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广州市越秀区2010届高三理科数学高考模拟试题(一)


广州市越秀区 2010 届高三理科数学高考模拟试题(一)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集 I 为 R, A ? {x || x ? 1 |? 2}, B ? {x | y ? lg( x ? 2)}

,则下图 1 中阴影 部分表示的集合为 A. {x | x ? 2} B. {x | 2 ? x ? 3} C. {x | ?1 ? x ? 2} D. {x | x ? 3} 图1

x2 y 2 2.双曲线的方程为“ ? ? 1 ”是“双曲线的离心率为 3 ”的 4 8
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.设 ? ? ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 3 ? i, 则1 ? ? = 2 2
B. ?
2

A. ? ?

C.

1

?

2

D. ?

1

?

4.向量 a ? (1,2) , b ? (x,1) , c ? 2a ? b , d ? 2a ? b ,若 c // d ,则实数 x =

1 1 1 1 B. ? C. D. ? 2 2 6 6 5.有两排座位,前排 4 个座位,后排 5 个座位,现安排 2 人入座,并且这 2 人不相邻(一前一后也视为不相邻), 那么不同坐法的种数为 A. 26 B. 29 C.49 D.58
A. 6.要得到函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图像沿 x 轴

? 个单位 2 ? C.向右平移 个单位 4
A.向右平移

? 个单位 2 ? D.向左平移 个单位 4
B.向左平移 Y ①

开始 输入 x

7.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为:不 超过 50 kg 按 0.53 元/ kg 收费,超过 50 kg 的部分按 0.85 元/ kg 收 费.相应收费系统的流程图如右图所示,则①处应填 A. y ? 0.85x C. y ? 0.53x B. y ? 50 ? 0.53 ? ( x ? 50) ? 0.85 D. y ? 50 ? 0.53 ? 0.85x

x ? 50

N ②

输出 y 结束

8.曲线 y ? ln(2 x ? 1)上的点到直线2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离为 A. 5 B.2 5 C.3 5 D.0

图2

2010 广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 1 页 共 9 页

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.若 PQ 是圆 x ? y ? 9 的弦, PQ 的中点是 (1, 2) ,则直线 PQ 的方程是
2 2

. .

10.不等式 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0对一切x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是
x x

11.一个几何体的三视图如图 3 所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是 12.若数列 {an } 的通项公式 an ? . 图3

1 ,记 f (n) ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) , (n ? 1) 2
. .

试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? 13. 已知函数 f ( x) ? (1 ? x) ,则 f ( x) 中 x 的系数为
8
'

3

选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题;二道题都做的,只记第一道题的分)
14. (坐标系与参数方程选做题)直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 ?

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数) 没有公共点,则实数 ? y ? ?2 ? sin ?

. m 的取值范围是 15. (几何证明选讲选做题)如图 4,过点 D 作圆的切线切于 B 点, 作割线交圆于 A、C 两点,其中 BD=3,AD=4,AB=2, 则 BC= . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 图4 16. (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,已知内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量 m ? (2sin( A ? C ), 3), ,

??

? ? ?? ? B ? n ? ? cos 2 B, 2 cos 2 ? 1? 且向量 m , n 共线. 2 ? ? (1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 1,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值.

2010 广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 2 页 共 9 页

17. (本小题满分 12 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

1 .现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 7

1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个 球在第一次被取出的机会是等可能的,用 ? 表示取球终止时所需要的取球次数.求: (1)袋中原有白球的个数; (2)随机变量 ? 的数学期望; (3)甲取到白球的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图 5,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC 为等腰直角三角形,

?BAC ? 90 0 , AB ? AA1 , D, E, F 分别为 B1 A, C1C , BC 的中点. (1)求证: DE ∥平面 ABC ; (2)求证:平面 B1 FA ? 平面 AEF ; (3)求二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值.
图5

2010 广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 3 页 共 9 页

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,短轴长与焦距相等,直线 x ? y ? 1 ? 0 与 E 相交于 A, B 两点,与 x 轴相交于 C 点,且 AC ? 3CB . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)如果椭圆 E 上存在两点 M , N 关于直线 l : y ? 4 x ? m 对称,求实数 m 的取值范围.

????

??? ?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a ln x
2

(1)若 f ( x) 是区间(0,1)上单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 ?t ? 1, f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 ,求实数 a 的取值范围。

2010 广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 4 页 共 9 页

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 是等差数列, a2 ? 6, a5 ? 18 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和是 Tn ,且 Tn ? (Ⅰ) 求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅲ) 记 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

1 bn ? 1 . 2

2010 广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 5 页 共 9 页

广州市越秀区 2010 届高三理科数学高考模拟试题(一)答案
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A

解题提示: 设曲线 y ? ln(2 x ?1) 的一条切线为 2 x ? y ? c ? 0 , 8. 切点为点 P( x, y ) , y ' ? 则

2 ? 2, 2x ?1

? x ? 1 ,代入 y ? ln(2 x ?1) 得 y ? 0 ,所以切点坐标为 P(1,0) ,则点 P 到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 距离为
所求,所以 d ?

2?3 22 ? (?1) 2

? 5.

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. x ? 2 y ? 5 ? 0 10. [?2, ??) 11.

3 ? 6

12.

n?2 n ?1

13. 280

14. (??,0) ? (10, ??)

15.

3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由向量 m , n 共线有: 2sin( A ? C ) ? 2 cos 即 tan 2 B ? 3 ,又 0 ? B ? 则 2B =
? ?

?
2

? ?

2

B ? ? 1? ? 3 cos 2 B, 2 ?

,所以 0 ? 2B ? ? ,

? ? ,即 B ? . 6 3
2 2 2
2 2

??????????????6 分

(2)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B, 则 1 ? a ? c ? 3ac ? (2 ? 3)ac , 所以 ac ? 2 ? 3, 当且仅当 a ? c 时等号成立 , 所以 S?ABC ?

1 1 ac sin B ? (2 ? 3) . ??????????????12 分 2 4

17. (本小题满分 12 分)
n ? n ? 1? n ? n ? 1? 2 解: (1)设袋中原有 n 个白球,由题意知: 1 ? C ? ? 7?6 7 C 7?6 2
2 n 2 7

∴ n ? n ? 1? ? 6 ,解得 n ? 3 或 n ? ?2 (舍去) ,即袋中原有 3 个白球.?????4 分 (2)由题意, ? 的可能取值为 1,2,3,4,5,

P ?? ? 1? ?

3 4?3 2 4 ? 3? 3 6 , P ?? ? 2 ? ? , ? , P ? ? ? 3? ? ? 7 7?6 7 7 ? 6 ? 5 35 4 ? 3? 2 ? 3 3 4 ? 3 ? 2 ? 1? 3 1 , P ?? ? 5 ? ? . ?????6 分 P ?? ? 4 ? ? ? ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 35
2010 广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 6 页 共 9 页

所以,取球次数 ? 的分布列为:

?

1

2

3

4

5

P

3 7

2 7

6 35

3 35

1 35

3 2 6 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 2 . 7 7 35 35 35

??????????????8 分

(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次,第 3 次和第 5 次取球,记“甲取到 白球”的事件为 A,则 P ? A ? ? P ?“ ? ? 1” 或“ ? ? 3” 或“ ? ? 5” 因为事件 “ ? ? 1” “ ? ? 3” “ ? ? 5” 两两互斥,所以
P ? A? ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 3? ? P ?? ? 5? ? 3 6 1 22 .??12 分 ? ? ? 7 35 35 35

?,

18. (本小题满分 14 分) 解: A 为原点, 以 以射线 AB、 AC、AA1 分别为 x、 z 的正半轴建立空间直角坐标系, AB=AC= AA1 =2, y、 由 可知各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1) ??2 分 (1)? DE ? ?? 1,2,0 ?, 设点 G(-1,2,0) ,则 AG ? (?1,2,0) ????5 分 DE ? 平面ABC ? DE ∥平面 ABC ? DE ∥ AG , AG ? 平面ABC , ???? ? ??? ? ??? ? B (2) 证明:1 F ? ? ?1,1, ?2 ? , EF ? ?1, ?1, ?1? , AF ? ?1,1, 0 ? , ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? ??B1 F ? EF ? (?1) ? 1 ? 1? (?1) ? (?2) ? (?1) ? 0, B1 F ? AF ? (?1) ? 1 ? 1? 1 ? 21? 0 ? 0, ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? B1 F ? EF , B1 F ? AF , 又AF ? EF ? F ,? B1F ? 平面AEF, B1F ? 平面B1FA ?

? 平面B1FA ? 平面AEF .
(3)由(2)可知:

?????????????????????9 分

???? ? B1 F ? ? ?1,1, ?2 ? 是平面AEF的一个法向量,设二面角B1 ? AE ? F的大小为?, ? 根据已知得? 为锐角,设平面AEB1的一个法向量为n ? ? x, y,1? , ? ??? ? ??? ? ???? ? n ? AE ? 0 ? ? AE ? ? 0, 2,1? , AB1 ? ? 2, 0, 2 ? 且 ? ? ???? , n ? AB1 ? 0 ? ? ? ???? ? 1 ? ? n ? B1 F ?2 y ?1 ? 0 1 ? 6 ?y ? ? ? ?? , 解得 ? .??????14 分 ? 2 ,? n ? ? ?1, ? ,1? ,? cos ? ? ? ???? ? 2 ? 6 ? n B1 F ?2 x ? 2 ? 0 ? x ? ?1 ?

19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 解: (Ⅰ)设所求的椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1(c ? 0) , ???1 分 2c c A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,将 y ? 1 ? x 代入椭圆得 3x2 ? 4 x ? 2 ? 2c2 ? 0 , ???2 分 ???? ??? ? x ? 3x2 ∵ AC ? 3CB ,又 C (1,0) ,∴ 1 ???3 分 ? 1, 4
2010 广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 7 页 共 9 页

? x1 ? 3 x2 ?1 ? 4 ? 4 ? ∴ ? x1 ? x2 ? , ???4 分, 3 ? ? 2 ? 2c 2 x1 ? x2 ? ? 3 ?
∴所求的椭圆 E 的方程为

? x1 ? 0 ? 4 ? ? ? x2 ? , 3 ? ?c ? 1 ?

???5 分

x2 ? y 2 ? 1. 2 x2 x2 2 2 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,则 1 ? y1 ? 1 , 2 ? y2 ? 1 , 2 2 1 x0 1 又设 MN 的中点为 ( x0 , y0 ) ,则以上两式相减得: ? ?? , 2 y0 4
? y0 ? 2 x0 ∴? ,???9 分, ? y0 ? 4 x0 ? m
又点 ( x0 , y0 ) 在椭圆内,∴

???6 分 ???7 分 ???8 分

m ? ? x0 ? ? ?? 2 , ? y0 ? ?m ?

???10 分

2 x0 2 ? y0 ? 1 , 2 2 1 m 2 2 2 2 ?m? 即, ? . ? m2 ? 1 ,∴ ? 3 3 2 4

???12 分 ???14 分

20. (本小题满分 14 分) 解:解: (1) f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

a ,? f ( x) 在(0,1)上单调, x

??x(0,1), f ?( x) ? 0或?x ? (0,1) , f ?( x) ? 0 ,
? a ? ?2( x 2 ? x)或a ? ?2( x 2 ? x) ,从而 a ? 0或a ? ?4
2

??????6 分 ①

(2)因为 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 ? 2(t ? 1) ? 2a ln t ? a ln(2t ? 1) ? 0 令 g (t ) ? 2(t ? 1) ? 2a ln t ? a ln(2t ? 1)
2

[

则 g ?(t ) ? 4(t ? 1) ?

2a 2a 2(t ? 1)[2t (2t ? 1) ? a] ? ? t 2t ? 1 t (2t ? 1)

当 a ? 2 时,? t ? 1,?t ? 1 ? 0, 2t (2t ? 1) ? 2 ,? g ?(t ) ? 0对t ? 1 恒成立,

? g (t )在 ?1, ?? ? 上递增,? g (t ) ? g (1) ? 0 ,即 1 式对 t ? 1 恒成立,
当 a ? 2 时,令 g ?(t ) ? 0且t ? 1 ,解得 1 ? t ?

1 ? 1 ? 4a 4

于是, g (t )在[1,

1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ] 上递减,在 [ , ??] 上递增, 4 4
2010 广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 8 页 共 9 页

从而有 g (

1 ? 1 ? 4a ) ? g (1) ? 0 ,即①式不可能恒成立, 4

综上所述 a ? 2. ?????????????14 分 21. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设 ? an ? 的公差为 d ,则: a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , ∵ a2 ? 6 , a5 ? 18 ,∴ ?

?a1 ? d ? 6 ,∴ a1 ? 2, d ? 4 . ?????????2 分 ?a1 ? 4d ? 18
????????????????4 分

∴ an ? 2 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 2 . (Ⅱ)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ,由 T1 ?

1 2 ???????5 分 b1 ? 1 ,得 b1 ? . 2 3 1 1 当 n ? 2 时,? Tn ? 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2 1 1 ∴ Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) ,即 bn ? (bn ?1 ? bn ) . ??????????7 分 2 2 1 ∴ bn = bn ?1 . ???????????????????????8 分 3 2 1 ∴ ?bn ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. ?????????????9 分 3 3 2 1 n?1 1 n (Ⅲ)由(2)可知: bn ? ? ( ) ? 2 ? ( ) . ???????????10 分 3 3 3 1 n 1 n ∴ cn ? an ? bn ? (4n ? 2) ? 2 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) . ?????????????11 分 3 3
∴ Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 ? cn ? 4 ? ( ) ? 12 ? ( ) 2 ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) n ?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n .

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 1 1 1 Sn ? 4 ? ( )2 ? 12 ? ( )3 ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) n ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 . 3 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n?1 ∴ Sn ? Sn ? Sn ? 4 ? ? 8 ? ( ) ? 8 ? ( ) ? ? ? 8 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ( ) 2 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 4 1 3 ? ? 8? 3 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 1 3 3 1? 3 8 1 1 ? ? 4 ? ( )n ? (8n ? 4) ? ( ) n?1 . 3 3 3 1 n ∴ Sn ? 4 ? 4(n ? 1) ? ( ) . ????????????????14 分 3


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