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北京市西城区2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题


北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2014.1

A 卷 [必修 模块 4]

本卷满分:100 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.已知 ? ? [0, 2?) ,且角 ? 与角 ? (A)

11π 6

π 终边相同,则 ? ? ( 6 7π 5π (B) (C) 6 6


) (D)

π 6

2.若 sin ? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是( (A)第一象限的角 (C)第三象限的角

(B)第二象限的角 (D)第四象限的角 ) (D) (1, 2)

3.已知向量 e1 ? (1, 0) , e2 ? (0,1) ,那么向量 e1 ? 2e2 的坐标是( (A) (1, ? 2) (B) (?1, 2) (C) (?1, ? 2) )

4.若角 ? 的终边经过点 P(1, ?2) ,则 tan ? ? (

(A)

5 5

(B) ?

2 5 5

(C) ?2

(D) ?

1 2

5.已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,则 AB ? AC ? (

) (D) 2

(A)

2 2

(B) 1

(C) 2 )

6.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y ? sin x 的图象( (A)关于 x 轴对称 (C)关于原点对称

(B)关于 y 轴对称 (D)关于点 ( , 0) 对称 )

? 2

7.在△ ABC 中, D 是 BC 的中点,则向量 AD ? ( (A)

1 1 AB ? AC 2 2

(B) AB ? AC

(C)

1 1 AB ? AC 2 2

(D) AB ? AC

8.已知函数 f ( x) ?

? 3 1 sin x ? cos x ,则 f ( ) ? ( 12 2 2
(B)



(A)

2 2

3 2

(C) 1

(D) 2 )
?

9.设 a , b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a 与 b 夹角的大小为( (A) 120
?

(B) 90

?

(C) 60

?

(D) 30

10. 已知函数 f ( x) ? sin ? x cos ? x 在区间 [ ? (A)

3 2

(B)

4 3

? ? , ] 上单调递增, 则正数 ? 的最大值是 ( 6 3 3 2 (C) (D) 4 3



二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11. sin( ? ) ? ______. 12. 若 cos ? ? ?

? 3

1 ,且 ? ? (0, ? ) ,则 ? ? ______. 2

13. 已知向量 a ? (1,3) , b ? (?2, k ) .若向量 a 与 b 共线,则实数 k ? _____. 14. 若 tan ? ? 2 ,且 ? ????

3? ? ? ,则 sin(? ? ) ? ______. 2 2

15. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: 对任意的 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) .若 f (?1) ? 2 , 则 f (3) ? _____.

b ? (cos ? ,sin ? ) . 16. 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , 若 ? a , b? ?

π o s ( ?? ) ? ? _____. , 则c 3

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 tan ? ? ? (Ⅰ)求 tan(? ?

3 . 4

π ) 的值; 4 2 sin ? ? 3cos ? (Ⅱ)求 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin 2x ? cos 2 x)2 ? 1 . (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )若 x ? [

? ? , ] ,求 f ( x) 的最大值与最小值. 12 4

19.(本小题满分 12 分) 如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,O 为其中心,M , N 分别是 BC , DE 上的动点, 且 BM ? DN . (Ⅰ)若 M , N 分别是 BC , DE 的中点,求 OM ? ON 的值; (Ⅱ)求 OM ? ON 的取值范围.

B卷

[学期综合]

本卷满分:50 分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么 A
2

B ? _____.

2. 已知 a ? log2 3 , b ? log3 2 , c ? log 2 3. 函数 f ( x) ?
1 x2

1 .将 a, b, c 按从小到大排列为_____. 3

1 ? 2

??

x

的零点个数为_____.

4. 若函数 f ( x) ? x2 ? 2x 在区间 (a, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是_____. 5. 给定数集 A .若对于任意 a, b ? A ,有 a ? b ? A ,且 a ? b ? A ,则称集合 A 为闭集合. 给出如下三个结论: ① 集合 A ? {?4, ?2,0, 2, 4} 为闭集合; ② 集合 A ? {n | n ? 2k , k ? Z} 为闭集合; ③ 若集合 A 1, A 2 为闭集合,则 A 1

A2 为闭集合.

其中,全部正确结论的序号是_____.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 ?1 . x

(Ⅰ)证明: f ( x ) 是奇函数; (Ⅱ)用函数单调性的定义证明: f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数.

7.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ?1 ,其中 a ? 1 . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值与最小值互为相反数,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 的图象不经过第二象限,求 a 的取值范围. 8.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x | x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)设 a ? 0 ,求 f ( x ) 在区间 [0, a ] 上的最大值.

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷 A 卷 [必修 模块 4] 满分 100 分
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1. A; 2. D; 3. D; 4. C; 5. B; 6. C; 7.A; 8. A; 9. B; 10. C. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. ?

3 ; 2 5 ; 5

12.

?? ; 3

13. ?6 ;

14. ?

15. 2 ;

16.

1 . 2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:因为 tan ? ? ?

3 , 4

π tan ? ? tan π 4 所以 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? ? tan π 4
? ?7 .
(Ⅱ)解:因为 tan ? ? ? 所以

【 3 分】

【 6 分】

3 , 4
【 9 分】 【12 分】

2sin ? ? 3cos ? 2 tan ? ? 3 ? 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2
? 18 . 17

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: f ( x) ? (sin 2x ? cos 2 x) ? 1
2

? sin 2 2 x ? 2sin 2 x ? cos 2 x ? cos2 2 x ? 1
? sin 4 x ? 2 .
因为 T ?

【 2 分】 【 4 分】

2? ? ? , 4 2
? . 2
【 6 分】

所以 f ( x ) 的最小正周期是

(Ⅱ)解:由(Ⅰ )得, f ( x) ? sin 4 x ? 2 .

? ? ?x? , 12 4 ? ? 4x ? ? , 所以 3
因为 所以 0 ? sin 4 x ? 1 , 所以 2 ? sin 4 x ? 2 ? 3 . 所以,当 x ?

【 8 分】

【10 分】

? ? 时, f ( x ) 取得最大值 3 ;当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 2 . 【12 分】 8 4

19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:因为 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形, O 为其中心, 且 M , N 分别是 BC , DE 的中点,

所以 OM ? ON ?

3 ? , ?MON ? 120 , 【 2 分】 2
?

所以 OM ? ON ? OM ON cos120 ? ?

3 . 【 4 分】 8

(Ⅱ)解:因为 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形, O 为其中心, BM ? DN , 所以 △ DON ≌△ BOM . 所以 OM ? ON ,且 ?DON ? ?BOM , 即 OM ? ON ,且 ?MON ? 120 . 所以 OM ? ON ? OM ON cos120 ? ?
? 2 1 ON . 2

【 6 分】

?

【 8 分】 【10 分】

当点 N 重合于点 D 或 E 时,ON 取得最大值 1 ,OM ? ON 取得最小值 ?

1 ; 【11 分】 2

当点 N 是 DE 的中点时, ON 取得最小值

3 3 ,OM ? ON 取得最大值 ? . 【12 分】 8 2

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 1. {x | 0 ? x ? 1} ; 2. c ? b ? a ; 3. 1 ; 4. [1, ??) ; 5.②.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.

6.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)证明:由已知,函数 f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R x ? 0}. 设 x ? D ,则 ? x ? D , 【 1 分】

f ( ? x) ?

(? x) 2 ? 1 x2 ?1 ?? ? ? f ( x) . ?x x

【 3 分】 【 4 分】

所以函数 f ( x ) 为奇函数.

(Ⅱ)证明:设 x1 , x2 是 ( 0, ??) 上的两个任意实数,且 x1 ? x2 ,则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 .

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?

2 x2 ? 1 x12 ? 1 ? x2 x1

【 6 分】

2 x1 ( x2 ? 1) ? x2 ( x12 ? 1) ( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) . ? x1 x2 x1 x2

【 8 分】

因为 0 ? x1 ? x2 , 所以 x1 x2 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 , 所以 ?y ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数. 【 9 分】 【10 分】

7.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)解:函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ?1 的定义域是 (?2, ??) . 因为 a ? 1 , 所以 f ( x) ? log a ( x ? 2) ?1 是 [0,1] 上的增函数. 【 2 分】 【 1 分】

所以 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值是 f (1) ? log a 3 ? 1 ;最小值是 f (0) ? loga 2 ?1 . 【 4 分】 依题意,得 loga 3 ?1 ? ?(loga 2 ?1) , 解得 a ? 【 5 分】 【 6 分】

6.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) ? log a ( x ? 2) ?1 是 (?2, ??) 上的增函数. 在 f ( x ) 的解析式中,令 x ? 0 ,得 f (0) ? loga 2 ?1 , 所以, f ( x ) 的图象与 y 轴交于点 (0,loga 2 ?1) .

【 7 分】

【 8 分】

依题意,得 f (0) ? loga 2 ?1 ? 0 , 解得 a ? 2 .

【 9 分】 【10 分】

8.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)解:原不等式可化为 ?

? x ? 2,

2 ? x ? 2 x ? 3 ? 0,

(1) 或 ?

? x ? 2,

2 ? x ? 2 x ? 3 ? 0.

(2)

【 1 分】 【 3 分】 【 4 分】

解不等式组(1) ,得 2 ? x ? 3 ;解不等式组(2) ,得 x ? 2 . 所以原不等式的解集为 {x | x ? 3} .
2 ? ? x ? 2 x, x ? 2, (Ⅱ)解: f ( x) ? x | x ? 2 |? ? 2 ? ?? x ? 2 x, x ? 2.

【 5 分】

① 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 是 [0, a ] 上的增函数, 此时 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值是 f (a) ? ?a2 ? 2a . ② 当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [0,1] 上是增函数,在 [1, a] 上是减函数, 此时 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值是 f (1) ? 1 . ③ 当 a ? 2 时,令 f (a) ? f (1) ? a(a ? 2) ? 1 ? 0 , 解得 a ? 1 ? 2 . 所以, 当 2 ? a ? 1 ? 2 时, 此时 f (a) ? f (1) , f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值是 f (1) ? 1 ; 当 a ? 1 ? 2 时,此时 f (a) ? f (1) , f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值是 f (a) ? a2 ? 2a .【 9 分】 记 f ( x ) 在区间 [0, a ] 上的最大值为 g (a ) , 【 7 分】 【 6 分】

? ? a 2 ? 2a, 0 ? a ? 1, ? ? 1 ? a ? 1 ? 2, 所以 g ( a ) ? ?1, ? 2 ? ? a ? 2a, a ? 1 ? 2.

【10 分】


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