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人民教育出版社 必修一 1.3.1函数的单调性


函数的单调性
一、教材分析: 本课时主要学习函数的单调性的概念, 依据函数图象判断函数的 单调性和依据定义证明函数的单调性。 本节课是在学生学习了函数概 念的基础上所研究的函数的一个重要性质。 函数单调性的概念是研究 具体函数函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最值等性 质中有重要应用。函数单调性的研究方法也具有典型意义,对加强 “数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般的研究方法有 很大帮助。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础,还有 利于培养学生的抽象思维能力,及分析问题和解决问题的能力。 二、教学目标 1、知识与技能目标: (1)使学生理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在 给定区间上的单调性。 (2)启发学生发现问题和提出问题,培养学生分析问题、认识 问题和解决问题的能力。 (3)通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法,进一步 培养学生的逻辑推理能力和创新意识。 2、过程与方法目标: (1)通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辨证唯物主义的 思想教育。 (2)探究与活动,明白考虑问题要细致,说理要明确。 3、情感态度与价值观目标: 学生通过一系列丰富的数学活动,培养观察能力,归纳总结能 力,加深对数形结合思想的理解。 三、教学重点、难点

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教学重点:函数的单调性。 教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。 四、教学策略: 在教法学法方面,采用启发式、探讨式的教学方法,引导学生 自主探究,合作交流。通过学生身边熟悉的事物,教师创造疑问,学 生想办法解决疑问,通过教师的启发点拨,学生以自己的努力找到了 解决问题的方法。 五、教学过程: (一)复习旧知 1、函数的定义: 设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作

y ? f x , x?A
? ? ? ? ? ? ? ?

其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{ y ? f x , x?A }叫做函 数的值域。
? ? ? ? ? ? ? ?

2、决定函数的三个要素: 定义域,值域,对应关系。其中,判断两个函数是否相等,只要 满足定义域和对应关系完全一样即可。 3、函数的表示法:解析法,列表法,图像法。

(二)情景引入 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数 的哪些变化规律:
y 1 -1 -1 1 x -1 y 1 -1 1 x -1 y 1 -1 1 x
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(1)随 x 的增大,y 的值有什么变化? (2)函数图象是否具有某种对称性? 2、画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ .
-1 y 1 -1 1 x

(2)f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2 1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . (三)新课教学 1、函数单调性定义 (1)增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数. 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)
-1 y 1 -1 1 x

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注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质, ○ 是函数的局 部性质;单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的 不同的区间上可以有不同的单调性。 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总 ○ 有 f(x1)<f(x2) .注意“任意”两字绝不能丢掉,证明单调性时更不 可随意以两个特殊值替换,两个任意的自变量是属于同一个单调区 间。 (2)函数单调区间的定义: 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就 说函数 y=f(x)在这一区间具有 (严格的) 单调性, 区间 D 叫做 y=f(x) 的单调区间: (3)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ○ 提醒:书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定, 习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区 间也可;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间。 2、典型例题 例 1.(教材 P29 例 1)根据函数图象说明函数的单调性. 解:见教材 例 2.(教材 P29 例 2)根据函数单调性定义证明函数的单调性. 解:见教材 六、归纳小结,强化思想
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1、函数单调性的定义 2、会利用函数图像找出函数的单调区间 3、单调性的证明一般分五步:取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 七、作业布置: 1、课堂练习:教材 32 页练习 1、2、3、4 2、作业:习题 A 组 1、2、3

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