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点线面之间的位置关系


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点、线、面之间的位置关系 【基础回顾】
一、三个公理和三条推论 公理 1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 这是判断直线在平面内的常用方法。 公理 2、如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在 同一条直线上。这是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点)和三条直线共点(证其 中两条直线的交点在第三条直线上)的方法之一。 公理 3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 推论 1:经过直线和直线外一点有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。 二、平行和垂直位置关系的判断方法 1、两直线平行的判定: (1)公理 4:平行于同一直线的两直线互相平行; (2)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面 相交的交线和这条直线平行; (3)面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行; (4)线面垂直的性质:如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 2、两直线垂直的判定: (1)勾股定理 (2)如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说两条直线互相垂直; (3)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线; (4)如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也和这条斜线垂直。 (6)三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么 它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 3、直线与平面平行的判定和性质: (1)判定定理:如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和 这个平面平行; (2)面面平行的性质:若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平 行。 4、直线和平面垂直的判定和性质: (1)判定:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平 面垂直。 (2)性质:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。 5、两个平面垂直的判定和性质: (1)判定:判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相 垂直。 (2)定义法:即证两个相交平面的二面角为直角; 6、两个平面平行的判定和性质:
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龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 (1)判定:如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行。

三、异面直线所成角

? (1)范围: ? ? (0, ] ; 2
(2)求法:计算异面直线所成角的关键是平移(中点平移,顶点平移以及补形法:把空间图 形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,以便易于发现两条异面 直线间的关系)转化为相交两直线的夹角。 四、直线和平面所成角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成的 角。 (2)范围: [0 ,90 ] ; (3)求法:作出直线在平面上的射影,将直线与平面的夹角转化为平面角来求; (4)特征:斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 六、二面角: (1)平面角的三要素:①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的两边与棱都 垂直。 (2)作平面角的主要方法:①定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个 半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;②三垂线法:过 其中一个面内一点作另一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;③垂面 法:过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角; (3)二面角的范围: [0, ? ] ; (4)二面角的求法:①转化为求平面角;②面积射影法:利用面积射影公式 S射=S原 ? cos? , 其中 ? 为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出 现棱,然后再选用上述方法(尤其可考虑面积射影法) 。 七、空间距离的求法(立体几何中角和距离的计算,要遵循“一作,二证,三计算”的原则) (1)异面直线的距离:① 直接找公垂线段而求之;② 转化为求直线到平面的距离,即过 其中一条直线作平面和另一条直线平行。③ 转化为求平面到平面的距离,即过两直线分别作 相互平行的两个平面。 (2)点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解。
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龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 (3)点到平面的距离:① 垂面法:借助于面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点确定 已知面的垂面是关键;② 体积法:转化为求三棱锥的高;③ 等价转移法。 (4)直线与平面的距离:前提是直线与平面平行,利用直线上任意一点到平面的距离都 相等,转化为求点到平面的距离。 (5)两平行平面之间的距离:转化为求点到平面的距离。 (6)球面距离(球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度) :求球面上两点 A、B 间的距离的步骤:① 计算线段 AB 的长;② 计算球心角∠AOB 的弧度数;③ 用弧长公式 计算劣弧 AB 的长。

【常见题型】
题型一:点共线和共面问题 【例 1】如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点,P、Q 分别为 AC 与 BD、A1C1 与 EF 的交点. (1)求证:D、B、F、E 四点共面; E C1 D1 (2)若 A1C 与面 DBFE 交于点 R,求证:P、Q、R 三点共线. Q F 证明: (1) ∵ 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1 // DD1 , ∴ BD // B1D1 . A1 又 ∵ B1 D1C1 中,E、F 为中点,
1 ∴ EF // B1 D1 . ∴ EF // BD , 即 D、B、F、E 四点共面. 2 (2)∵ Q ? 平面AC1 , Q ? 平面BE , P ? 平面AC1 , P ? 平面BE ,
A B1 D P B C

∴ 平面AC1 平面BE ? PQ . 又 AC1 平面BE ? R , ∴ R ? 平面AC1 , R ? 平面BE , ∴ R ? PQ . 即 P、Q、R 三点共线
王新敞
奎屯 新疆

【例 2】已知直线 a//b//c,直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,求证:a、b、c、d 四线 共面. 证明:因为 a//b,由公理 2 的推论,存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ? ? . 又因为直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,由公理 1, d ? ? . c 假设 c ? ? ,则 c ? ? C , 在平面 ? 内过点 C 作 c ? // b , c' C B b 因为 b//c,则 c // c ? ,此与 c c? ? C 矛盾. 故直线 c ? ? . A a ? d 综上述,a、b、c、d 四线共面. 点评:证明一个图形属于平面图形,需要紧扣公理 2 及其三条推论,寻找题中能确定平 面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面,然后从假设出发,推出矛盾,矛盾的原 因是假设不成立,这就是证明问题的一种反证法的思路. 题型二:求异面直线所成角 【例 1】如图中,正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是 AD、AA1 的中点. (1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 解: (1)如图,连结 DC1 , ∵DC1∥AB1,
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龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 ∴ DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. ∵ ∠CC1D=45°, ∴ AB1 和 CC1 所成的角是 45°. (2)如图,连结 DA1、A1C1, ∵ EF∥A1D,AB1∥DC1,∴ ∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. ∵Δ A1DC1 是等边三角形, ∴ ∠A1DC1=60?,即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60?. 【例 2】已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求异面直线 AB 和 CD 所成的角的大 小. 解:分别取 AC、AD、BC 的中点 P、M、N 连接 PM、PN,由三角形的中位线性质知 PN ∥AB,PM∥CD,于是∠MPN 就是异面直线 AB 和 CD 成的角(如图所示). 连结 MN、DN,设 AB=2, ∴PM=PN=1. 而 AN=DN= 3 ,由 MN⊥AD,AM=1,得 MN= 2 , ∴MN2=MP2+NP2,∴∠MPN=90°. ∴异面直线 AB、CD 成 90°角. 题型三:直线与平面平行的位置关系 【例 4】已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点,求证: AF∥平面 PEC 证明:设 PC 的中点为 G,连接 EG、FG. ∵ F 为 PD 中点, ∴ GF∥CD 且 GF= CD.
1 2

∵ AB∥CD, AB=CD, E 为 AB 中点, ∴ GF∥AE, GF=AE, 四边形 AEGF 为平行四边形. ∴ EG∥AF, 又∵ AF ? 平面 PEC, EG ? 平面 PEC, ∴ AF∥平面 PEC. 【例 5】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别为棱 BC、 C1D1 的中点. 求证: EF∥平面 BB1D1D. 证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OE∥DC, OE= DC. ∵ DC∥D1C1, DC=D1C1 , F 为 D1C1 的中点, ∴ OE∥D1F, OE=D1F, 四边形 D1FEO 为平行四边形. ∴ EF∥D1O. 又∵ EF ? 平面 BB1D1D, D1O ? 平面 BB1D1D, ∴ EF∥平面 BB1D1D. 【例 6】 如图, 已知 E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD 、CD 、BD 、 BC 的 中 点 , 求 证 : AM ∥ 平 面 EFG . 证明:如右图,连结 DM ,交 GF 于 O 点,连结 OE , 在 ?BCD 中, G 、 F 分别是 BD 、 CD 中点, ∴ GF // BC , ∵ G 为 BD 中点, ∴ O 为 MD 中点, 在 ?AMD 中,∵ E 、 O 为 AD 、 MD 中点, ∴ EO // AM , 又∵ AM ? 平面 EFG , EO ? 平面 EFG , ∴ AM ∥ 平面 EFG .
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1 2

A E B G M D O C F

龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 点评:要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了 . 注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用. 【例 7】经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D 于 E1E,求证:E1E∥ B1B 证明:∵ AA1 // BB1 , AA1 ? 平面BEE1B1 , BB1 ? 平面BEE1B1 , D1 C1 E1 ∴ AA1 // 平面BEE1 B1 . A1 B1 又 AA1 ? 平面ADD1 A1,平面ADD1 A1 平面BEE1B1 ? EE1 , ∴ AA1 // EE1 . D
王新敞
奎屯 新疆

AA // BB1 ? 则 1 ? ? BB1 // EE1 . AA1 // EE1 ?

E A B

C

【例 8】如图, AB // ? , AC // BD , C ? ? , D ? ? ,求证: AC ? BD . 证明:连结 CD , ∵ AC // BD , ∴直线 AC 和 BD 可以确定一个平面,记为 ? , ∵ C , D ? ? , C , D ? ? ,∴ ? ∵ AB // ? , AB ? ? , ?
? ? CD ,

A β D

B

?

C

? ? CD

∴AB // CD , 又∵ AC // BD , ∴ 四边形 ACDB 为平行四边形,

∴ AC ? BD .

题型四:平面与平面的位置关系 【例 1】如右图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点, 求证:平面 MNP∥平面 A1BD. 证明: 连结 B1D1, ∵P、 N 分别是 D1C1、 B1C1 的中点, ∴ PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN 不在平面 A1BD 上,∴PN∥平面 A1BD. 同理, MN∥平面 A1BD. 又 PN∩MN=N, ∴平面 PMN∥平面 A1BD.

【例 2】已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、N、Q 分别在 PA、BD、 PD 上, 且 PM:MA=BN:ND=PQ:QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC. 证明: PM:MA=BN:ND=PQ:QD. ∴ MQ//AD,NQ//BP, 而 BP ? 平面 PBC,NQ ? 平面 PBC, ∴ NQ//平面 PBC. 又 ABCD 为平行四边形,BC//AD, ∴ MQ//BC, 而 BC ? 平面 PBC,MQ ? 平面 PBC, ∴ MQ//平面 PBC. 由 MQ NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理, ∴ 平面 MNQ∥平面 PBC.
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龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 点评:由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相 交直线平行于一个平面后,转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线 的平行. 【例 4】直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 为正方形,边长为 2,侧棱 A1 A ? 3 ,M、N 分 别为 A1B1、A1D1 的中点,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点. (1)求证:平面 AMN∥平面 EFDB; (2)求平面 AMN 与平面 EFDB 的距离. 证: (1)连接 A1C1 ,分别交 MN、EF 于 P、Q. 连接 AC 交 BD 于 O,连接 AP、OQ. 由已知可得 MN // EF , ∴ MN // 平面EFDB . 由已知可得, PQ // AO 且 PQ ? AO . ∴ AP // OQ , ∴ AP // 平面EFDB . ∴平面 AMN∥平面 EFDB. 解: (2)过 A1 作平面 AMN 与平面 EFDB 的垂线,垂足为 H、H’, 易得
A1 H A1 P 1 ? ? . HH ' PQ 2

由 AP ? A1 A2 ? A1P 2 ? 32 ? (

2 2 2 38 , 根据 VA1 ? AMN ? VA? A1MN , 则 ) ? 4 2

38 ? 2 3 19 1 1 1?1 . 所以,平面 AMN 与平面 EFDB 的距离为 ? 2 ? A1 H ? ? ? 3 ,解得 A1 H ? 19 3 2 3 2

6 19 . 19

点评:第(1)问证面面平行,转化途径为“线线平行→线面平行→面面平行”. 第(2) 问求面面距离,巧妙将中间两个平面的距离,转化为平面另一侧某点到平面距离的比例,然 后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出,我们可以用同样的转化思维, 将此例中的两个平面的距离,转化为求点 B 到平面 AB’C 的距离. 【例 5】已知正方形 ABCD 的边长为 1,分别取边 BC、CD 的中点 E、F,连结 AE、EF、AF, 以 AE、EF、FA 为折痕,折叠使点 B、C、D 重合于一点 P. (1)求证:AP⊥EF; (2)求证:平面 APE⊥平面 APF. 证明: (1)如右图,∵∠APE=∠APF=90°,PE∩PF=P, ∴ PA⊥平面 PEF. ∵EF ? 平面 PEF,∴PA⊥EF. (2) ∵∠APE=∠EPF=90°, AP∩PF=P, ∴PE⊥平面 APF. 又 PE ? 平面 PAE,∴平面 APE⊥平面 APF. 【例 6】如图, 在空间四边形 ABCD 中, AB ? BC, CD ? DA, E , F , G 分别是 CD, DA, AC 的中点, A 求证:平面 BEF ? 平面 BGD . 证明: AB ? BC , G 为 AC 中点,所以 AC ? BG . F 同理可证 AC ? DG, ∴ AC ? 面 BGD. G 又易知 EF//AC,则 EF ? 面 BGD. D B E 又因为 EF ? 面 BEF,所以平面 BEF ? 平面 BGD .
C

【例 7】如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 CC1 的中点,求证: 平面A1 BD ? 平面BED . 证明:连接 AC,交 BD 于 F,连接 A1 F ,EF, A1 E , A1C1 . 由正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,易得 A1 D ? A1 B , ED ? EB ,F 是 BD 的中 点, 所以 A1 F ? BD, EF ? BD ,得到 ?A1 FE 是二面角 A1 ? BD ? E 的平面角.
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龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 设正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,则 A1F 2 ? A1 A2 ? AF 2 ? 22 ? ( 2)2 ? 6 , EF 2 ? CE 2 ? CF 2 ? 12 ? ( 2)2 ? 3 , 2 2 2 2 A1E 2 ? AC 1 1 ? CE ? (2 2) ? 1 ? 9 . ∴ A1F 2 ? EF 2 ? A1E 2 ,即 A1 F ? EF ,所以 平面A1 BD ? 平面BED . 点评:要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角,这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征,作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键. 【例 4】三棱锥 P ? ABC 中,三个侧面与底面所成的二面角相等, PO ? 平面 ABC,垂足为 O, 求证:O 为底面△ABC 的内心. 【证】作 PD ? AB 于 D, PE ? BC 于 E, PF ? AC 于 F,连接 OD、OE、OF. ∵ PO ? 平面 ABC,∴ PO ? OD, PO ? OE, PO ? OF , PO ? AB, PO ? BC, PO ? AC . 又 ∵ PD ? AB, PE ? BC, PF ? AC , ∴ AB ? 平面PDO, BC ? 平面PEO, AC ? 平面PFO . 得 OD ? AB, OE ? BC, OF ? AC , ∴ ?PDO, ?PEO, ?PFO 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得 ?PDO ? ?PEO ? ?PFO , ∵ PO 边公共, ∴ ?PDO ? ?PEO ? ?PFO ,得 OD ? OE ? OF , 又 ∵ OD ? AB, OE ? BC, OF ? AC . ∴ O 为底面△ABC 的内心. 点评:这里用到了证明垂直问题的转化思想,即“线线垂直→线面垂直→线线垂直” . 上述 结论对于一般棱锥也成立,即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等,或棱锥的顶点到底面 各边的距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的内切圆的圆心.

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