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6.3诱导公式及三角恒等式(1)(教师版)


[松江二中 2010 届高三数学第一轮复习资料]

6.3
【复习要求】 复习要求】

诱导公式与三角恒等式( 诱导公式与三角恒等式(一) 恒等式

1、掌握正弦、余弦、正切和余切的三角诱导公式; 2、能用诱导公式进行化简、计算. 3、研究两角和与差的余弦、正弦、正切公式,会用这些公式进行恒等变形和解决有关计 算问题; 【知识要点】 知识要点】 1、主要的诱导公式有七组, 分别是 2kπ + α , ( k ∈ Z ) 2π ? α , π + α , π ? α , ?α , 可以概括为一句口诀:奇变偶不变,符号看象限。 奇变偶不变,符号看象限 奇变偶不变 2、两角和与差的余弦、正弦、正切公式

π
2

+α ,

π
2

?α 。

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β

tan(α ± β ) =
【基础训练】 基础训练】

tan α ± tan β 1 m tan α tan β

1、若 cos(π ? α ) = ? cos α ,则角 α 的终边在第二、三象限及坐标轴 y 轴及 x 轴的负半 轴上 2、在 ?ABC 中,已知 cos A = ? 3、若 sin(π + α ) = ?

3 3 ,则 cos( B + C ) = 5 5

4 3 ,其中 α 是第二象限角,则 cos(2π ? α ) = ? 5 5 4 tan(α ? 7π ) = _ ? ___ 3 4 4 ,则 cos(α ? 270 o ) = ? 5 5

4、已知 sin(540 + α ) = ?
o
o o

5、 tan 300 + cot 405 的值为 1 ? 3 6、化简 sin 119 0 sin 1810 ? sin 910 sin 29 0 = ?
7、 tan 10 0 +

1 2

3 tan10 0 tan 50 0 + tan 50 0 = 3

8、若 cos130 = a ,则 tan 50 等于
o o

(

D

)

1? a2 A. a
【典型例题】 典型例题】

1 ? a2 B. ± a

C. ±

a 1 ? a2

1 ? a2 D. ? a
3π ) 2 。

例 1、已知 α 是第三象限角,且 f (α ) =

sin(π ? α ) cos(2π ? α ) tan(?α +

cot(?α ? π ) sin( ?π ? α ) 3π 1 ) = ,求 f (α ) 的值; (1)化简 f (α ) ; (2)若 cos(α ? 2 5 o (3)若 α = ?1860 ,求 f (α ) 的值。
(1) f (α ) = ?cosα (2) f (α ) =

2 6 1 (3) f (α ) = ? 5 2

例 2、若 0 < β < α <

π
2

且 cos( α + β ) =

33 4 5 ( ) ,sin( α ? β ) = ,求 cos 2α 的值。 65 5 13

例 3、已知 α , β 为锐角且 cos α =

3π 1 1 ,求 α + β 的值。 ( ) ,cos β = 4 10 5

例 4、 已知 0 < β < 、

π
2

且 < α < π , cos( α ?

β
2

)=?

1 α 2 ,sin( ? β ) = , cos( α + β ) 求 9 2 3

239 的值。 ? ( ) 729

例 5、已知 3sin β = sin(2α + β ) ,且 α ≠ kπ + 求证: tan(α + β ) = 2 tan α

π
2

, α + β ≠ mπ +

π
2

(k 、m∈Z ) ,

例 6、若 0 ≤ α < β < γ < 2π 且 sin α + sin β + sin γ = 0 , cos α + cos β + cos γ = 0 ,求 、

β ? α 的值.(

2π ) 3

【学后反思】 学后反思】 【巩固训练】 巩固训练】 1、计算: sin( ?

19 1 1 + 2 sin 20 o cos160 o π ) = ;tan600°= 3 ; = ?1 6 2 sin 160 o ? 1 ? sin 2 20 o 3 1 π 5π 2、若 α 是三角形的一个内角,且 cos( π + α ) = ,则 α = 或 2 2 6 6
3、已知函数 f ( x) = a sin (π x + θ ) + b cos (π x + β ) + 4 ,且 f (2005) = 3 ,则 f (2008) =5

4、若 α 是锐角,且 sin(α ? 5、求值: sin 5 0 0 ? (1 +

π
6

)=

1 2 6 ?1 ,则 cos α 的值是 3 6
(1)

3 tan 1 0 0 )

6、 已知 α 为第二象限的角,sin α = 的值。 (

3 5 ,β 为第一象限的角,cos β = . tan(2α ? β ) 求 5 13

204 ) 253

7、已知 α 、 β 均为锐角, tan α = 、

16 5 3 , cos(α + β ) = ? ,求 cos β 的值。 ( ) 65 13 4

8、已知 tan(α ? β ) =

3π 1 , ta n β = ? 1 ,且 α , β ∈ (0, π ) ,求 2α ? β 的值。 ? ( ) 4 2 7

【能力提升】 能力提升】 1、 在使用某种型号计算器计算 sin 2009 时,因数据的值过大,显示屏出现“ E ” ,试设 计一种方案,使得能用该型号计算器求出 sin 2009 的值,写出相应的算式与结果。若 该计算器的“ sin ”键出现故障不能使用,你是否也能设计一种方案,请写出相应的 算式。 解: sin 2009 = sin(2009 ? 319 × 2π ) = ?0.99882401 (解法不惟一)

sin 2009 = sin(2009 ? 319 × 2π ) = cos( + 319 × 2π ? 2009) = 0.99882401 (解法 2
不惟一)

π


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