判断:① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .其中可
能成立的个数为 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3

11、?ABC 的外接圆的圆心为 O , 半径为 2 ,OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | , 则向量 CA 在

CB
( A、 ? 3 )















B、 3

C、 ? 3

D、 3

12、如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,设 ?DAB ? ? ,? ? 0, ) ,以 A,B 为焦 (

?

2

点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e 2 ,则( A、随着角度 ? 的增大, e1 增大, e1e2 为定值 B、随着角度 ? 的增大, e1 减小, e1e2 为定值 C、随着角度 ? 的增大, e1 增大, e1e2 也增大 D、随着角度 ? 的增大, e1 减小, e1e2 也减小 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ? 13、已知下列表格所示的数据的回归直线方程为 y ? 3.8x ? a ,则 a 的值为_______.



x y

2 251

3 254

4 257

5 262

6 266

14、若一个几何体的三视图如图所示, 则此几何体的体积为 .

a2 ? a ?1 15、设常数 a ? 0 ,若 9 x ? x
对一切正实数 x 成立, 则 a 的取值范围为________.

x2 16、点 P?x, y ? 在函数 y ? 3 1 ? 的图象上运动,则 2x﹣y 的最大值与最小值之比 4
为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 18、19、20、21 每题 12 分,22、23、24 每题 10 分。 17、已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (sin A ? sin B, sin C ) , 向量 n ? ( 2 sin A ? sin C , sin A ? sin B) ,m//n 共线. (I)求角 B ; (II)若 sin A ?

3 ,求 cosC 的值. 5

18、某公司欲招聘员工,从 1000 名报名者中筛选 200 名参加笔试,按笔试成绩择优取 50 名面 试,再从面试对象中聘用 20 名员工. (I)求每个报名者能被聘用的概率; (II)随机调查了 24 名笔试者的成绩如下表所示:

请你预测面试的分数线大约是多少? (III)公司从聘用的四男 a 、 b 、 c 、 d 和二女 e 、 f 中选派两人参加某项培训,则选派结果 为一男一女的概率是多少?
P

19、如图四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , 底面 ABCD 是平行四边形, ?ACB ? 90 , AB ? 2 , PA ? BC ? 1 , F 是 BC 的中点. (I)求证: DA ? 平面 PAC ; (II)试在线段 PD 上确定一点 G ,使 CG ∥平面 PAF , 并求三棱锥 A - CDG 的体积.
0

A

D

B

F

C

20、在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1 (?2,0), A2 (2,0) , 再取两个动点 N1 (0, m)、N 2 (0, n) 且 mn ? 3 . (I)求直线 A1 N 1 与 A2 N 2 交点的轨迹 M 的方程;

第 19 题图

(II) 已知 F2 (1,0) , 设直线 l : y ? kx ? m 与 (I) 中的轨迹 M 交于 P 、Q 两点, 直线 F2 P 、

F2 Q 的倾斜角分别为 ?、? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

21、已知函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 ( p ? R) . (I) p ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求函数 f ( x) 的极值; (III)若对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? p x ,求实数 p 的取值范围.
2 2

请考生在 A B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B , 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22、如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC、CD. (I)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (II)若 tan∠CED=

1 ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标

( 方程为 ? s in ? ?
。 0 ?? ?? )

?
4

)?

? x ? ?1 ? cos ? 2 a ,曲线 C2 的参数方程为 ? , ? 为参数, ( 2 ? y ? ?1 ? sin ?

(I)求 C1 的直角坐标方程; (II)当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数 a 的取值范围。

24、已知函数 f ( x) ? log 2 (| x ? 1| ? | x ? 5 | ?a). (I)当 a ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (II)当函数 f ( x) 的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围。

高三期初考试数学试题(文科) 一.选择题 1.C;2.A;3.B;4.D;5.C;6.A;7.B;8.A;9.C;10.C;11.D;12.B. 二.填空题 13. 242.8 ; 三.解答题 14. 4 ; 15.

1 [ ,?? ) ; 5

16.

?

4 . 5

18、解: (1)设每个报名者能被聘用的概率为 p ,依题意有:

P?

20 ? 0.02 . 1000

答:每个报名者能被聘用的概率为 0.02. ··············································· 分 ··············································2 (2)设 24 名笔试者中有 x 名可以进入面试,依样本估计总体可得:

50 x ,解得: x ? 6 ,从表中可知面试的切线分数大约为 80 分. ? 200 24
答:可以预测面试的切线分数大约为 80 分. ·········································· 分 ·········································5 (3)从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有: ( a, b ) ,( a, c ) , ( a, d ) ,(

a, e ) ,(

a, f ) ,(

b, c ) ,

( b, d ),( b, e ) ,( b, f ) ,( c, d ) ,( c, e ),( c, f ) ,( d , e ) ,( d , f ) ,( e, f ), 共 15 种. ····························································································8 分 ····························································································

选派一男一女参加某项培训的种数有( a, e )

, ( a, f )

, ( b, e ) ,( b, f ) ,

( c, e ),( c, f ) , ( d , e ) ,( d , f ),共 8 种, ·········································10 分 ········································

8 。 15 8 答:选派结果为一男一女的概率为 . 15
所以选派结果为一男一女的概率为 (不管缺几个“答” ,都只扣 1 分)

···················································12 分 ···················································

20、解: (Ⅰ)依题意知直线 A1 N1 的方程为: y ?

m ( x ? 2) 2 n 直线 A2 N 2 的方程为: y ? ? ( x ? 2) 2
2

① ②

设 Q( x, y ) 是直线 A1 N1 与 A2 N 2 交点,①×②得 y ? ? 由 mn ? 3

mn 2 ( x ? 4) 4
………4 分

整理得

x2 y 2 ? ?1 4 3

∵ N1 , N 2 不与原点重合 ∴点 A1 (?2, 0), A2 (2, 0) 不在轨迹M上

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? ?2 ) 4 3 (Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率存在且不为零,
∴轨迹M的方程为

………5分

联立方程 ? x 2 则

? y ? kx ? m ? 2 2 2 ,得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 设 P( x1 , y1 )、Q( x2 , y 2 ) , y2 ? ?1 ?4 3 ?

? 8k m ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? 4k 2 kx ? m kx ? m ? , k F2Q ? 2 ,且 k F2 P ? 1 ………7分 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 x 2 ? 4m ? 12 ? 3 ? 4k 2 ? k x ? m k x2 ? m ? ? 0 ……8分 由已知 ? ? ? ? ? ,得 k F2 P ? k F2Q ? 0 , ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 化简,得 2kx1 x2 ? (m ? k )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 0
代 入 , 得 2k

4m 2 ? 12 8mk (m ? k ) ? ? 2m ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ 整理得

m ? ?4k .

……10 分 ……12 分

∴直线 PQ 的方程为 y=k(x-4) ,因此直线 PQ 过定点,该定点的坐标为(4,0). 21、

22、解: (Ⅰ) 连结 OC ,因为 OA ? OB, CA ? CB ,则 OC ? AB . ························ 2 分 ························ 所以直线 AB 是⊙ O 的切线.···························································· 分 ···························································4 (Ⅱ)因为 AB 是⊙ O 的切线,所以 ?BCD ? ?E ,又 ?B ? ?B , 所以△ BCD ∽△ BCE ,所以 所以

BC BE CE , ? ? BD BC CD

BE EC 2 ······································································· ?( ) , ········································································8 分 BD CD 1 BE 因为 tan ?CED ? ,所以 ? 4 ,因为⊙ O 的半径为 3, BD 2 所以 BD ? 2 ,所以 OA ? 5 . ···························································10 分 ···························································
23、解: (Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? (

2 2 2 sin ? ? cos ? ) ? a, 2 2 2
………4 分
2

∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? a ? 0 .
2

(Ⅱ)曲线 C2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1(?1 ? y ? 0) ,为半圆弧, 如下图所示,曲线 C1 为一族平行于直线 x ? y ? 0 的直线,

当直线 C1 过点 P 时,利用

?1 ? 1 ? a 2

? 1 得 a ? ?2 ? 2 ,
B ?1

y
O

舍去 a ? ?2 ? 2 ,则 a ? ?2 ? 2 ,

P ?1 A

x

当直线 C1 过点 A 、 B 两点时, a ? ?1 , ∴由图可知,当 ?1 ? a ? ?2 ? 2 时,曲线 C1 与曲线 C2 有两个公共点. ………10 分 24、解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,要使函数 f (x) 有意义, 有不等式 x ? 1 ? x ? 5 ? 5 ? 0 成立,------------------① 当 x ? 1时,不等式①等价于 ?2 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 当 1 ? x ? 5 时,不等式①等价于 ?1 ? 0 ,∴无解 当 x ? 5 时,不等式①等价于 2 x ? 11 ? 0 ,即 x ? 综上函数 f (x) 的定义域为 (??, ) ? (

1 1 ,∴ x ? ; 2 2 11 11 ,∴ x ? ; 2 2
………5 分

1 2

11 , ??) . 2

(Ⅱ)∵函数 f (x) 的定义域为 R , ∴不等式 x ? 1 ? x ? 5 ? a ? 0 恒成立, ∴ 只 要

a ? ? x ? 1 ? x ? 5 ?m

i



n







? x ? 1 ? x ? 5 ? x ? 1 ? 5 ? x ? ( x ? 1) ? (5 ? x) ? 4
(当且仅当 ? x ? 1?? 5 ? x ? ? 0 时取等) 即 a ? (| x ? 1| ? | x ? 5 |) min ? 4 ,∴ a ? 4 . ∴ a 的取值范围是 (??, 4) .………10 分


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