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2009年上海市新知杯初中数学竞赛试题(附参考答案)


2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题 (2009年12月6日)
一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分) 1、对于任意实数a,b,定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5,则实数a 的值是 。

2、在三角形ABC中, AB ? b2 ?1, BC ? a2 , CA ? 2a ,其中a,b是大于1的整 数,则b-a= 。

3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周 长可能是 。

4、 已知关于x的方程 x4 ? 2x3 ? (3 ? k ) x2 ? (2 ? k ) x ? 2k ? 0 有实根, 并且所有 实根的乘积为?2,则所有实根的平方和为 。
B P

E

5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边 AB上一动点。PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的最小 值为 。
C F
第 题 五 图

A

6、设a,b是方程 x2 ? 68x ? 1 ? 0 的两个根,c,d是方程 x2 ? 86 x ? 1 ? 0 的 两个根,则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值 。

7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx?1 的图像与 线段PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。

8方程xyz=2009的所有整数解有

组。

9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。设 AD,BC延长线交于E ,则∠AEB= 。

D
A

C

D

M
B C
第 题 九 图

E

A 第 题 十 图

B

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10, 点M在BC上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和 是 。

二、(本题15分)如图,ΔABC 中∠ACB =90°,点D在CA上,使得 CD=1, AD=3,并且∠BDC=3∠ BAC,求BC的长。
C A D 第 大 图 二 题 B

三、 (本题15分)求所有满足下列条件的四位数 abcd ,abcd ? (ab ? cd )2

其中数字c可以是0。

四、 (本题15分) 正整数n满足以下条件: 任意n个大于1且不超过2009 的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。

五、(本题15分)若两个实数a,b,使得, a 2 ? b 与 a ? b2 都是有理数,称 数对(a,b)是和谐的。 ①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的; ②证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有 理数; ③证明:若(a,b)是和谐的,且 是有理数,则a,b都是有理数;
a b

2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答

一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分) 1、对于任意实数a,b,定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5,则实数a 的值是 。
13 2

【答案】4, ?

2、在三角形ABC中, AB ? b2 ?1, BC ? a2 , CA ? 2a ,其中a,b是大于1的整 数,则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可 能是 。

【答案】50,94 4、 已知关于x的方程 x4 ? 2x3 ? (3 ? k ) x2 ? (2 ? k ) x ? 2k ? 0 有实根, 并且所有 实根的乘积为?2,则所有实根的平方和为 【答案】5 5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜
E P


B

边AB上一动点。PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的 最小值为 【答案】
2 5 5


C F
第 题 五 图

A

6、设a,b是方程 x2 ? 68x ? 1 ? 0 的两个根,c,d是方程
x 2 ? 86 x ? 1 ? 0 的两个根,则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的



。 【答案】2772

7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx?1 的图像与

线段PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 【答案】 ? k ?
1 3 3 2



8方程xyz=2009的所有整数解有 【答案】72

组。

9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。设 AD,BC延长线交于E ,则∠AEB= 【答案】21°
D
A



C

D

M
B C
第 题 九 图

E

A 第 题 十 图

B

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10, 点M在BC上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和 是 。

【答案】 300 ? 150 3 二、(本题15分)如图,ΔABC 中∠ACB =90°,点D在CA上,使得 CD=1, AD=3, 并且∠BDC=3∠BAC, B 求BC的长。 解:设BC=x,则 BD ? x2 ?1 ,
AB ? x ?16 ,如图,作∠ABD平分
2

C

A D 第 大 图 二 题 E

线BE,则 ? BDE ?? ADB ,因此

BD2 ? DE ? DA ? 3DE 。

由角平分线定理可知 因此 x 2 ? 1 ?

DE BD DE BD 3BD ? ? ? ? DE ? 。 AE AB AE ? DE AB ? BD AB ? BD

9 x2 ? 1 x 2 ? 16 ? x 2 ? 1

,解得 BC ? x ?

4 11 11

三、 (本题15分)求所有满足下列条件的四位数 abcd ,abcd ? (ab ? cd )2 其中数字c可以是0。 解: x ? ab, y ? cd ,, 10 x ?y ? x ?y 设 则0 ( )
2

, x2 ? (2 y ?100) x ? ( y 2 ? y) ? 0 有 故

整数解,由于10< x < 100,故y≠0。因此
?x ? (2 y ?100)2 ? 4( y2 ? y) ? 4(2500 ? 99 y) 是完全平方数,
? ) 0 0 可设 t 2 ? 2500 ? 99 y , 9 y 5 5 ? t) 故9 ( ( ?t

, 50- t<50+ t 之和为100, 0≤

而且其中有11的倍数,只能有50?t= 1或50?t=45,相应得到y=1,25, 代入解得 ?
? x ? 98 ? x ? 20 ? x ? 30 ,? ,? ? 因此 abcd ? 9801, 2025,3025 。 ? y ? 1 ? y ? 25 ? y ? 25

四、 (本题15分) 正整数n满足以下条件: 任意n个大于1且不超过2009 的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。 解:由于 22 ,32 ,52 ,72 ,112 ,132 ,172 ,192 , 232 , 292 ,312 ,372 , 412 , 432 这14个合数都小 于2009且两两互质,因此n≥15。 而n=15时, 我们取15个不超过2009的互质合数 a1 , a2 ,?, a15 的最小素 因子 p1, p2 ,?, p15 , 则必有一个素数≥47, 不失一般性设 p15 ? 47 , 由于 p15 是合数 a15 的最小素因子,因此 a15 ? p152 ? 47 ? 2009 ,矛盾。因此,任意 15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述,n 最小是15。 五、(本题15分)若两个实数a,b,使得, a 2 ? b 与 a ? b2 都是有理数,称

数对(a,b)是和谐的。 ①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的; ②证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有 理数; ③证明:若(a,b)是和谐的,且 是有理数,则a,b都是有理数; 解:①不难验证 (a, b) ? ( 2 ? , ? 2) 是和谐的。 ②由已知 t ? (a2 ? b) ? (a ? b2 ) ? (a ? b)(a ? b ?1) 是有理数, a ? b ? s 是有理 数,因此 a ? b ? 有理数。 ③若 a ? b2 ? 0 ,则 b ? ? 是有理数,因此 a ? (a ? b2 ) ? b2 也是有理数。若
a a2 ? b 2 a ? b ? 0 ,由已知 x ? ? b 2 a a?b b
a b t 1 t ? ,解得 a ? ? s ? ? ? 是有理数,当然b=s?a也是 a ? b ?1 2? s ?1 ? 1 1 2 2 a b

? ? ? ? 1b ? 是有理数, y ? a 也是有理数, b ? ?? 1b ? ? 1
2

因此 ?

1 b

xy ? 1 y2 ? x ,故 b ? 2 是有理数,因此 a ? (a ? b2 ) ? b2 也是有理数。 y ?x xy ? 1


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