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【高考精品复习】第七篇 不等式 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 【高考会这样考】 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围). 2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围. 【复习指导】 1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域). 2.理解目标函数的几何意义,掌握解决线性规划问题的方法(图解法),注意线 性规划问题与其他知识的综合. 基础梳理 1.二元一次

不等式表示的平面区域 (1)一般地,直线 l:ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分: ①直线 l 上的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c=0; ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c>0; ③直线 l 另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c<0. 所以,只需在直线 l 的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从 ax0+by0 +c 值的正负,即可判断不等式表示的平面区域. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax +By+C 所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符号即可判断 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C =0 哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 名 称 意 义 目标函数 约束条件 线性约束条件 线性目标函数 可行解 欲求最大值或最小值的函数 目标函数中的变量所要满足的不等式组 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数是关于变量的一次函数 满足线性约束条件的解 可行域 最优解 线性规划问题 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 在线性约束条件下, 求线性目标函数的最大值或最小值 问题 一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的 方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号, 把直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测 试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就 表示直线的另一侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时, 常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点. 一个步骤 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 两个防范 (1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. (2)求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜 a z z 截式:y=-bx+b,通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值.要注意:当 b z z >0 时,截距b取最大值时,z 也取最大值;截距b取最小值时,z 也取最小值;当 z z b<0 时,截距b取最大值时,z 取最小值;截距b取最小值时,z 取最大值. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式表示为 ( ). A.2x-y-3<0 B.2x-y-3>0 C.2x-y-3≤0 D.2x-y-3≥0 解析 将原点(0,0)代入 2x-y-3 得

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