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2013届高考数学(理)一轮复习课件:选修4-1几何证明选讲第2讲


圆周角定理与圆的切线

【2013 年高考会这样考】 考查圆的切线定理和性质定理的应用. 【复习指导】 本讲复习时,牢牢抓住圆的切线定理和性质定理,以及圆周角 定理和弦切角等有关知识,重点掌握解决问题的基本方法.

基础梳理 1.圆周角定理 (1)圆周角:顶点在圆周上且两边都与圆 相交 的角. (2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧

度数的 一半 . (3)圆周角定理的推论 ①同弧(或等弧)上的圆周角 相等 ;同圆或等圆中,相等的圆周 角所对的弧 相等 . ②半圆(或直径)所对的圆周角是 90°;90° 的圆周角所对的弦 是 直径 .

2.圆的切线 (1)直线与圆的位置关系

直线与圆交点的 直线到圆心的距离d与圆 个数 的半径r的关系
相 交 相 切 相 离

两个
一个 无

d<r
d=r d>r

(2)切线的性质及判定 ①切线的性质定理:圆的切线垂直于经过 切点 的半径. ②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线. (3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长 相等 .

3.弦切角 (1)弦切角:顶点在圆上,一边与圆 相切 ,另一边与圆相交的 角. (2)弦切角定理及推论 ①定理:弦切角的度数等于所夹弧的度数的 一半 . ②推论:同弧(或等弧)上的弦切角 相等 ,同弧(或等弧)上的弦 切角与圆周角 相等 .

双基自测 1.如图所示,△ABC中,∠C=90° , AB=10,AC=6,以AC为直径的圆 与斜边交于点P,则BP长为________. 解析 连接CP.由推论2知∠CPA=90° ,即CP⊥AB,由射影定

理知,AC2= AP· AB.∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4. 答案 6.4

2.如图所示,AB、AC 是⊙O 的两条切线, 切点分别为 B、C,D 是优弧 上的点,

已知∠BAC=80° 那么∠BDC=________. , 解析 连接 OB、OC,则 OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC=180°

-∠BAC=100° , 1 ∴∠BDC= ∠BOC=50° . 2 答案 50°

3.(2011· 广州测试(一))如图所示,CD是圆 O的切线,切点为C,点A、B在圆O上, BC=1,∠BCD=30° ,则圆O的面积为________. 解析 连接OC,OB,依题意得,∠COB=2∠CAB=2∠BCD =60° ,又OB=OC, 因此△BOC是等边三角形, OB=OC=BC=1,即圆O的半径为1, 所以圆O的面积为π×12=π. 答案 π

4.(2011· 深圳二次调研)如图,直角三 角形ABC中,∠B=90° ,AB=4,以BC 为直径的圆交AC边于点D,AD=2,则 ∠C的大小为________. 解析 连接BD,则有∠ADB=90° .在Rt△ABD中,AB=4,AD =2,所以∠A=60° ;在Rt△ABC中,∠A=60° ,于是有∠C= 30° . 答案 30°

5.(2011· 汕头调研)如图,MN是圆O的 直径,MN的延长线与圆O上过点P的切 线PA相交于点A,若∠M=30° ,AP=2 3, 则圆O的直径为________. 解析 连接OP,因为∠M=30° ,所以∠AOP=60° ,因为PA切 AP 圆O于P,所以OP⊥AP,在Rt△ADO中,OP= = tan ∠AOP 2 3 =2,故圆O的直径为4. tan 60° 答案 4

考向一 圆周角的计算与证明 【例1】?(2011· 中山模拟)如图,AB为⊙O的直径,弦AC、BD 交于点P,若AB=3,CD=1,则sin∠APB=________. [审题视点] 连结AD,BC,结合正弦定理求解.

解析

连接AD,BC.因为AB是圆O

的直径,所以∠ADB=∠ACB=90° . 又∠ACD=∠ABD,所以在△ACD中, CD AD 由正弦定理得: = sin∠DAC sin∠ACD ABsin∠ABD AD = = =AB=3,又CD=1,所以sin∠ sin∠ABD sin∠ABD 1 2 DAC=sin∠DAP= ,所以cos∠DAP= 2. 3 3 2 又sin∠APB=sin (90° +∠DAP)=cos∠DAP=3 2. 答案 2 3 2

解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的 关系.

【训练1】 如图,点A,B,C是圆O上的点, 且AB=4,∠ACB=30° ,则圆O的面积 等于________. 解析 连接AO,OB.因为∠ACB=30° ,所以∠AOB=60° ,△ AOB为等边三角形,故圆O的半径r=OA=AB=4,圆O的面积 S=πr2=16π. 答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用 【例2】?如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O 的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC=8,CD=5, AF=6,则EF的长为________. [审题视点] 先证明△EAB∽△ABC,再由AE∥BC及 等条件转化为线 段之间的比例关系,从而求解.

解析

∵BE切⊙O于B,∴∠ABE=∠ACB.

又AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC, BE AB ∴△EAB∽△ABC,∴AC=BC. EF BE AB EF 又AE∥BC,∴AF=AC,∴BC=AF. 又AD∥BC,∴ AB = CD , CD EF 5 EF ∴AB=CD,∴ BC =AF,∴8= 6 , 30 15 ∴EF= 8 = 4 . 答案 15 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角 的关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小. (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的 点,常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角.

【训练2】 (2010· 新课标全国)如图,已知圆上的弧 过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE×CD.



证明 (1)因为 所以∠BCD=∠ABC.



又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, BC CD 所以△BDC∽△ECB,故BE= BC , 即BC2=BE×CD.

高考中几何证明选讲问题(二) 从近两年的新课标高考试题可以看出,圆的切线的有关知识是 重点考查对象,并且多以填空题的形式出现.

【示例】?

(2011· 天津卷)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交

于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF= 2,AF∶FB∶BE =4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为________.

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