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2014安徽省数学(文)卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试


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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文)
第 ? 卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设 i 是虚数单位,复数 i ?

3

2i ?( 1? i
C. ? 1

) D. 1 )

A. ? i

B. i

2. 命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 3.抛物线 y ? A. y ? ?1
2

B. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 ) C. x ? ?1 D. x ? ?2 )
2

1 2 x 的准线方程是( 4
B. y ? ?2

4.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( A.34 B.55 C.78 D.89

5.设 a ? log3 7, b ? 23.3 , c ? 0.8, 则( A. b ? a ? c B. c ? a ? b

) D. a ? c ? b
2

C. c ? b ? a
2

6. 学科网过点 P 的直线 l 与圆 x ? y ? 1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (? 3,?1 ) ( )

(0, ] A. 6

?

(0, ] B. 3

?

C. [0, ]

?

6

D. [0, ]

?

3

7.若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的最小正 值是( A. ) B.

? 8

? 4

C.

3? 8

D.

3? 4


8.一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是(

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A.

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C. 6 D.7

23 3

B.

47 6

9.若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B. ? 1 或 5 C. ? 1 或 ? 4 D. ? 4 或 8



10.设 a , b 为非零向量,b ? 2 a , 两组向量 x1, x2 , x3 , x4 和 y1, y2 , y3 , y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成, 若 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 所有可能取值中的最小值为 4 a ,则 a 与 b 的夹角为( A. ?
2



2 3

B.

? 3

C.

? 6

D.0

第 ? ? 卷(非选择题 共 100 分) 二.选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

5 4 ? 16 ? 4 11. ? ? +log 3 ? log 3 ? ________. 4 5 ? 81 ?
12.如图,学科网在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC ? 2 2 ,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A 1 ;过 点A 1 作 AC 的垂线,垂足为 A2 ;过点 A2 作 AC 3 ;?,以此类推,设 BA ? a1 , 1 的垂线,垂足为 A

?

3

AA1 ? a2 , A1 A2 ? a3 ,?, A5 A6 ? a7 ,则 a7 ? ________.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域的面积为________. ?x ? 3y ? 2 ? 0 ?

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? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ,则 ?sin ?x, 1 ? x ? 2

14.若函数 f ?x ??x ? R ? 是周期为 4 的奇函数,且在 ?0,2? 上的解析式为 f ?x ? ? ?

? 29 ? ? 41? f ? ? ? f ? ? ? _______ ? 4? ?6?
15.若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: 则称直线 l 在点 P (i) 直线 l 在点 P?x0 , y0 ?处与曲线 C 相切;(ii ) 曲线 C 在 P 附近位于直线 l 的两侧, 处“切过”曲线 C . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线 l : y ? 0 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? x 2 ②直线 l : x ? ?1 在点 P?? 1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ( x ? 1) ③直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? sin x ④直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? tan x ⑤直线 l : y ? x ? 1 在点 P?1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ln x
2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内 16.(本小题满分 12 分) 设 ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,且 b=3,c=1,△ABC 的面积为 求 cosA 与 a 的值; 17、 (本小题满分 12 分) 某高校共有 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情 况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时) (Ⅰ)应收集多少位女生样本数据? (Ⅱ)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示) ,其中 样本数据分组区间为: 均体育运动时间超过 4 个小时的概率. .估计该校学生每周平

2

(Ⅲ)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平均体育运动

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时间与性别的列联表, 并判断是否有 附:

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的把握认为 “该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” .

18.(本小题满分 12 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N ? (1) 证明:数列 {

an } 是等差数列; n

(2) 设 bn ? 3n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

19(本题满分 13 分) 如图, 学科网四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 8 的正方形, 四条侧棱长均为 2 17 .点 G, E , F , H 分别 是棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD , BC // 平面 GEFH . (1)证明: GH // EF; (2)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积.

20(本小题满分 13 分)
2 3 设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x ? x ,其中 a ? 0

(1) 讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (2) 当 x ? [0,1] 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值. 21(本小题满分 13 分)

x2 y E ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两 设F , 分别是椭圆 : F 1 2 a 2 b2
点, | AF 1 |? 3| BF 1| (1) 若 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; (2) 若 cos ?AF2 B ?

2

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

安徽文数答案

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一选择题 1.D 2.C 二填空题 11. 12. 13. 14.

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3.A 4.B 5.B 6.D 7.C 8.A 9.D 10.B

27 8 1 4
4

5 16

15. ①③④ 三、解答题 16 解: 由三角形面积公式,得 因为 sin 2 A ? cos2 A ? 1 , 所以 cos A ? ? 1 ? sin 2 A ? ? 1 ? ( ① 当 cos A ?

1 2 2 ? 3 ? 1 ? sin A ? 2 ,故 sin A ? 2 3

2 2 2 1 ) ?? 3 3

1 时,由余弦定理得 3

1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ?1? ? 8 , 3
所以 a ? 2 2 ② 当 cos A ? ?

1 时,由余弦定理得 3

1 a 2 ? b 2 ? c2 ? 2bc cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ?1? (? ) ? 12 , 3
所以 a ? 2 3 17 解: (Ⅰ ) 300 ?

4500 ? 90 ,所以应收集 90 位女生的样本数据。 15000

(Ⅱ )由频率分布直方图得 1 ? 2 ? (0.100 ? 0.025) ? 0.75 ,所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75 。 (Ⅲ )由(Ⅱ )知,300 为学生中有 300 ? 0.75 ? 225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的 每周平均体育运动时间不超过 4 小时, 又因为样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的,

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所以每周平均运动时间与性别列联表如下:

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每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 每周平均体育运动时间 不超过 4 小时 每周平均体育运动时间 超过 4 小时 总计 结合列联表可算得 210 90 300 165 60 225 45 女生 30 总计 75

K2 ?

300 ? 22502 100 ? ? 4.762 ? 3.841 75 ? 225 ? 210 ? 90 21

所以,有 95% 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”。 18 (Ⅰ )证:由已知可得 所以 {

an ?1 an a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 n ?1 n n ?1 n

an a } 是以 1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列。 1 n an ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ,从而 bn ? n ? 3n n

(Ⅱ )解:由(Ⅰ )得

1 2 Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ? 3 3 ? 3

? n?

n

3



3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ?
① -② 得:

? (n-1 ) ? 3n ? n ? 3n+1
? 3n ? n ? 3n +1



?2Sn ? 31 ? 32 ? 33 ? ?

3 ? (1 ? 3n ) ? n ? 3n +1 1? 3 (1 ? 2n) ? 3n +1 ? 3 ? 2
所以 Sn ? 19 (Ⅰ )证:因为 BC∥ 平面 GEFH, BC ? 平面PBC ,且 平面PBC 所以 GH∥ BC。同理可证 EF∥ BC,因此 GH∥ EF。

(2n ? 1) ? 3n +1 ? 3 4
平面GEFH ? GH ,

(Ⅱ )解:连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO ? AC ,同理可得 PO ? BD

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又 BD

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AC=O ,且 AC、BD 都在底面内,所以 PO ? 平面ABCD

又因为 平面GEFH ? 平面ABCD 且 PO ? 平面GEFH ,所以 PO //平面GEFH , 因为 平面PBD 平面GEFH ? GK 所以 PO ∥ GK,且 GK ? 平面ABCD ,从而 GK ? EF 。 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB ? 8, EB ? 2 得 EB : AB ? KB : DB ? 1: 4 从而 KB ?

1 1 DB ? OB ,即 K 为 OB 的中点。 4 2

再由 PO∥ GK 得, GK ?

1 1 PO ,即 G 为 PB 的中点,且 GH ? BC ? 4 2 2
PB 2 ? OB 2 ? 68 ? 32 ? 6

由已知可得 OB ? 4 2, PO ? 所以 GK ? 3 故四边形 GEFH 的面积 S ? 20

GH ? EF 4?8 ? GK ? ? 3 ? 18 。 2 2

解: (Ⅰ ) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f '( x) ? 1 ? a ? 2 x ? 3x2 令 f '( x) ? 0 得 x1 ?

?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , x2 ? , x1 ? x2 3 3

所以 f '( x) ? ?3( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 x ? x1 或 x ? x2 时 f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时 f '( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 内单调递减,在 ( x1 , x2 ) 内单调递增。 (Ⅱ )∵a ? 0 ,∴x1 ? 0, x2 ? 0 (1)当 a ? 4 时 x2 ? 1 ,由(Ⅰ )知 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增 ∴ f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处分别取得最小值和最大值。 (2)当 4 ? a ? 0 时, x2 ? 1 , 由(Ⅰ )知 f ( x ) 在 [0, x2 ] 上单调递增,在 [ x2 ,1] 上单调递减 ∴ f ( x ) 在 x ? x2 ?

?1 ? 4 ? 3a 处取得最大值 3

又 f (0) ? 1, f (1) ? a ∴ 当 1 ? a ? 0 时 f ( x ) 在 x ? 1 处取得最小值 当 a ? 1 时 f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处同时取得最小值

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当 4 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最小值。 21

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解: (Ⅰ )由 | AF 1 |? 3| F 1B |, | AB |? 4 得 | AF 1 |? 3, | F 1B |? 1 。 因为 ?ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a ? 16, | AF 1 | ? | AF 2 |? 2a ? 8 故 | AF2 |? 2a? | AF 1 |? 8 ? 3 ? 5 。 (Ⅱ )设 | F1B |? k ,则 k ? 0 且 | AF 1 |? 3k , | AB |? 4k ,由椭圆定义可得

| AF2 |? 2a ? 3k , | BF2 |? 2a ? k
在 ?ABF2 中,由余弦定理可得

| AB |2 ?| AF2 |2 ? | BF2 |2 ?2 | AF2 | ? | BF2 | ? cos ?AF2 B
2 2 2 即 (4k ) ? (2a ? 3k ) ? (2a ? k ) ?

6 (2a ? 3k ) ? (2a ? k ) 5

化简可得 (a ? k ) ? (a ? 3k ) ? 0 ,而 a ? k ? 0 ,故 a ? 3k 于是有 | AF2 |? 3k ?| AF 1 |, | BF 2 |? 5k , 因此 | BF2 |2 ?| AF2 |2 ? | AB |2 ,可得 AF1 ? AF2 故 ?AF 1F 2 为等腰直角三角形。从而 c ? 所以椭圆的离心率 e ?

2 a 2

c 2 。 ? a 2

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