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湖北省武汉市2010届高中毕业生二月调研测试数学试题(理科)


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湖北省武汉市 2010 届高中毕业生二月调研测试数学试题(理科)
本试卷共 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题选出答案后,用 2

B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标中与涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号,非选择题用黑色墨水的签字笔或铅笔直接答在答题 卡上,答在试卷上无效。 3.考试结束后,监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S ? 4?R 2 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 其中 R 表示球的半径 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P,那 么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n?k

4 V球 ? ?R 3 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.复数 z满足 : (3 ? 4i) z ? 5 ? 10i, 则z = A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i D . 1 ? 2i ( D.7 ) ( )

2.在等差数列 {an } , 若a3 ? a4 ? a5 ? 12, a6 ? 2, 则a2 ? a3 = 中 A.8 B.6 C.10

3.已知集合 A ? { y | y ? log 2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 1}, 则A ? B =

1 x 2 1 1 A. { y | 0 ? y ? } B. { y | 0 ? y ? 1} C. { y | ? y ? 1} D. ? 2 2
A.a 内的所有直线均与直线 a 异面 C.直线 a 与平面 a 有公共点
2 2 10
4





4.若直线 a 不平行于平面 a,则下列结论成立的是 B.a 内不存在与 a 平行的直线 D.a 内的直线均与 a 相交





5.在 (1 ? x ? x )(1 ? x ) 展开式中 x 系数为 A.55 B.35 6.函数曲线 C : y ? 3sin(2 x ?

( D.50



?

) 关于点 P ( , 0) 中心对称所所曲线的解析式为 ( 3 6

?

C.45



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A. y ? ?3sin(2 x ? C. y ? ?3sin 2 x

?
3

)

B. y ? 3sin(2 x ? D. y ? 3sin 2 x

?
3

)

7.将长宽分别为 3 和 4 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,得到四面体 A—BCD,则 四面体 A—BCD 的外接球的表面积为 A.25π B.50π C.5π D.10π ( )

8. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0), 过点E(m,0)(m ? 0) 的直线交抛物线于点 M、 交 y 轴于点 P, N, 若 PM ? ? ME, PN ? ? NE, 则? ? ? A.1 B. ?

???? ?

???? ??? ?

??? ?





1 C.—1 D.—2 2 9.若关于 x 的方程 x | x ? a |? a 有三个不相同的实根,则实数 a 的取值范围为 ( A. (0,4) B. (—4,0) C. (—4,4) D. (?4,0) ? (0, 4)
△OAB 周长的最小值为 A.8 B.10 C.12 D. 4 5 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分把答案填在题中横线上。 11. lim(
n ?1



10.过定点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴正半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,O 为坐 标原点,则 ( )

1 2 ? 2 )? 1? x x ?1


12.若实数 x、y 满足约束条件 | x | ? | y |? 1, 则z ? x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y 的最大值为

13.从 4 个班级的学生中选出 7 名学生代表,若每一个班级中至少有一名代表,则选法种数 为 。 14.随机变量 ? ~ N (2, 2 ), 则D( ? ) =
2

1 3



x2 y2 15.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的左项点为 A,右焦点为 F,设 P 为第一象限内曲线上的任意一点, a 3a
若 ?PFA ? ? ? ?FAP, 则? 的值为 。

三、解答题 :本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,过 A 向 BC 边作垂线交 BC 边上一点于 D,C=2B,BC=2,

AD ?

3 2
(2)求 AC 边长。

(1)求 BD 之长;

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17. (本小题满分 12 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面 ABC 的边长为 2a,侧棱 AA1=2a,M、N 分别为 AA1、BC 中点 (1)求四面体 C1—MNB1 体积; (2)求直线 MC1 与平面 MNB1 所成角正弦值。

18. (本小题满分 12 分) 已知一颗质地均匀的正方体骰子,其 6 个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6,现将其 投掷 3 次,分别为 (1)求所出现最大点数不大于 3 的概率; (2)求所出现最大点数恰为 3 的概率。 (3)设所出现的最大点数为 ? ,求 ? 的期望值。

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,过左焦点 F (?c, 0) 的直线交椭圆 C 于 P、Q 两点,若 FP ? (1, 3), 且

??? ?

1 1 4 ? ? . | PF | | QF | 3

(1)若 PF ? ? FQ ,求实数 ? 值; ( 2)求椭圆 C 的方程。

??? ?

??? ?

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20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x. (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在正常数 ? , 使不等式 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 求出最小正数 ? ,否则请说明理由。

x2

?

在0 ? x ? 1 恒成立?如果存在,

21. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足递推式:

an?1 ?

2 2 ? an ? (n ? 2), a 1 ? 1, a 2? 3 an an?1 1 , 求数列{bn } 的通项公式; 1 ? an 1 1 1 n 1 ? ??? ? ? , (n ? N * ) ; 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 3 12

(1)若 bn ?

(2)求证:

(3)求证: | a1 ? 2 | ? | a2 ? 2 | ??? | an ? 2 |? 3,(n ? N * ).

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参考答案
一、选择题 1—5 ABADB 二、填空题 11.

6—10 CACDB

1 12.3 2

13.20

14.

4 9

15.2

三、解答题 16. (1)在 ?ABC中, 设BD ? x, 则DC ? 2 ? x

3 3 , tan C ? , 又C=2B 2x 2(2 ? x) 2 tan B 则由tanC=tan2B= 可知 : 1 ? tan 2 B tan B ? 3 2 x 化简得到 : 2 x(2 ? x) ? x 2 ? 3 4 3 1 ? ( )2 2x 4 1 3 1 即x 2 ? x ? ? 0得x ? 或x ? ? (舍) 3 4 2 6 3 于是所求 BD 之长为 . ………………7 分 2 3 ? 2(2 ? x) 2?
(2)在 ?BDA中, tan B ? 则B ?

3/2 3 ? 3/ 2 3

?
6

2 1 从而 AC=BC·sinB= 2 ? ? 1. 2

,C ?

?
2

,A?

?
………………12 分

17.解: (1)在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1//BC1 从而可得 VN ? A1B1C1 ?

1 1 2 3 3 ( ? 2a ? 2a ? sin 60? ) ? 2a ? a. 3 2 3

………………6 分

(2)对于 ?MNB1 , B1 N ? B1M ? 5a, MN ? 2a

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1 ? 2a ? 2a ? 2a 2 2 设C1到平面MNB1之距为d , 则由VC1 ? MNB 1 ? VN ? B C1 N 1知 : 则?MNB1面积S ? 1 2 3 1 2 3 2 ( S ?MNB1 ) ? d ? a,? ? 2a 2 ? d ? a 得到d ? 3a, 3 3 3 3 设MC1与平面MNB1所成角为? ,
则 sin ? ?

d 3a 15 ? ? . MC1 5 5a

………………12 分

18.解: (1)每一颗骰子所出现点数介于 1 至 3 之间的概率为

3 ,投掷 3 次,得概率 6

3 1 P ? ( )3 ? 6 8 3 6
3

………………4 分

(2)所求概率等于由最大点不大于 3 的概率减去最大点数不大于 2 的概率 即P ? ( ) ?( ) ?
2

2 6

1 1 17 ? ? 8 27 216

………………8 分

(3)由(2) 可知所出现最大点数为 ?的概率为P(? ? k ) ? ( ) ? (
3

k 6

k ?1 3 ) 6

则 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

5

6

1 216

7 216

19 216

37 216

61 216

91 216

119 . ………………12 分 24 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 19.解: (1)? PF ? ? FQ, ? ? 0, 又FP ? (1, 3)有 | FP |? 2
则最大点数 ? 的期望值 E? ?

1 1 4 ? ? 又 ??? ? ??? ? | PF | |QF | 3
则有

1 ? 4 5 ? ? 求得? = 2 2 3 3

………………6 分

(2)方法一:设过右焦点的直线与椭圆交于 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 由椭圆的第二定义可知: | PF |? a ? ex1 ? a ?

c (1 ? c) 2 a

(1)

c 3 6 (? ? c) ? (2) a 5 5 8 c 4 ? a ? 2c (1)—(2)得 ? ? 5 a 5 代入(1)得 c ? 1
同理 a ?

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∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

………………13 分

方法二:由方法一知: 2a ? c ? b

2

x2 y 2 又y ? 3( x ? c)代入 2 ? 2 ? 1中得(b 2 ? 3a 2 ) x 2 ? 6a 2 cx ? a 2 (3c 2 ? b 2 ) ? 0 a b 2 ?6a c a 2 (3c 2 ? b 2 ) 得x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? b ? 3a 2 b 2 ? 3a 2 1 1 1 1 又 ? ? ? | PF | | QF | a ? ex1 a ? ex2 ? 2a ? e( x1 ? x2 ) a ? ae( x1 ? x2 ) ? e 2 x1 x2
2

c ?6a 2 c 2a ? ( 2 ) a b ? 3a 2 ? 2 2 ?6a 2 c 2 2 3c ? b a ? c( 2 )?c ( 2 ) b ? 3a 2 b ? 3a 2 8a(a 2 ? c 2 ) 4 3 ? ? ,即b 2 ? a 2 2 2 3 2 4(a ? c ) 又b 2 ? 2a ? c, 从而求得a ? 2, c ? 1, b ? 3
因此所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

………………13 分

20.解: (1)由 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x知其定义域为: ?1 ? x ? 1 求导数得到 f ?( x) ?

1 2 1? x

?

1 2 1? x

令f ?( x) ? 0 得到 :x? 0 在0 ? x ? 1 , f ? (x ? 0 时 ) 在 ? 1 ? x ? 1 , f ? (x ? 0 时 )
因此 f ( x)在[0,1]上为减函数, 在 ?1,0] 上为增函数 ………………6 分 [ (2)方法一:令 1 ? x ? 1 ? x ? t , 则x ? 1 ?
2

1 2 (t ? 2) 2 , 4

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又0 ? x ? 1, 则 2 ? t ? 2 因此要使 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? x2 恒成立. a

1 只需1 ? (t 2 ? 2) 2 ? a(2 ? t )在 2 ? t ? 2恒成立. 4 即需g(t)=(t2 -2)2 ? 4? (t ? 2) ? 4 ? 0在t ? [ 2, 2]上恒成立. 而g ?(t ) ? 4[t (t 2 ? 2) ? ? ]在 2 ? t ? 2上单调递增. 于是 : g ?( 2) ? g ?(t ) ? g ?(2) 又 ? g (2) ? 0, 只需g (t ) ? g (2) 于是只需g ?(2) ? 4(4 ? ? ) ? 0, 从而? ? 4.
因此存在这样的正常数 ? ,且求得 ? 的最小值为 4。 方法二:由解法 1 知只需 1 ? 当 t=2 时,显然成立 ………………13 分

1 2 (t ? 2) 2 ? ? (2 ? t )在 2 ? t ? 2 上恒成立 4

1 1 ? (t 2 ? 2)2 1 4 当 2 ? t ? 2时, 只需? ? ? t 2 (t ? 2) 恒成立, 2?t 4 1 2 1 2 又 t (t ? 2) ? ? 2 (2 ? 2) ? 4 4 4 ?? ? 4
即 ? 最小值为 4。 21.解: (1)? an?1 ? ………………13 分

2 2 2 ? an ? ? ? ? a2 ? ? 3 ? 2 ? 1 an an?1 a1

? an ?1 ?

2 ?1 an

2 (an ? 1 ) 1 即an ?1 ? 1 ? 2 ( ? ) an ? 1 an ? 1 1 a 1 1 ? ? n ? (? ? 1) 1 ? an ?1 2 1 an ? 2 ? an 1

1 ( 1? bn ) 2 1 1 1 ? bn ?1 ? ? ? (bn ? ) 3 2 3 1 1 1 1 1 ? bn ? ? (? ) n ?1 (b1 ? ) ? ? (? ) n 3 2 3 3 2 1 1 n ? bn ? [1 ? (? ) ] ………………5 分 3 2 即bn ?1 ?
(2)

1 1 1 n 1 1 1 1 ? ??? ? ? [(? ) ? (? )2 ? ? ? (? ) n ] 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 3 3 2 2 2

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1 1 1 而(? )3 ? (? ) 4 ? ? ? (? ) n ? 0( n ? 2) 2 2 2 1 1 1 n 1 1 1 n 1 ? ? ??? ? ? [(? ) ? ] ? ? (n ? 2) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 3 3 2 4 3 12 而n ? 1时显然成立.

?

1 1 1 n 1 ………………9 分 ? ??? ? ? an 1 ? a2 1? an 3 12 1 1 1 ? [1 ? (? ) n ] 1 ? an 3 2

(3)由(2)知

3 ? an ?1 ? 1 1? ( n ? ) 2
1 (? )n 3 2 ?| an ? 2 |? 3 | |? 1 | (?2) n ? 1 | 1 ? (? )n 2 3 | a2 k ?1 ? 2 |? 2 k ?1 2 ?1 3 | a2 k ? 2 |? 2 k 2 ?1 1 1 ?| a2 k ?1 ? 2 | ? | a2 k ? 2 |? 3( 2 k ?1 ? 2k ) 2 ?1 2 ?1 22 k ?1 ? 22 k 22 k ?1 ? 22 k 1 1 ? 3 ? 4 k ?1 ? 3? ? 3( 2 k ?1 ? 2 k ) 2 k ?1 4 k ?1 2 ?2 ?1 2 2 2
?| a1 ? 2 ? a 2 ? | | 2 ? ? a k|2? ? ?| 1 ?2 a |
k ?2

|

2

|

1 1 1 1 ? 3 ( ? 2 ? ? ? 2k )? 3 ?1 k2 ? ) 3 ( 2 2 2 2 而 | a1 ? 1 ? a 2 ? 2 ? ? a k|2? ? ?2 a k 2| | | ?| | ? 1 1 3 ? 2k ? 1 ? ) 2k 2 2 ? 1 2k ? 1 而2 ? 1? 2k2 ? 3 (1 ? ? 1 2
2k ? 1

? 2 |k ? 2 ? 1 a | )

2 |

3? 1 (

1 ? 1 2 ? 1
k2 ?

k 2

1 2

?1 1 3 ? 3(1 ? 2 k ) ? 2k ? 1 ? 3 2 2 ?1

?

1 2 k2

? a1 ? 2 | ? | a2 ? 2 | ??? | an ? 2 |? 3. ………………13 分 |

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