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含绝对值的不等式1


高等教育出版社数学《基础模块》上册

2.4.1《含绝对值的不等式》教学设计

含绝对值的不等式
【授课教材】 高等教育出版社中等职业教育国家规划新教材《数学(基础模块)上册》 【授课对象】 高一学前教育专业班学生 【教学内容】 §2.4 含绝对值的不等式 第一课时§2.4.1 不等式 | x |? a 或 | x |? a 【课

时安排】 本节内容共 2 课时, 本节课为第一课时 2.4.1 不等式 | x |? a 或 | x |? a (a ? 0) 【教材分析】 本节内容含绝对值的不等式是高中数学不等式的又一个重要知识点, 它是初中 一元一次不等式的解法及绝对值意义的基础上进行的, 是集合知识的巩固和运用, 进一步学 习数形结合、分类讨论的数学思想方法,因此它是本章的重点之一,在整个高中学科课程中 占有重要地位。 【学情分析】 中职学校的学生基础知识、学习能力等都相对较差,他们对文化课的学习兴趣不高, 特别对数学学习存在一定的畏惧心理。本节课教师通过设置生活实例,让学生融入课堂,通 过问题串的设计,不断地延缓坡度、降低难度,以达到知识点重构、内化。 【教学目标】 (一)知识与技能目标 1、在掌握了绝对值的几何意义基础上,进一步理解含绝对值不等式的几何意义; 2、掌握求 | x |? a 或 | x |? a 型不等式的解法; 3、从方程去绝对值到含绝对值的不等式去绝对值的方法,由特殊到一般的思维方 式,进一步学习数形结合,分类讨论的思想。 (二)能力训练目标 1、通过从生活实例抽象出数学问题的过程,培养学生分析问题解决问题的能力; 2、加强学生的运算能力,进一步提高学生的转化、类比思想能力。 (三)德育渗透目标 通过对本节课的教学, 引导学生从现实生活的经历与体验出发, 激发学生对数学问 题的兴趣, 同时用联系的观点由特殊到一般的思维方式, 培养学生能准确寻求事物的一般规 律。 【教学重点和难点】 教学重点:| x |? a 或 | x |? a (a ? 0) 型的不等式的解法, 关键是对绝对值意义的理解; 教学难点:对含绝对值的不等式几何意义的理解,把绝对值不等式转化为一次不等式, 其关键又在于“转化” ; 数形结合法解不等式是另一个重要的解题途径,也是一个难点。 【教学方法】 教法:采用“数学情境与提出问题”的教学模式,主要采取启导式教学,围绕学生为 主体、教师为主导、质疑为主轴、思维为主线的教学方法; 学法: 在探求推导不等式 | x |? a 或 | x |? a (a ? 0) 的解法过程中体会探索式学习方法, 以“观察分析—分类讨论—化归演算—理解应用”为主线的学习方法。 【教具准备】

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2.4.1《含绝对值的不等式》教学设计

自制多媒体课件 学生复习初中学过的不等式性质及绝对值的概念, 对任意实数 x,有 课前复习相关知识 点为进一步学习做准备。

课 前 准 备

? x, x ? 0, ? x ? ?0, x ? 0, ? ? x, x ? 0. ?
其几何意义是:数轴上表示实数 x 的点到原点的距 离。

教学 环节



学 过











时 间

创 设 情 境

(一)创设情境 教师:同学们,生命在于运动,操场上学生小美和 小丽正在自西向东走向的百米跑道上跑步,已知小美在 跑道的 O 处,小丽与小美相距 10 米远。请同学们用自 己的方式向大家说明一下小丽相对于小酷的位置。 学生们产生兴趣,个别同学会抢先说:小丽有可能 有两个位置,一种在小美的前面 10 米处,另一种则在小 美的后面 10 米处。 教师顺势一问:能具体些吗?如果用一条直线表示 跑道,怎么表示他俩的可能位置? 引导学生在黑板上画出下面的图形:

由学生熟知的 跑步问题, 通过一连 串的小问题, 一步一 步勾起学生对初中 知识绝对值的记忆, 过渡自然, 不会让学 生产生陌生感。

5 分

激 发 兴 趣

学生亲自作图, 从实际生活中抽象 M 学生:这条直线表示跑道,O 点表示小美所在位 出数轴, 为后面解含 置,小丽的可能位置是 A,B 两点。 绝对值不等式做好 教师:Very good!M 同学很简洁地回答了这个问题。 了铺垫。 这里 10 米是距离,在数学里可用什么概念表示它? 学生回答:绝对值! (若学生回答错误,则教师结合 课前准备适当引导。 ) 教师: 在这个问题中, 请同学们用数学式子写出来, 至此, 不仅完成 并像刚才 M 同学那样用图形表示出来。 了绝对值的基本概 教师在课堂里巡视,为了指明方向,不失时机地点 念的复习, 而且加深 拨:跑道是自西向东走向的,刚才 M 同学的做法没反应 了 对 绝 对 值 这 个 核 出这个方向性,如果我们给它加上方向,并标上数值, 心概念的理解, 并为 那就是什么了? 本课重难点的突破 几分钟之内,学生就建立了这个问题的数学模型, 作了很好的铺垫, 课 堂气氛也活跃起来 并给出了解答: | x |? 10, x ? ?10 ,教师也将 M 同学所 了。 作的图形补充完整。

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(二)探究学习 教师顺理成章抛出第二个问题,引出课题。 (1)设疑—解疑,引出含绝对值的不等式 教师:在上面问题中,小丽的位置如果是离小美小 于 10 米, 那么小丽的位置又会是怎么样的呢?请结合你 作的图加以说明。 学生指着图形说: 可能的位置太多了, 有无穷多个; 线段 AB 上的所有点都符合?? 教师:那么可以用什么数学式子来表达这个问题 呢?结论可以怎么表达呢? 教师作引导:用 x 表示小丽的位置,︱x︱表示小丽 与小美的距离,那么小丽与小美的距离满足什么样的数 量关系? 学生:小于 10。

这一环节通过 一连串的设问, 让学 生带着问题观察分 析, 激发学生的求知 欲, 既引出了本节课 的新知识, 又培养了 学生探究新知的能 力, 让每个学生懂得 如何去发现问题。

20 分

师 生 互 动

学生:就是求 x ? 10 的解。 (2)设疑—解疑,引出含绝对值不等式的解集 教师: ‘线段 AB 上的所有点都符合’该怎么表达? 若看到学生脸上困惑, 教师自问自答: “像这种用文 字说起来有些模糊,不好表达的事情,我们数学知识却 能很快解决,你们看! ”很快地在黑板上写出 “这充分体现了我们数学在表述问题 ?x ?10 ? x ? 10?, 上的简洁美。 ” 教师:同学们,有没有比黑板上的式子更简洁的表 达呢? 学生:用区间 ?? 10,10? 。 强调:解集要用区间表示。 充分借助图像 进行分析, 用联系的 教师: x ? a 的解又该如何呢? 观点 学生通过实际意义基本理解并能自主完成知识的构 由特殊到一般 建: 的思维方式, 培养学 生能准确寻求事物 x ? a (a ? 0) 的实际意义,几何意义如下图所示: 的一般规律。 (3)设疑—解疑,引出 x ? a 或 x ? a 的解法

探 究 学 习

此过程直接抛 出问题, 在学生困惑 时,开门见山,教师 果断给出不等式的 解集, 使学生豁然开 朗, 进而联想起一元 二次不等式的解集 表示, 联系上节内容 加深印象。

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解集为 ?? a, a ? 。 教师:若小丽与小美的距离大于 a 米,该如何表达? 图像怎么样呢?请同学到黑板上演示。 学生: x ? a ,图像如下图所示 通过类比不等 式 x ? a, 此时学生 能很快自主完成不 等式 x ? a 的几何 意义及其解法, 体现 了启导式的教学方 法。

它的解集为 ?? ?,?a ? ? ?a,??? 。 教师:若小丽与小美的距离不超过 10 米或不少于 10 米,又该如何表达呢?(多请几个学生回答,教师引 导完成) 结合上述方式, 试一试: 写出不等式 x ? a 与 x ? a 的解集。 课堂小结,多媒体展示:表中 a>0 不等式 解 集 数轴表示

再次利用分类 讨论法, 学生自主总 结类比讨论, 自我小 结, 增强了学生的类 比能力及自学能力。

x ?a x ?a x ?a x ?a

( ? a, a )

?? a, a?
(??,?a) ? (a,??)

?? ?,?a? ? ?a,???

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(三)例题演示 教师:这堂课的例题我们采用“我来做例题”的形 式,同学们自己上台讲解,先让学生思考几分钟,然后 选取几位学生到黑板前书写解题过程并进行讲解,完成 后让下面的同学进行点评,更正或完善。

例 题 演 示

例题 解下列各不等式:

(1) 3 x ? 1 ? 0 ; (2) 2 x ? 6 ; (3) ? x ? 2 ; (4) ? 3 x ? 2 ? 8 .

在这一过程中, 让学生从不同层面 展示自己的机会, 尽 量鼓励学生上台展 示自己,展示板书, 展示表达能力, 展示 自己的智慧, 即使错 了也没关系, 这是对 自己的一种锻炼, 正 确认识和处理自己 的成功与失败, 重树 自信, 将课堂气氛再 次推向高潮。

30 分 ( 此 处 安 排 10 分 钟 , 为 学 生 上 台 讲 解 提 供 足 够 思 考 时 间 )

提 高 技 能

虽然学生总结 根据 4 位同学的讲解,通过对例题的分析,归纳总 的 过 程 并 不 十 分 严 谨, 但充分体现学生 结出解不等式的步骤:先将不等式化成 x ? a(? a) 型, 在 学 习 上 的 主 体 意 识, 对学习困难的学 再去绝对值求对应方程两根, 最后得结论。 记住口诀 “大 生,记住一句口诀, 于取两边,小于取中间” (与一元二次不等式中的口诀很 就 可 以 很 容 易 得 到 含绝对值的不等式 相似) 。 的解集, 使他们觉得 新知识的掌握并不 困难。 (四)巩固新知,思维拓展 教师:子曰:学而时习之,不亦说乎。通过前面的 学习和训练,同学们已经掌握了本堂课的核心知识点, 习题巩固的目 的很明确,第一,让 学生自编题, 自我检 查,查漏补缺;第二 教师编题,变式训 练,升华思维,第 1 小题联系旧识集合 的运算, 第 2 小题以 简单形式初步了解 新知 ax ? c(? c) 型 不等式,承上启下, 为下节课的学习埋 下伏笔。

38 分

习 题 演 练

下面,我们将由习题来巩固本节课之所学。 一、自编题 学生自编 1~2 个含绝对值的不等式, 交流讨论 并解答。

拓 展 思 维

二、教师编题(变式训练,升华思维) (1)已知 U ? R , A ? x x ? 5 ,求 CUA;

?

?

(2)求

1 x x ? 7 与 ? ? 3 的解集。 3 4

学生小组讨论,合作完成课堂练习,教师巡视并指导学 生。
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(五)归纳总结 尝试由学生来完成: 1、这堂课你有什么收获? ①理解含绝对值不等式的几何意义; ②掌握 | x |? a(? a) 或 | x |? a (? a) (a ? 0) 型的不 等式的解法。 2、 这堂课你觉得有什么做得不好的地方?可以从知 识、方法上,以及自身与他人相互配合上等等各方面来 40 分

鼓励学生说出 自己的真实感受, 了 解学生的学习心理, 简单扼要的点评有 助于学生的学习和 成长, 对教师的教育 教学工作也有很好 的促进作用。

归 纳 总 结 回 归 课 堂

总结。 (这一过程可让学生在完成当天的作业本上用简短 的几句话来小结自己在本堂课上的得失与感受,教师改 作业时要给予积极的回应,针对每一个学生的小结进行 简单扼要的点评。 ) 作业布置 1、 阅读作业:阅读教材章节 2.4 2、 书面作业: 独立完成题:书本 P35 练习 2.4.1; 合作完成题:①解不等式 注意双基训练 与发展能力相结合, 设计递进式分层作 业, 让不同层次的学 生都得到符合自身 实践的感悟, 预习提 纲再次为下节内容 埋下伏笔。

x ?2 3

?

x ?3 2



②求不等式 x ? 2.6 的整数解, 并把解之数轴上表示出来。 3、 预习提纲 ①思考:求解不等式 x ? 1 ? 3 ; ② 试 寻 找 x ? a(a ? 0) 与 ax ? b ? a(a ? 0) 的 关系。

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课 绝对值的几何意义

题 一般地, x ? a 的解集是 (?a, a )

含绝对值的不等式的几何意义

x ? a 的解集是 ?? a, a ?
x ? a 的解集是 (??,?a) ? (a,??)

板 书 设 计

x ?a

x ?a x ?a x ?a
(练习展示,可擦) 学生自编题 教师编题(1) (2)

x ? a 的解集是 ?? ?,?a? ? ?a,???
例题 : (1) (2)

(3)

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