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§3.1 不等关系与不等式 2


第三章 不等式

§3.1 不等关系与不等式

一.生活中的不等关系 (1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度 不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇宙 速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带 物品 ------杆状物不超过200cm,重量不得超 过20kg

(3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩 问题1 上

面的不等关系是用什么不等词表示的?

请你举出生活中的一些不等关系的例子

二.用不等式(组)表示不等关系 (1)右图是限速40km/h的路标,指示司
机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v不超过40km/h . 0<v≤40

40
v1 ? v ? v2
? f ? 2 .5 % ? ? p ? 2 .3 %

(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 宙速度( 记作 v2 ). 1 ),且小于第二宇宙速度(记

v

v

(3)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.

问题2 请你自选一个现实生活中 不等关系的例子,并请同位用不等 式来表示.
? f ? 2 .5 % ? ? p ? 2 .3 %

课堂评价1:用不等式表示下面的不等关系: a+b≥0 1.a与b的和是非负数; 2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
0<h≤4

3.设点A与平面 的距离为d,B为平面 ? 0 ? d≤|AB| 上的任意一点,写出d满足的不等式. 4.在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一 个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4 倍.写出L与W的关系
5m 5m 5m 5m

?

?( L ? 10)(W ? 10) ? 350, ? L ? 4W ? ? ?L ? 0 ? ?W ? 0

问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售, 可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢?
思考(1 )销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x ? 2.5 ? 0.2万 本 0.1

x ? 2. 5 8? ? 0 .2 0.1
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x万 元 0.1

解:若杂志的定价为x元,则销售量减少:
x ? 2.5 ? 0.2万 本 因此,销售总收入为: 0.1

x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x万 元 用不等式表示为: 0.1

x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x ? 20 0.1

问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 产的要求,600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格 的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式(组)表示上述不等关系. 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得 600mm的钢管y根。根据题意,应当有什么 样的不等关系呢? (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负.

上面三个不等关系,是“且”的关系,要同 时满足的话,可以用下面的不等式组来表示:

?500x ? 600y ? 4000 ? 3x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? x,y ∈ N ? ?
考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N

课堂评价2

1.有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系 2. 2008年春节前夕,我国南方大部分地区 遭受特大雪冻天气.灾区学生小李家中经济发 生困难,为帮助小李解决开学费用问题,小 李所在班级学生(小李除外)决定承担这笔 费用.若每人承担12元人民币,则多余84元; 若每人承担10元,则不够;若每人承担11元, 又多出40元以上.若该班除小李外共有x人,这 笔开学费用共用y元,用不等式(组)表示上述不 等关系.

1.分析:设个位数字为

a

, 十位数字为

b

,则

?12 x ? y ? 84 2.分析:该班除小 ? 李外共有x人,这 ?10 x ? y 笔开学费用共y元, ? 11 x ? y ? 40 则: ? ? ?x ? N *

?50 ? 10b ? a ? 60 ?a ? b ? 2 ? ? a ? N ? ? ? b ? N ?
a
b

课堂评价3 收获知多少

? 知识上, 我们主要学习了如何将实际问题中 的不等关系表示成不等式. ? 方法上,用不等式(组)表示实际问题中的不 等关系时,(1)要先读懂题,设出未知量(2) 抓关键词,找到不等关系(3)用不等式表示不 等关系. 思维要严密、规范.

探究
不等式的基本性质: a ?b (1).a ? b ? 0 ? ________;

a?b (2)a ? b ? 0 ? ________ a ?b (3)a ? b ? 0 ? _______ .

说明:上式中使用的符 号:“ ?” 表 示 “ 等 价 于,” 即符号两端可以互相推 出.

作用:比较两个实数大小的依据之一.

a ? c __ 2)a ? b, b ? c ? __________
? c ? b ?_ c 3)a ? b ?a __________

b ? a __ (对称性) 1)a ? b ? __________
(传递性) (平移性)

a ? b ? c ? a ? c ? b (移项法则)
(乘法单调性) (同向不等式相加)

? bc _______, ?a ? b, c ? 0 ?ac 4)? ac ? bc ?a ? b, c ? 0 ? _______
a?c 5)a ? b, c ? d ? _______ ?b?d

ac ? bd (同向正值不等式相乘) 6)a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ________
n n a ? b 7)a ? b ? 0 ? ________

a? b 8)a ? b ? 0 ? ________
n n

(不等式乘方、开方)

不等式的性质
对称性 传递性 加法性质 乘法性质 指数运算性质 倒数性质





a?b?b?a a ? b, b ? c ? a ? c a ? b ? a ? c ? b ? c; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

a ? b ? b ? a;

a ? b ? 0 ? a n ? bn ;

a ?b ?0?n a ? n b 1 1 a ? b, ab ? 0 ? ? a b

关于不等式性质的学习要注意 要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以及条件 与结论之间的相互联系.特别要注意有些性质的逆命题成立的;有 些性质的逆命题不成立

c c 例1 a ? b ? 0, c ? 0, 求证: ? a b
1 证明: 因为a ? b ? 0,所以ab ? 0, ? 0. ab 1 1 1 1 于是, a ? ? b? . 即 ? . ab ab b a

c c 又因为c ? 0, 得: ? . b a



c c ? . a b


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