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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象精品课件


§1.5 函数 y ? A sin(? x ? ? )

的图象

情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动,它在t时刻与 相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x

O

0.01 0.02

0.03

-5

其函

数解析式形如

y ? A sin(? x ? ? )

合作探究
(一)探索?对y ? sin x ? ? ), x ? R的图象的影响. (

1.作函数y ? sin x ? )的图象,观察它 ( 3 与函数y ? sin x图象有怎样的关系?

?

函数y ? sin x ? )在一个周期内的简图. ( 3
x

?
? ?

-

?

x?

?
3

3 0
0

6

2? 3

?
0

sin(x ? ) 3 描点作图:

?

2 1 y

7? 6 3? 2 -1

5? 3 2?
0

1
?
-

?
3

o

π
6

-1

2? 3

?

7? 6

5? 3

2?

x

合作探究
(一)探索?对y ? sin x ? ? ), x ? R的图象的影响. (

2.作函数y ? sin x- )的图象,观察它 ( 4 与函数y ? sin x图象有怎样的关系?

?

2.作出函数y ? sin x - )在一个周期的闭区间上的简图. ( 4
x
x-

?

?
4

3? 4

5? 4

?
4

0
0

?
2

?
0

7? 4 3? 2

9? 4

2?
0

sin( x - ) 4

?

1

-1

描点作图:
? 2

y 1
? ? 4 2
3? 4

7? 4
?

9? 4
2?

O

-1

5? 4

x

y ? sin( x - ) 4

?

y
? 2

y ? sin x
7? 6

1
? 3

3? 2
5? 4

7? 4

9? 4
2?

O

-1

? ? ? 2? 3? ? 6 4 2 3 4

5? 3

x

y ? sin( x ?

?
3

)

y ? sin( x - ) 4

?

对于φ取不同的值情况如何呢?

归纳:
?对y ? s in x ? ? ), x ? R的图象的影响. (

函数y ? sin x ? ? )的图象可看作是把函数 ( y ? sin x的图象上的所有点向左 ?当? >0时? 或向右 ?当? ? 0时? 平移 ? 个单位得到.

合作探究

(二)探索?(? ? 0)对y ? sin ? x ? ? )的图象的影响. (
例如:函数y ? sin x ? ) (2 3 ?

?

对比函数y ? sin x ? )与函数y ? sin x ? )的简图, (2 ( 3 3 通过点的运动演示,寻找规律.

?

3.作出函数y ? sin x ? )在一个周期的闭区间 (2 3 上的简图.
列表:

?

x
2x ?

? 6

? 12

? 3

7? 12

5? 6

?
3
?
3 )

0 0

? 2

? 0

3? 2

2? 0

sin x ? (2

1

-1

描点作图:
1
? 2
-

y
5? 6
?

?
6

O

? 12

7? 12

-1

? 3

x

对 ? ?1 多次取值实验演示,寻找规律:

归纳:
?(? ? 0)对y ? sin ? x ? ? )的图象的影响. (
y ? sin ? x ? ? )的图象可看作是把y ? sin x ? ? )的 ( ( 图象上所有点的横坐标缩短( 当? ? 1时 )或 1 伸长(当0 ? ? ? 1时)为原来的 倍(纵坐标不变) ? 而得.

合作探究

(三)A(A>0)对 y ? A sin(? x ? ? )
的图象的影响.
作函数y=3sin(2x+
?
3

)的图象,

? 并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.

归纳(三)

y ? A sin(? x ? ? )
的图象可以看作是把 y ? sin(? x ? ? )
图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)

或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐
标不变)而得到。值域是[-A,A]。

练习:考虑下列函数是由函数y=sinx通过 何种办法变化而来?

3 3? (1) y ? sin x;(2) y ? sin 4 x;(3) y ? sin( x - ); 5 4 1 ? (4) y ? sin( x);(5) y ? sin( x ? );(6) y ? 4sin x 3 2 (7) y ? 3 ? 2sin x

1 ? 例1:画出函数 y ? 2sin( x - ) 3 6
在长度为一个周期的闭区间上的简

图,并说明它是由y=sinx如何变 化而来的?

例2. 用五点法作出函数 y ? 2 sin( 2 x ? ) 3 的图象,并指出函数的单调区间。 解:(1)列表
x

?

-

?
6
0 0

?
12

?
?

2x ?
y

?
3

?

3

2
2 0

7? 12 3? 2
-2

5? 6 2?
0

(2)描点 (3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:

由y ? sin x 到y ? A sin(? x ? ?)的图象变换步骤
步骤1

画出y ? sin x在?0, ?上的简图 2?
沿x轴 平行移动

步骤2

得到y ? sin( x ? ? )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短

步骤3

得到y ? sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
纵坐标 伸长或缩短

步骤4

得到y ? A sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
沿x轴 扩展

步骤5

得到y ? A sin( ?x ? ? )在R上的图象

y ? A sin( ?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0)在简谐 运动中的相关概念: (1) A 振幅 2? ( 2)T ? 周期 ? 1 ? ( 3) f ? ? 频率 T 2? (4)?x ? ? 相位
(5)?

初相

用两种方法将

y ? sin x

2 y ? sin x ? ??????? ?

横坐标缩短到原来的 纵坐标不变

? 图象变换为 y ? sin( 2 x ? ) 图象。 3 1
?

解法1:

y ? sin2 x
解法2:

向左平移 个单位 6 ???????

y ? sin[2( x ?

?

y ? sin x
y ? sin( x ?

向左平移 个单位 3 ???????

6

)] ? sin(2 x ?
?

?

3

)

?

3 ? y ? sin( 2 x ? ) 3

)

1 2 ? ??????? ? 纵坐标不变 横坐标缩短到原来的

例.用五点法作出下列函数图象:

(1) y=2sinx

解:

x

0

? 2

?

3? 2? 2

1 (2) y= sinx 2
y 2 1
1

sinx 0 2sinx 0
1 sin x 0 2
3? 2 ? 2

1 2
1 2

0 -1 0 -2 0
1 2

0 0 0
y=2sinx

-2?

-?

o1 -1 2 -2

2

x
2?
1 y= sinx 2

?

---振幅变换

(3) y=sin2x
解: x
2x

0
0

? 4 ? 2

? 2

?

3? 4 ? 3? 2? 2

1 (4) y=sin x 2
x
1 x 2 1 sin x 2

0 0

? 2? 3? 4?
? 2

?

3? 2? 2

sin2x 0 y 1 o -1
? 4 ? 2

1

0 -1

0

0

1

0 -1

0

3? 4

?

3? 2

x
2?
5? 2

3?

7? 2

4?

y=2sinx

---周期变换

1 y=sin x 2

? (5) 例 y=2sin(2x- ) 6
解:
x
? 2x 6 ? 2sin(2x- ) 6 ? 12

0

1 横坐标变为原来的 2 y=sinx y=sin2x 纵坐标不变 ? 7 ? 5 ? 13? ? 3 12 6 12 ? 向右平移 12 ? ? 3? y=sin[2(x- )] =sin(2x- ) 2? 12 2 ? 2 6

0 2 0 -2 0 y 2

纵坐标变为原来的2倍 ? y=2sin(2x- ). 横坐标不变 6

o

x
? 12 ? 3 7? 12 5? 6 13? 12

-2

1.对于函数 y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0):
A --- 振幅, T ? 2? --- 周期, f ? 1 --- 频率,
? T

?x+? --- 相位, 2.图象的变换:

? --- 初相.

周期变换 (1)伸缩变换 (2)平移变换

振幅变换
左右平移

( ----- 形状变换) ( ----- 位置变换)

1 向左(?>0)或向右(?<0) y=sin(x+?) 横坐标变为原来的? 倍 y=sin(?x+?) y=sinx 平移???个单位 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(?x+?) 横坐标不变

上下平移 ? y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0) 的图象可由y=sinx经过如下变换得到: ?

? y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0) 的图象可由y=sinx经过如下变换得到: ?
1 向左(?>0)或向右(?<0) y=sin(x+?) 横坐标变为原来的? 倍 y=sin(?x+?) y=sinx 平移???个单位 纵坐标不变

纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(?x+?) 横坐标不变

或:
1 横坐标变为原来的? 倍 y=sin?x 向左(?>0)或向右(?<0) y=sin?(x+ ? ) y=sinx ? 平移? ? ?个单位 纵坐标不变

?

=sin(?x+?)

纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(?x+?) 横坐标不变

? 例. 如图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,确定A、 、 的值。
解:显然A=2 T ? ? - ( - ) ? ? 6 6 2? 2? ?? ? ? ? 2 ? y ? 2 sin(2 x ? ? ) T ? ? ? 解法1:由图知当 x ? - 时,y=0 故有 2 x ? ? ? 2 ? ( - ) ? ? ? 0 6
5

?

?

?? ?

?

? 解法2:由图象可知将 y ? 2 sin 2 x 的图象向左移 6? ? ? 即得 y ? 2 sin 2( x ? 6 ) ,即 y ? 2 sin( 2 x ? ) ? ? ? 3 ? 3 所求函数解析式为 y ? 2 sin( 2 x ? ) 3

3

?所求函数解析式为 y ? 2 sin(2 x ? 3 )

6

?

?

例2、某简谐运动图象 如图.试根据图象回 答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅,周期与频率各是多少?
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动?如果从A点算起呢?

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2

O

x/s

C

解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25

(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
(3)设这个简谐振动的函数表达式为
y ? A sin(? x ? ? ), x ?[0, ??)

那么,A=2;由于

2? 5? ? 0.8得? ? ; ? 2

由图象知初相为0,于是所求函数表达式是
y ? 2 sin 5? x , x ? [0,? ?). 2


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