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三角形中位线


旧知回顾
? 1、同学们,你们还记得前面我们学 习了哪些特殊的四边形? 2、它们都有哪些特殊的性质呢?

1、将一个直角三角形剪成两部分, 拼成一个平行四边形,并使这个平行四 边形的面积等于原三角形的面积.

1、将一个直角三角形剪成两部分, 拼成一个平行四边形,并使这个平行四 边形的面积等于原三角形的面积.

2、将一张任意三角形纸片剪成两部分, 并把它们拼成一个平行四边形;
A

B

C

怎样将一个三角形纸片剪成两部 分,使分成的两部分能拼成一个 平行四边形? (1)剪一个三角形,记为△ABC;
A

(2)分别取AB、AC的 中点D、E,连接DE; D (3)沿DE将△ABC 剪成两部分,并将 △ADE绕点E顺时 针旋转180°得四 B 边形BCFD.

E

F

C

四边形BCFD是平行四边形吗? 为什么?
A

四边形BCFD是平行四边形
E F 由中心对称的性质,知

D

B

C

FC=AD,∠CFE= ∠ADE. 又由∠CFE= ∠ADE, 得 AB∥FC;由DB=AD得DB=FC. 所以四边形BCFD是平行四 边形.

一、三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做

三角形的中位线 。
刚才的剪拼过程中我 D 们分别取了AB和BC的 中点D、E
B

A

E

C

图中,DE是△ABC的中位线,DE与BC有 怎样的位置关系和数量关系?为什么?
A 由中心对称得 △ADE≌△CFE D E
1 F 则EF=DE= 2DF

B

C

又由四边形BCFD是平 行四边形得 1 1 DE//BC,DE= DF= BC
2 2

二、三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边,并且

等于它的一半。
用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC, 位置关系 1 DE= BC. 数量关系 2
D

A

E

B

C

1、(1)已知:三角形的各边分别为 6cm,8cm, 12cm,则连接各边中点 13 所成三角形的周长为 ____ cm. (2)已知:三角形的周长为64cm,则连接 32 各边中点所成三角形的周长为 ____cm.

(3)△ABC的周长为a D、E、F分别为△ABC各边中点,△DEF的周长 1 a 为 2 ; 你发现了什么? G、H、I分别为△DEF各边中点,△GHI的周长 1 a 为 ; 4
像这样下去,第3个三角形的周长为 第n个三角形的周长为
1 a 2n
D H



1 a 8 A

;

G
I E

你还有什么想法?
B

F
C

2、如图:D、E、F分别是△ABC三 边的中点
A D B
● ●

E C



你能发现△DEF的面积与△ABC的面 积有什么关系吗?为什么?

F

已知:△ABC的面积为s,连接各边中点得 △A1B1C1,再连接△A1B1C1各边中点得 △A2B2C2 ……, A 则⑴第1次连接所得 1 S △A1B1C1面积=____ 4 A2 ⑵第2次连接所得 A1 C1 1 A3 C3 △A2B2C2面积=____ 16 S B2 B3 C2 ⑶第3次连接所得 1 △A3B3C3面积=____ B 64 S B1 C ⑷第n次连接所得 1 △AnBnCn面积=____ 4n S

次数 所得三角 形周长 所得三角 形面积

1

2

3

……
……

n

1 2 1 4

a
s

1 4

a
s

1 8
1 64

a
s

1 n 2
1 n 4

a
s

1 16

……

我们经常由特殊归纳出一般结论

2、如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°, D是斜边AB的中点,E是BC的中点。 (1)DE⊥BC吗?为什么? (2)若AB=10,DE=4,
D A

求△ABC 的面积

B

E

C

2、画出△ABC,作出它的所有中位线, 并指出一个三角形有几条中位线。
一个三角形共有三条中位线。

3、在上图中作出三角形的三条中线,并 说明中线和中位线有何不同。
三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点 的线段

课后想想你还有什么解决办法? 如图,A、B两地被建筑物阻隔,为测量 A、 B两地间的距离,在地面上选一点C,连接 CA和CB,分别取CA和CB的中点D、E。
⑴若DE的长为36m, 求A、B两地间的距离;
36m

⑵如果D、E两点间 还有阻隔,你有什么解决的办法?

如图,在四边形ABCD中,E、F、G 、H 分 别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形 EFGH是平行四边形吗?为什么? 1、你还有其他的 说明方法吗?
A E B F H

D G
C

变题1、若四边形ABCD从普通形状变成平 行四边形,其它条件不变,则四边形 EFGH的形状会变化吗?为什么? 不变化
E B F A H G D

C

你觉得四边形EFGH的形状和什么有关?

变题2:如图,在四边形ABCD中,若其他条 件不变,能使四边形EFGH变成菱形吗?此 时需要添加什么条件? 对角线AC=BD 若要变成矩形呢? 对角线AC⊥BD
B F C E A H

D G

若要变成正方形呢?

顺次连接四边形各边中点所得四边形的形 状关键取决于什么? 结论: 顺次连接四边形各边中点所得四边形的形 状只与对角线的位置和数量关系有关。 归纳: ? 连接任意四边形各边中点所得的四边形一 定是平行四边形, ? 若对角线相等,则新四边形是菱形; ? 若对角线互相垂直,则新四边形是矩形; ? 若对角线相等且互相垂直,则新四边形是 正方形;

考考你

1、顺次连结等腰梯形四边中点所得 菱形 的四边形是—————— 2、顺次连结矩形四边中点所得的四 菱形 边形是—————— 3、顺次连结菱形四边中点所得的四 矩形 边形是——————
4、顺次连结正方形四边中点所得的 正方形 四边形是—————

? 如图,在矩形ABCD中,R、P分别是DC、 BC上的点,E、F分别是AP、PR的中点, 当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动 时,那么线段EF的长度如何变化?
A E D R

F
B

P

C


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