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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 专题六 解析几何专题六测试卷


一.选择题(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.已知 F1 , F2 是定点, | F1 F2 |? 8 ,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 8 ,则点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线
2 2

). D.线段 )

C.圆

/>2.由直线 y ? x ? 2 上的点向圆 ? x ? 4 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 引切线,则切线长的最小值为( A. 30 3.若双曲线
x
2

B. 31

C. 4 2

D. 33 ).

5

?

9y p

2

2

? 1的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线上,则 p 的值为(

A. 3

B. 4 ).

C. 6

D. 6 2

4.“ ab ? 0 ”是方程“ ax 2 ? by 2 ? c 表示双曲线”的( A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5. 设 O 为坐标原点 , F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 , A 为抛物线上一点 , 若 OA ? AF ? ?4 , 则点 A 的坐标为 ( ). A. (2, ?2 2 ) 6.若椭圆 B. (1, ?2) C. (1, 2) D. (2,2 2)

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到两焦点 F1、F2 的距离之差为 2 ,则 ?PF1 F2 是( ). 16 12 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
x a
2 2

7.已知点 P 是椭圆

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0, xy ? 0) 上的动点, F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 为椭圆的左、右焦点, O 为坐
). B. (0, a ) C. (b, a ) D. (c, a)

标原点,若 M 是 ?F1 PF2 的角平分线上的一点,且 F1M ? MP ,则 OM 的取值范围是( A. (0, c )

8.直线 l 经过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且与抛物线交于 P 、 Q 两点,由 P 、 Q 分别向准线引垂线

PR 、 QS ,垂足分别为 R 、 S .如果 | PF |? a,| QF |? b , M 为 RS 的中点,则 | MF | 为(
A. a ? b 9.已知椭圆
x a
2 2

).

B. (a ? b)
2

1

C. ab

D. ab

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) , F1 、 F2 为左、右焦点, B 为短轴的一个端点, O 为中心, E 为 OB 的中点,
).
2 3

若 F1 E ? F2 B ,则椭圆的离心率是( A.
1 3

B.

C.

3 3

D.

2 3

2 x ? ?4 , x 2 ? 2 的两点,过这两点引一条割线,有 10. 在抛物线 y ? x ? ax ? 5(a≠0) 上取横坐标为 1

平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x ? 5 y ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标为(
2 2

)

A. (?2, ?9)

B. (0, ?5)

C. (2, ?9)

D. (1, ?6)

二.填空题(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.若椭圆

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 ________ . m?4 9 2

12.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,且抛物线与 2 x ? y ? 4 ? 0 交于 A 、 B 两点,则 | FA | ? | FB |? _____ . 13.已知 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上异于长轴端点的点, F1、F2 是椭圆的焦点, I 是 ?PF1 F2 的内心, PI 的 25 16

延长线交 F1F2 于点 B,则 | PI |:| IB |? ________ . 14.已知双曲线
x
2

16

?

y

2

9

? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线的右支于 A 、 B 两

点,若 | AB |? 5 ,则 ?ABF1 的周长为 ________ . 15.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作直线 l , 交抛物线于 A、 B 两点, 交其准线于 C 点, 若 CB ? 3BF , 则直线 l 的斜率为___________. 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M (?2, 0) 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 交于

P、 Q 两点.
(Ⅰ)若 OP ? OQ ? ?

1 ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅱ)若 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率. 17.( 本小题满分 12 分) 已知 F1 、 F2 是椭圆
x
2 2

2b

?

y b

2 2

? 1(b ? 0) 的左、右焦点 , M 为 x 轴上方的椭圆上一

点, MF2 垂直于 x 轴,过 F2 且与 OM 垂直的直线交椭圆于 P 、 Q 两点,若 | PQ |? 6 2 ,求椭圆的标准方程. 18.(本小题满分 12 分) 2010 年 10 月 1 日 18 时 59 分 57 秒“嫦娥二号”探月卫星由长征三号丙运载火箭送入 近地点高度约 200 公里、远地点高度约 38 万公里的直接奔月椭圆(地球球心 O 为一个焦点)轨道Ⅰ飞 行.当卫星到达月球附近的特定位置时,实施近月制动及轨道调整,卫星变轨进入远月面 100 公里、近月面 15 公里(月球球心 F 为一个焦点)的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,之后卫星再次择机变轨进入以 F 为圆心、 距月面 100 公里的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,并开展相关技术试验和科学探测 .已知地球半径约为 6370 公里,月球半 径约为 1730 公里. ⑴比较椭圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的离心率的大小; ⑵以 F 为右焦点,求椭圆轨道Ⅱ的标准方程. 19.(本小题满分 12 分)已知直线 l1 : y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的左支交于 A 、 B 两点. ⑴求斜率 k 的取值范围; ⑵若直线 l2 经过点 P(?2,0) 及线段 AB 的中点 Q ,且 l2 在 y 轴上截距为 ?16 ,求直线 l1 的方程.

20.(本小题满分 13 分) 已知 B 是椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点, F 是椭圆右焦点, a 2 b2

且 BF ? x 轴, B (1,

3 ). 2

(Ⅰ)求椭圆E的方程. (Ⅱ)设 A1 和 A2 是长轴的两个端点,直线 l 垂直于 A1 A2 的延长线于点D, OD ? 4 ,P是 l 上异于 点D的任意一点,直线 A1 P交椭圆 E 于 M(不同于 A , 设 ? ? A2 M ? A2 P ,求 ? 的取值范 1 、 A2 ) 围.
[

21.(本小题满分 14 分)如图,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F .⊙M 的圆心在 x 轴 的正半轴上 , 且与 y 轴相切.过原点 O 作倾斜角为

AO ? OB ? 2 .
(Ⅰ)求⊙M 和抛物线 C 的方程;

? 的直线 n , 交 l 于点 A , 交⊙ M 于另一点 B , 且 3 y
l B O · F M

(Ⅱ)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (Ⅲ)过 l 上的动点 Q 向⊙M 作切线,切点为 S , T , 求证:直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标. A

x

专题六测试卷(答案)
一、 1~5 D B C A B 6~10 B A D C C 提示: | MF1 | ? | MF2 |? 8 ?| F1 F2 | ,∴ 1. ∵ 点 M 在线段 F1 F2 上运动. 2. 切线长的长短由该点到圆心的距离来确定.即圆心 ? 4, ?2 ? 到直线 y ? x ? 2 的最短距离.

d?

4?2?2 2

? 4 2, 所以
2

?4 2 ?

2

? 12 ? 31.

3. 依题意,得 ? 5 ?

p

9

??

p 2

,解得 p ? 6 ,选 C.

?| PF1 | ? | PF2 |? 8 | PF1 |? 5 , | PF2 |? 3 ,又 | F1F2 |? 2c ? 4 ,∴ ?PF1 F2 是直角三角形. 6.依题意知 a ? 4 ,则 ? ,∴ ?| PF1 | ? | PF2 |? 2
7. 延 长 F1M 交 直 线 PF2 于 点 N ,∵PM 平 分 ?F1 PF2 , PM ? F1 N ,∴M 是 F1 N 的 中 点 , | PN |?| PF1 | , ∴OM ? | F2 N |? || PF1 | ? | PF2 ||?| a? | PF2 || .
2 2 1 1

?c ? a? | PF2 |? c ,故 OM 的取值范围为 (0, c) . 又 a ? c ?| PF2 |? a ? c (易知 P 、 F1 、 F2 三点不共线),∴
y R
M P

O S

F Q

x

8. 如图 1 所示,由抛物线定义知 RS ? (a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 2 ab , 连结 RF 、 SF ,则易知 ?RFS ? 90? .又 M 是中点,∴ | MF |? | RS |? ab .
2
c 9.由 F1 E ? F2 B ,知 Rt ?OF1E ∽ Rt ?OBF2 ,∴ ? 2 ,即 b2 ? 2c 2 , b c
3 3

1

b

a 2 ? c 2 ? 2c 2 ,得 a 2 ? 3c 2 ,故椭圆的离心率 e ? ∴

.

10. 由已知的割线的坐标 (?4,11 ? 4a),(2, 2a ? 1), K ? 2 ? a ,设直线方程为 y ? (a ? 2) x ? b ,

? y ? x 2 ? ax ? 5 36 b2 ? b ? ?6 ? a ? 4 ? (?2, ?9) ? ? 2 y ? ( a ? 2) x ? b 5 1 ? (2 ? a ) ? 则 又 .
二、11. 8 或 提示:
11 4

12. 7

13. 5 : 3

14. 26

15. ?2 2

e? 11.若焦点在 x 轴上 ,则 a 2 ? m ? 4 , b2 ? 9 , c 2 ? a 2 ? b2 ? m ? 5 ,∴
轴上,则 a 2 ? 9 , b2 ? m ? 4 , c 2 ? a 2 ? b2 ? 5 ? m ,∴ e?
c a

c a

?

m ?5 m?4

?

1 2

, 解得 m ? 8 . 若焦点在 y
11 4

?

5?m 3

? ,解得 m ?
2

1

11 4

.故 m ? 8 或

.

| FA | ? | FB |? x1 ? x2 ? 2 . 12.设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,∵ 抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为 x ? ?1 ,∴

? y2 ? 4x x1 ? x2 ? 5 ,故 | FA | ? | FB |? x1 ? x2 ? 2 ? 7 . 由? ,得 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ,∴ 2 x ? y ? 4 ? 0 ?
过 B 准 作 线 BM , 垂 足 为 M, 可 知 15. 点 向 线 垂

1 c o?s M B? C 3
,所以直线 l 的斜率为 ?2 2 三、 16.解: (Ⅰ)依题意,直线 l 的斜率存在,因为 直线 l 过点 M (?2,0) ,可设直线 l : y ? k ( x ? 2) . 因为 P、 Q 两点在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,所以 OP ? OQ ? 1 , 因为 OP ? OQ ? ?

1 1 ? ,所以 OP ? OQ ? OP ? OQ ? cos ?POQ ? ? ,所以 ?POQ ? 120 2 2

所以 O 到直线 l 的距离等于

1 .所以 2

| 2k | k ?1
2

?

15 1 ,得 k ? ? , 15 2
………6 分

所以直线 l 的方程为 x ? 15 y ? 2 ? 0 或 x ? 15 y ? 2 ? 0 .

(Ⅱ)因为 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,所以 MQ ? 2MP ,设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 所以 MQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , MP ? ( x1 ? 2, y1 ) . 所以 ?

? x2 ? 2 ? 2( x1 ? 2) ? x2 ? 2( x1 ? 1) 即? (*) ; y ? 2 y y ? 2 y ? 2 1 ? 2 1


? x12 ? y12 ? 1 ? x12 ? y12 ? 1 ? ? 因为 P , Q 两点在圆上,所以 ? 2 把(*)代入,得 ? 2 2 2 ? ? ? x2 ? y2 ? 1 ?4( x1 ? 1) ? 4 y1 ? 1

所以

7 ? x1 ? ? , ? 8 15 15 ? 所以直线 l 的斜率 k ? kMP ? ? , 即k ? ? .………12 分 ? 9 9 ? y ? ? 15 . 1 ? 8 ?
2 2

M (c, 17. 解:设椭圆的右焦点 F2 (c,0) ,则 2b2 ? b 2 ? c 2 ,即 b ? c ,∴
∴ kPQ ? ? 2 ,直线 PQ 的方程为 y ? ? 2 ( x ? c) , 代入方程
x
2 2

c ) , kOM ?

2 2

,

2b

?

y b

2 2

? 1 ,得 x2 ? 2[? 2 ( x ? c)]2 ? 2b2 ? 2c2 ,即 5x2 ? 8cy ? 2c2 ? 0 .
8 2

………6 分

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? c , x1 x2 ? c2 ,
5 5

| PQ |? 1 ? ( ? 2) 2 ? | x1 ? x2 |? 3 ? ( c) 2 ? 4 ? c 2 ? ∴
5 5

8

2

6 2 5

c ? 6 2 ,解得 b ? c ? 5 .

故椭圆的标准方程为

x

2

50

?

y

2

25

?1.

………12 分

?a1 ? c1 ? 200 ? 6370 ? 6570 18.解:⑴ 设椭圆轨道Ⅰ 的半焦距为 c1 ,半长轴的长为 a1 ,则 ? ,解得 ?a1 ? c1 ? 380000 ? 6370 ? 386370
2a1 ? 3 9 2 9 ,4 20 c1 ? 379840 ,∴ e1 ?
379840 392940

? 0.967 .

………3 分

?a2 ? c2 ? 15 ? 1730 ? 1745 设椭圆轨道Ⅱ 的半焦距为 c 2 ,半长轴的长为 a2 ,则 ? , ?a2 ? c2 ? 100 ? 1730 ? 1830
解得 2a1 ? 3575 , 2c1 ? 85 ,∴ e2 ?
85 3575
x a
2 2

? 0.024 .故 e1 ? e2 .
?
y b
2 2

………7 分
3575 4
2

⑵ 依题意设椭圆轨道Ⅱ 的标准方程为

? 1( a ? b ? 0) ,则由⑴ 知 a2 ?

,

b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 7 4 5 ? 1 8,故所求椭圆轨道Ⅱ 30 的标准方程为

4x

2 2

3575

?

y

2

1745 ? 1830

? 1 .………12 分

19.解:⑴ 将 y ? kx ? 1 代入方程 x2 ? y 2 ? 1 ,得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 2 ? 0,
2k ? ? x1 ? x2 ? k 2 ?1 ? 0 , ? ? (2k ) ? 4(1 ? k ) ? (?2) ? 8 ? 4k ? 0 ,解得 ? 2 ? k ? 2 .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 ?0 x x ? ? 2 1 2 k ?1 ?
2 2 2



2k k ?1
2

? 0 ,得 k ? ?1 或 0 ? k ? 1 ;由

2 k ?1
2

? ? 0 ,得 k ? ?1 或 k ? 1 .∴

2

? k ? ?1 ,

故斜率 k 的取值范围是 (? 2 , ?1) . ⑵ 由已知可得 l2 的方程为 y ? ?8 x ? 16 ① , Q 的坐标为 (
x1 ? x2 y1 ? y2 2

………7 分

,

2

) ,即 (

k
2

k ?1 k ?1

,

1
2

得k ?? 或 ) ,代入①
4

5

3 5 l1 的方程为 y ? ? x ? 1 ,即 5 x ? 4 y ? 4 ? 0 . k ? (舍去),∴ 4 4
20.(Ⅰ)解:依题意 半焦距 c ? 1 由距离公式得

………12 分
/

/ 左焦点为 F (?1, 0) ,则 2a ? BF ? BF

,由 B (1, ) , BF ?

3 2

3 2

BF / ?

5 2 2 2 2 , 2a ? 4, a ? 2 , b ? a ? c ? 2 ? 1 ? 3 2


x2 y 2 ? ? 1 . ………7 分 所以,椭圆E的方程.的方程 4 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, A 1 (?2 ,0) , A2 (2 ,0) .设 M ( x0 , y0 ) . ∵M 在椭圆 E 上,∴ y0 ?
2

3 2 (4 ? x0 ), 4

由P、M、 A 1 三点共线可得P (4 ,

6 y0 ) x0 ? 2

∴ A2 M ? ( x0 ? 2 , y0 ) , A2 P ? (2 ,

6 y0 ), x0 ? 2

2 6 y0 5 ∴ A2 M ? A2 P ? 2( x0 ? 2 ) ? ? (2 ? x0 ) x0 ? 2 2

∵ ?2 ? x0 ? 2 ,∴ ? ? A2 M ? A2 P ? (0,10) ……13



p 1 ? OA ? cos 60 ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4x . 2 2 OB 1 ? ? 2 ,所以 M 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ………6 分 设⊙M 的半径为 r ,则 r ? 2 cos 60
21.解: (Ⅰ)因为 (Ⅱ)设 P( x, y )( x ? 0) ,则 PM ? PF ? (2 ? x, ? y)(1 ? x, ? y) = x ? 3x ? 2 ? y ? x ? x ? 2
2 2 2

所以当 x ? 0 时, PM ? PF 有最小值为 2 (Ⅲ)以点 Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段 ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦


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