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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-3【配套备课资源】第二章 1.第一课时


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第一课时

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学习要求
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离散型随机变量

1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 学法指导 引进随机变量的概念,就可以用数字描述随机现象,建立 连接数和随机现象的桥梁,通过随机变量和函数类比,可 以更好地理解随机变量的定义,随机变量是函数概念的推 广.

填一填· 知识要点、记下疑难点

第一课时

1.随机变量:随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果

随机变量 , 都对应于一个数, 这种对应称为一个__________ 通常用 本 课 X,Y 大写的英文字母如 __________( 也可用希腊字母 ξ,η?) 时 栏 来表示. 目 开 一一列出 的随机变量, 关 2.离散型随机变量:所有取值可以__________
称为离散型随机变量.

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第一课时

探究点一
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随机变量的概念

问题 1

掷一枚骰子,出现的点数可以用数字 1,2,3,4,5,6 来

表示,那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示 呢? 答 掷一枚硬币, 可能出现正面向上、 正面向下两种结果,
我们可以分别用 1 和 0 表示,
这样就可以用数字来表示试验结果, 数字随试验结果的变 化而变化,这就是随机变量.

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第一课时

问题 2
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随机变量和函数有类似的地方吗?
随机变量和函数都是一种映射, 随机变量把随机试验



的结果映为实数,函数把实数映为实数. 试验结果相当于函数的自变量, 随机变量相当于函数的函 数值,随机变量可以看作函数概念的推广.

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第一课时

例 1 下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量? 并说明理由. (1)上海国际机场候机室中 2013 年 10 月 1 日的旅客数量;
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(2)2013 年某天济南至北京的 D36 次列车到北京站的时间; (3)2013 年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数; (4)体积为 1 000 cm3 的球的半径长.
解 (1)候机室中的旅客数量可能是:0,1,2,?,出现哪一 个结果都是随机的,因此是随机变量.

(2)D36 次济南至北京的列车,到达终点的时间每次都是随 机的,可能提前,可能准时,亦可能晚点,故是随机变量.

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第一课时

(3)在《拉呱》节目播放的时刻,收看人数的变化是随机的,
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可能多,也可能少,因此是随机变量. (4)体积为 1 000 cm3 的球半径长为定值,故不是随机变量.

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第一课时

小结
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随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结

果为自变量的一个函数,即随机变量的取值实质上是试验结 果对应的数,但这些数是预先知道所有可能的值,而不知道 究竟是哪一个值.

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第一课时

跟踪训练 1 指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是 随机变量,并说明理由. (1)某人射击一次命中的环数;
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(2)任意掷一枚均匀硬币 5 次,出现正面向上的次数; (3)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数 (最上面的数字)中 的最小值; (4)某个人的属相.
解 (1)某人射击一次,可能命中的环数是 0 环,1 环,?, 10 环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的,
因此是随机变量.

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第一课时

(2)任意掷一枚硬币 1 次, 可能出现正面向上也可能出现反面 向上,
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因此投掷 5 次硬币,出现正面向上的次数可能是 0,1,2,3,4,5, 而且出现哪种结果都是随机的,是随机变量.
(3)一颗骰子投掷两次,所得点数的最小值可以是 1,2,3,4,5,6, 因此是随机变量. (4)属相是人出生时便确定的,不是随机变量.

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第一课时

探究点二
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离散型随机变量的判定

问题 1 什么是离散型随机变量?
答 所有取值都可以一一列出的随机变量叫离散型随机

变量.

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第一课时

问题 2 非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别?


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非离散型随机变量是指可以取某一区间的一切值的

随机变量,又称为连续型随机变量.
它们的区别在于:
离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可 能取值按一定次序一一列出,而连续型随机变量可取某一 区间的一切值,无法对其中的值一一列举.

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第一课时

例 2

①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为 X;②某

网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为 X;③一 天内的温度为 X;④射手对目标进行射击,击中目标得 1
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分,未击中目标得 0 分,用 X 表示该射手在一次射击中的 得分.上述问题中的 X 是离散型随机变量的是 A.①②③④ C.①③④ B.①②④ D.②③④ ( B )

解析

③中一天内的温度不能把其取值一一列出,是连续

型随机变量,而非离散型随机变量.

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小结 该题主要考查离散型随机变量的定义,判断时要紧扣 定义,看是否能一一列出.

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第一课时

跟踪训练 2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并 说明理由. (1)白炽灯的寿命 ξ;
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(2) 某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸 之差 ξ; (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在 (0,29]这一范围内 变化,该水位站所测水位 ξ; (4)一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,其中 所含白球的个数 ξ.

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第一课时



(1)白炽灯的寿命 ξ 的取值是一个非负实数,而所有非负

实数不能一一列出,所以 ξ 不是离散型随机变量.
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散
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型随机变量. (3)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化, 对水位值我们不能按一定次序一一列出. (4)是离散型随机变量.从 10 个球中取 3 个球,所得的结果 有以下几种:

3 个白球,2 个白球和 1 个黑球,1 个白球和 2 个黑球,3 个 黑球,
即其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.

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第一课时

探究点三 例3
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离散型随机变量的应用

(1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1,2,3,4,5.

现从该袋内随机取出 3 只球,被取出的球的最大号码数 ξ. 写出随机变量 ξ 可能取的值,并说明随机变量所取的值表 示的随机试验的结果. (2)抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二 枚骰子掷出的点数的差为 ξ,试问:“ξ>4”表示的试验结 果是什么?

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第一课时



(1)ξ 可取 3,4,5.

ξ=3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3;
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ξ=4,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4; ξ=5,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5 或 3,4,5. (2)因为一枚骰子的点数可以是 1,2,3,4,5,6 六种结果之一, 由已知得-5≤ξ≤5,也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”. 所以,“ξ>4”表示第一枚为 6 点,第二枚为 1 点.

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第一课时

小结
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解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的

取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的 取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要 漏掉某些试验结果.

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第一课时

跟踪训练 3 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表 示?若能,请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表 示的随机试验的结果. (1)盒中装有 6 支白粉笔和 2 支红粉笔,从中任意取出 3 支,
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其中所含白粉笔的支数 ξ,所含红粉笔的支数 η. (2)从 4 张已编有 1~4 的卡片中任意取出 2 张,被取出的卡 片号数之和 ξ. (3)离开天安门的距离 η. (4)袋中有大小完全相同的红球 5 个,白球 4 个,从袋中任意 取出一球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是 红球, 则将此红球放回袋中, 然后重新从袋中任意取出一球, 直至取出的球是白球,此规定下的取球次数 ξ.

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第一课时



(1)ξ 可取 1,2,3.

{ξ=i}表示取出 i 支白粉笔,3-i 支红粉笔,其中 i=1,2,3. η 可取 0,1,2.
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{η=i}表示取出 i 支红粉笔,3-i 支白粉笔,其中 i=0,1,2. (2)ξ 可取 3,4,5,6,7.其中, {ξ=3}表示取出分别标有 1,2 的两张卡片; {ξ=4}表示取出分别标有 1,3 的两张卡片;
{ξ=5}表示取出分别标有 1,4 或 2,3 的两张卡片; {ξ=6}表示取出分别标有 2,4 的两张卡片; {ξ=7}表示取出分别标有 3,4 的两张卡片.

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第一课时

(3)η 可取[0,+∞)中的数.η=k 表示离开天安门的距离为 k(km).
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不是离散型随机变量. (4)ξ 可取所有的正整数.{ξ=i}表示前 i-1 次取出红球, 而第 i 次取出白球,这里 i∈N*.不是离散型随机变量.

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第一课时

1.下列变量中,不是随机变量的是
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( B )

A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下,水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子,所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数
解析 B 中水沸腾时的温度是一个确定值.

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第一课时

2.10 件产品中有 3 件次品,从中任取 2 件,可作为随机变 量的是 A.取到产品的件数
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( C )

B.取到正品的概率 C.取到次品的件数 D.取到次品的概率
解析 对于 A 中取到产品的件数是一个常量不是变量, B、 D 也是一个定值,而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2, 是随机变量.

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3.抛掷 2 枚骰子,所得点数之和记为 ξ,那么“ξ=4”表示 的随机试验的结果是 A.2 枚都是 4 点
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( D )

B.1 枚是 1 点,另 1 枚是 3 点 C.2 枚都是 2 点 D.1 枚是 1 点,另 1 枚是 3 点,或者 2 枚都是 2 点
解析 抛掷 2 枚骰子,其中 1 枚是 x 点,另 1 枚是 y 点, 其中 x,y=1,2,?,6. ? ? ?x=1, ?x=2, 而 ξ=x+y,ξ=4?? 或? ? ? ?y=3 ?y=2.

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第一课时

4.一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6.现从
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中随机取出 2 个球,以 ξ 表示取出的球的最大号码,则 ,(2,6),(3,6),(4,6), “ξ=6”表示的试验结果是(1,6) _______________________

(5,6) . _____

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第一课时

1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关 系,随机变量是将试验的结果数量化,变量的取值对应
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于随机试验的某一个随机事件. 2.写随机变量表示的结果,要看三个特征: (1)可用数来表示;(2)试验之前可以判断其可能出现的所 有值;(3)在试验之前不能确定取值.


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