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解析几何中定点与定值问题


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考点二 例2

圆锥曲线中的定值、定点问题 x2 y2 1 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直 a b 2

线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、
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B 在直线 x=4 上的射影依次为

D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λAF,MB=μBF,当直 线 l 的倾斜角变化时,探求 λ+μ 的值是否为定值?若是, 求出 λ+μ 的值;否则,说明理由; (3)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并 给予证明;否则,说明理由.

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(1)待定系数法;(2)用直线的斜率为参数建立直线 方程,代入椭圆方程消y后可得点A,B的横坐标的关系式, → → → → 然后根据向量关系式 MA =λ AF , MB =μ BF 把λ,μ用点A,B 的横坐标表示出来,只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即 证明了其为定值,否则就不是定值;(3)先根据直线l的斜率不 存在时的特殊情况,看两条直线AE,BD的交点坐标,如果 直线AE,BD相交于定点的话,这个特殊位置时的交点就是 这个定点,这样只要证明直线AE,BD都经过这个定点即证 明了两直线相交于定点,否则两直线就不相交于定点.

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c 1 2 2 2 解 (1)依题意得b= 3,e=a= ,a =b +c , 2 x2 y2 ∴a=2,c=1,∴椭圆C的方程为 4 + 3 =1.
(2)因直线l与y轴相交,故斜率存在,设直线l方程为
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y=k(x-1),求得l与y轴交于M(0,-k), 又F坐标为(1,0),设l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2), y=k?x-1?, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3 消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 ∴x1+x2= ,x x = , 3+4k2 1 2 3+4k2

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→ → 又由MA=λAF,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),

x1 x2 ∴λ= ,同理μ= , 1-x1 1-x2
本 x1+x2-2x1x2 x1 x2 + = 讲 ∴λ+μ= 1-x1 1-x2 1-?x1+x2?+x1x2 栏 目 开 2?4k2-12? 8k2 关 2- 2

3+4k 3+4k 8 = =-3. 2 2 4 k - 12 8k 1- + 3+4k2 3+4k2

8 所以当直线l的倾斜角变化时,直线λ+μ的值为定值- . 3

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(3)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥x 轴,则 ABED 为矩形,
由对称性知,AE 与 BD 相交于 FK 的中点
?5 ? N?2,0?, ? ?

猜想,当直线l的倾斜角变化时,
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?5 ? AE与BD相交于定点N?2,0?, ? ?

证明:由(2)知A(x1,y1),B(x2,y2), ∴D(4,y1),E(4,y2),当直线l的倾斜角变化时,首先证直线 ?5 ? AE过定点?2,0?, ? ? y2-y1 ∵lAE:y-y2= (x-4), 4-x1

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y2-y1 ? 3? 5 ?- ? 当x= 时,y=y2+ · 2 4-x1 ? 2? 2?4-x1?· y2-3?y2-y1? = 2?4-x1?
本 2?4-x1?· k?x2-1?-3k?x2-x1? 讲 = 2?4-x1? 栏 目 -8k-2kx1x2+5k?x1+x2? 开 关 = 2?4-x ?
1

-8k?3+4k2?-2k?4k2-12?+5k· 8k2 = =0. 2 2?4-x1?· ?3+4k ?
?5 ? ∴点N?2,0?在直线lAE上. ? ?

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?5 ? 同理可证,点N?2,0?也在直线lBD上. ? ?

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?5 ? ∴当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD相交于定点?2,0?. ? ?

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(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问 题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的
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问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键 的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0 =k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的 斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

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(2013· 陕西)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得 弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同
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的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明:直线l过定 点.
(1)解 如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意, 得|O1A|=|O1M|, 当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H, 则H是MN的中点, ∴|O1M|= x2+42,

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又|O1A|= ?x-4?2+y2,

∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0).
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又当 O1 在 y 轴上时, O1 与 O 重合, 点 O1 的坐标为(0,0)也满足 方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将y=kx+b代入y2=8x中, 得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.

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8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= k2 , b2 x1x2=k2 ,
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其中Δ=-32kb+64>0.

① ②

y1 y2 因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以 =- , x1+1 x2+1 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0 将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). ③

题型二

定值、定点问题

x2 y2 例 2 (1) 已知直线 y =- x + 1 与椭圆 2 + 2 = a b 1(a>b>0)相交于 A、B 两点,且 OA⊥OB.(其中 O 为坐标
原点) 求证:不论 a、b 如何变化,椭圆恒过第一象限内 的一个定点 P,并求点 P 的坐标.

x y ? ? 2+ 2=1, 【解析】 (1)由?a b ? ?y=-x+1,
2 2

消去 y 得(a2+

b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0, 由 Δ =(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得 a2 +b2>1.

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2a2 a2(1-b2) 则 x1+x2= 2 2,x1x2= 2 2 , a +b a +b ∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1. ∵OA⊥OB(其中 O 为坐标原点), ∴x1x2+y1y2=0,即 2x1x2-(x1+x2)+1=0, 2a2(1-b2) 2a2 ∴ 2 2 - 2 2+1=0, a +b a +b 整理得 a2+b2-2a2b2=0.
? 2 ?2 ? ? ?2 ? ? 2? 2 ? ? ?2?

由 a2+b2-2a2b2=0 得

a

2



b

2

=1,则不论 a、b

? 2 2? 如何变化,椭圆恒过第一象限内的定点? , ?. 2 ? ?2

(2)已知椭圆 C 方程为 + =1,当过点 P(4,1)的动直 4 2 线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A、 B 时, 在线段 AB 上取点 Q, →|=|→ →|.证明: 满足|→ AP|·|QB AQ|·|PB 点 Q 总在某定直线上. 【解】 设点 Q、A、B 的坐标分别为(x,y),(x1,y1), (x2,y2). |→ AP| → → → → 由题设知|AP|、 |PB|、 |AQ|、 |QB|均不为零, 记λ = |→ PB| |→ AQ| = ,则 λ >0 且 λ ≠1. → |QB| 又 A、P、B、Q 四点共线,从而→ AP=-λ → PB,→ AQ=λ → QB.

x2 y2

于是 4=

x 1 -λ x 2
1-λ

,1=

y 1 -λ y 2
1-λ

,x=

x 1 +λ x 2
1+λ

,y=

y1+λ y2
1+λ

.

从而

x21-λ 2x22
1-λ
2 2

=4x,①

2 2 y2 1 -λ y2

1-λ 2 又点 A、B 在椭圆 C 上,即 x2 1+2 y1 =4 ,③ 2 x2 2 +2 y2 =4.④ ①+2×②并结合③、④得 4x+2y=4. 即点 Q(x,y)总在定直线 2x+y-2=0 上.

=y.②

x2 y2 (3)(厦门质检)如图, 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 C(2,1),点 C 关于原 点 O 的对称点为 D. (1)求椭圆 E 的方程; (2)点 P 在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜率都存在 且不为 0,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定值? 若是,求此定值;若不是,请说明理由.

【解】 (1)∵2a=2×2b,∴a=2b. ∵椭圆 E 过点 C(2,1), 22 1 ∴ 2+ 2=1,∴b= 2,a=2 2, 4b b ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 8 2

x2 y2

(2)依题意得 D 点的坐标为(-2,-1),且 D 点在椭圆 E 上 直线 CP 和 DP 的斜率 kCP 和 kDP 均存在, y-1 y+1 y-1 y+1 设 P(x, y), 则 kCP= , kDP= , ∴kCP·kDP= · x-2 x+2 x-2 x+2 y2-1 = 2 . x -4 x2 y2 又∵点 P 在椭圆 E 上,∴ + =1,∴x2=8-4y2, 8 2 y2-1 1 1 ∴kCP·kDP= 2 =- , ∴直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值- . x -4 4 4

探究 2 圆锥曲线中定值问题关键是灵活利用条件, 等价转 化.

所以若符合条件的点M存在,则M的坐标必为(1,0). 以下证明M(1,0)就是满足条件的点: 因为M的坐标为(1,0),所以 MP =
? 4k 3? ?- -1, ? m? ? m

, MQ =

12k 12k MQ =- m -3+ m +3=0, (3,4k+m),从而 MP · 故恒有 MP ⊥ MQ ,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径 的圆恒过点M.

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(1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是:把直线或曲 线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然

是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的
系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这 个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式: y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程

的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

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x2 y2 2 1.已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率e= 2 ,左、右焦点分 别为F1、F2,点P(2, 3),点F2在线段PF1的中垂线上. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与 F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,试问直线l是否过定 点?若过,求该定点的坐标.

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2 c 2 解:(1)由椭圆C的离心率e= 2 ,得a= 2 , 其中c= a2-b2, 椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0). 又∵点F2在线段PF1的中垂线上, ∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=( 3)2+(2-c)2, 解得c=1,∴a2=2,b2=1. x2 2 ∴椭圆的方程为 2 +y =1.

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(2)由题意直线 MN 的方程为 y=kx+m,
2 x ? ? +y2=1, 由? 2 消去 y 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0. ? ?y=kx+m

设 M(x1,y1),N(x2,y2), 2m2-2 kx1+m 4km 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 ,且 kF M= , 2 2k +1 2k +1 x1-1 kx2+m kF N= , 2 x2-1 由已知 α+β=π 得 kF M+kF N=0,
1 2

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kx1+m kx2+m 即 + =0. x1-1 x2-1 化简,得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 2m2-2 4km?m-k? 所以2k· 2 - -2m=0, 2k +1 2k2+1 整理得m=-2k. 故直线MN的方程为y=k(x-2), 因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0).

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圆锥曲线中的定值问题
[例2] (2012· 江苏高考)如图,在平面直角

x2 y2 坐标系xOy中,椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)
? 和? ?e, ?

3? ? 都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率. 2? ?

(1)求椭圆的方程; (2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线 BF2平行,AF2与BF1交于点P,

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6 ①若AF1-BF2= 2 ,求直线AF1的斜率; ②求证:PF1+PF2是定值. [思路点拨] a,b的值; (2)由(1)可知F1、F2的坐标,设出直线AF1与BF2的方程,然后 利用弦长公式可求|AF1|与|BF2|,从而可求AF1的斜率;分别用AF1 和BF2表示PF1与PF2,即可证明PF1+PF2为定值. (1)将点(1,e)和
? ? ?e, ?

3? ? 代入椭圆方程即可求得 2? ?

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[规范解答]

c (1)由题设知a =b +c ,e=a.
2 2 2

1 c2 由点(1,e)在椭圆上,得a2+a2b2=1, 解得b2=1.于是c2=a2-1,
? 又因为点? ?e, ?
2 e 3 3? ? 在椭圆上,所以a2+4b2=1, 2? ?

a2-1 3 即 a4 +4=1,解得a2=2. x2 2 因此,所求椭圆的方程是 2 +y =1.

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(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),又因为直线AF1与BF2平行,所 以可设直线AF1的方程为x+1=my,直线BF2的方程为x-1=my. 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.
2 x ? ? 1+y2 1 = 1, 2 由? 得(m2+2)y2 1-2my1-1=0, ? ?x1+1=my1,

m+ 2m2+2 解得y1= , m2+2 故AF1= = ?x1+1?2+?y1-0?2 m2+1 .①

2 2 ? m + 1? + m 2 2 ?my1? +y1= m 2+ 2

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2?m2+1?-m m2+1 同理,BF2= .② 2 m +2 2m m2+1 ⅰ.由①②得AF1-BF2= , m2+2 2m m2+1 6 2 解 = ,得 m =2,注意到m>0,故m= 2. 2 2 m +2 1 2 所以直线AF1的斜率为m= 2 . PB BF2 ⅱ.证明:因为直线AF1与BF2平行,所以PF =AF , 1 1

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PB+PF1 BF2+AF1 于是 PF = AF , 1 1 AF1 故PF1= BF . AF1+BF2 1 由B点在椭圆上知BF1+BF2=2 2, AF1 从而PF1= (2 2-BF2). AF1+BF2 BF2 同理PF2= (2 2-AF1). AF1+BF2

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AF1 BF2 因此,PF1+PF2= (2 2-BF2)+ AF1+BF2 AF1+BF2 2AF1· BF2 (2 2-AF1)=2 2- . AF1+BF2 2 2?m2+1? 又由①②知AF1+BF2= , 2 m +2 m2+1 2 3 2 AF1· BF2= 2 ,所以PF1+PF2=2 2- 2 = 2 . m +2 因此,PF1+PF2是定值.

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(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表

达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,
而始终是一个确定的值. (2)求定值问题常见的方法有两种: ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,

从而得到定值. 返回


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