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2011年全国高中数学联合竞赛试题(一试+加试)


2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。把答案填在横线上.
1.设集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B = {?1, 3, 5, 8} ,则集合

A = . 2.函数 f ( x) =
x 2 +1 的值域为 x ?1

. . .

3.设 a, b 为正实数,

1 1 + ≤ 2 2 , (a ? b) 2 = 4(ab) 3 ,则 log a b = a b

4.如果 cos 5 θ ? sin 5 θ < 7(sin 3 θ ? cos 3 θ ) , θ ∈ [0,2π ) ,那么 θ 的取值范围是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每 个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答) 6.在四面体 ABCD 中,已知 ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 60° , AD = BD = 3 , CD = 2 ,则 . 四面体 ABCD 的外接球的半径为 7. 直线 x ? 2 y ? 1 = 0 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A, B 两点, 为抛物线上的一点, ACB = 90° , C ∠ 则点 C 的坐标为 8. 已知 a n = C n ? 3 6 200 .

( )

200 ? n

? 1 ? ? (n = 1,2, ? ,95) , ?? 则数列 {a n } 中整数项的个数为 ? ? ? 2?

n



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
9. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) =| lg( x + 1) | ,实数 a, b(a < b) 满足 f (a) = f (?
f (10a + 6b + 21) = 4 lg 2 ,求 a, b 的值. b +1 ), b+2

10 . 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a1 = 2t ? 3 (t ∈ R 且 t ≠ ±1) , (
a n +1 = (2t n +1 ? 3)a n + 2(t ? 1)t n ? 1 a n + 2t n ? 1 (n ∈ N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t > 0 ,试比较 an +1 与 a n 的大小. 11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : 图所示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ∠APB = 60° ,求△ PAB 的面积.
1 3
x2 y2 + = 1 交于 A, B 两点(如 36 4

y P O A x B

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10
(本题满分 一、 本题满分 40 分)如图, P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC, BD 的中 ( 点.若 ∠BPA = ∠DPA ,证明: ∠AQB = ∠CQB . D

A

Q

P B C

(本题满分 二、 本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ≥ 4 ,存在一个 n 次多项式 (
f ( x) = x n + a n ?1 x n ?1 + ? + a1 x + a 0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ≥ 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ? , rk ,均有 f (m) ≠ f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) . (本题满分 三、 本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , ? , a n (n ≥ 4) 是给定的正实数, a1 < a 2 < ? < a n .对任意 ( 正实数 r ,满足
a j ? ai ak ? a j = r (1 ≤ i < j < k ≤ n) 的三元数组 (i, j , k ) 的个数记为 f n (r ) .

证明: f n (r ) <

n2 . 4

( 设 在每一个小方格内各填一个正整数. 称 四、 本题满分 50 分) A 是一个 3× 9 的方格表, A 中的一个 m × n (1 ≤ m ≤ 3, 1 ≤ n ≤ 9) 方格表为 “好矩形” 若它的所有数的和为 10 的倍数. , 称 A 中的一个 1×1 的小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个 数的最大值.

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试卷(B 卷) 年全国高中数学联合竞赛一试试卷( (考试时间:10 月 16 日上午 8:00-9:20)
二 题号 一 9 得分 评卷人 复核人 10 11 合计 加试 总成绩

注意事项: 1. 本试卷共二大题,全卷满分 120 分. 2. 用圆珠笔或钢笔作答,解题书写不要超过装订线. 3. 不能使用计算器. 一、
得分 评卷人

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横 线上.

1.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S 2010 ? S1 = 1 ,则 S 2011 =

.

2.已知复数 z 的模为 1, z = z1 和 z = z2 时 z + 1 + i 分别取得最大值和最小值, z1 ? z2 = 若 则 . 3.若正实数 a, b 满足

1 1 + ≤ 2 2 , (a ? b) 2 = 4(ab)3 ,则 log a b = a b

.

4.把扑克牌中的 A,2,…,J,Q,K 分别看作数字 1,2,…,11,12,13.现将一副扑克牌中的黑桃、红桃 各 13 张放在一起,从中随机取出 2 张牌,其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为 . 5.若 ?ABC 的角 A,C 满足 5(cos A + cos C ) + 4(cos A cos C + 1) = 0 ,则 tan . 6. 已 知 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 长 为 6 , M , N 分 别 是 BB1 , B1C1 上 的 点 ,

A C ? tan = 2 2

B1M = B1 N = 2 , S , P 分别是线段 AD, MN 的中点,则异面直线 SP 与 AC1 的距离为
. 7.在 ?ABC 中, E , F 分别是 AC , AB 的中点, AB = 值为 8.抛物线 y = 2 p ( x ?
2

2 BE AC .若 < t 恒成立,则 t 的最小 3 CF

.

p ) ( p > 0 )上动点 A 到点 B(3,0)的距离的最小值记为 d ( p ) ,满足 2
.

d ( p ) = 2 的所有实数 p 的和为

得分 评卷人

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 9. (本小题满分 16 分) 已知实数 x, y , z 满足: ≥ y ≥ z , + y + z = 1 , x x

x 2 + y 2 + z 2 = 3 . 求实数 x 的取值范围.

得分 评卷人

10. 本小题满分 20 分) ( 已知数列 {an } 满足:a1 = 2t ? 2(t ∈ R且t ≠ ±1) ,

an +1 =

2(t n +1 ? 1)an (n ∈ N ?) . an + 2t n ? 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 t > 0 ,试比较 an +1 与 an 的大小.

得分 评卷人

11.(本小题满分 20 分)已知 A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), A3 ( x3 , y3 ) 是抛物线

y 2 = 2 px( p > 0) 上不同的三点, ?A1 A2 A3 有两边所在的直线与抛物线 x 2 = 2qy (q > 0) 相切,证明:对不同的 i, j ∈ {1, 2,3} , yi y j ( yi + y j ) 为定值.


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