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2014届高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质收尾精炼 理 新人教A版


2014 届高考一轮复习收尾精炼:

三角函数的图象与性质

一、选择题 x 1. (2013 届 湖南师大附中月考) 若点(m,4)在函数 y = 2 的图象 上,则函 数 y = π? ?1 sin? mx+ ?的最小正周期为 ( ). 3? ?2 π A.π B. C.2π D.4π 2 ?π π ? 2.下列函数中,周期 为 π ,且在? , ?上为减函数的是 ( ). ?4 2? π? π? ? ? A.y=sin?2x+ ? B.y=cos ?2x+ ? 2? 2? ? ? ? π? ? π? C.y=sin?x+ ? D.y=cos?x+ ? 2? 2? ? ? ? π? 3.(2012 福建高考)函数 f(x)=sin?x- ?的图象的一条对称轴是( ). 4? ? π π A.x= B.x= 4 2 π π C.x=- D.x=- 4 2 4.将函数 y=sin x- 3cos x 的图象沿 x 轴向右平移 a(a>0)个单位长 度,所得函数 的图象关于 y 轴对称 ,则 a 的最小值是( ). 7π π π π A. B. C. D. 6 2 6 3 2 5.函数 f(x)=1-2sin x+2cos x 的最小值和最大值分别为( ). 3 A.-1,1 B.- ,-1 2 3 3 C.- ,3 D.-2, 2 2 ?π 3 ? 6.函数 y=sin x+ tan x-|sin x-tan x|在区间? , π ?内的取值范围是( ). ?2 2 ? A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.[-2,0] D.[0,2] 7.已知函数 f(x)的导函数的图象如图所示.若△ABC 为锐角三角形,则一定成立的是 ( ).

A.f(sin A)>f(cos B) B.f(sin A)<f(cos B) C .f(sin A)>f(sin B) D.f(cos A)<f(cos B) 二、填空题 8.函数 y= 1-tan x的定义域是__________. ? π? ? π? 9.函数 y=cos?x+ ?,x∈?0, ?的值 域是__________. 3? 3? ? ? 10. 函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同 的交点,则 k 的取值范围是__________. 三、解答题
1

11.已知 f(x)=2 3cos x+sin 2x- 3+1(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间; ? π π? (3)若 x∈?- , ?时,求 f(x)的值域. ? 4 4? 5 3 ? π? 2 1 2.是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acos x+ a- 在闭区间?0, ?上的最大值 2? 8 2 ? 是 1?若存在,求出对应的 a 值;若不存在,请说明理由.

2

2

参考答案 一、选择题 1.D 解析:当 a=1 或 a=-1 时,相邻两交点间的距离最大,为 2π . π? ? 2. 解析: D 两项中函数的周期都为 2π , A C, 不合题意, 排除 C, B 项中 y=cos?2x+ ? D; 2? ? π? ?π π ? ? =-sin 2x,该函数在? , ?上为增函数,不合题意;A 项中 y=sin?2x+ ?=cos 2x, 4 2? 2? ? ? 该函数符合题意,故选 A. π π ? π? 3.C 解析:函数 f(x)=sin?x- ?的图象的对称轴是 x- =kπ + ,k ∈Z,即 x 4? 4 2 ? 3π 3π π =kπ + ,k∈Z.当 k=-1 时 x=-π + =- .故选 C. 4 4 4 ? π? 4.C 解析:∵y=sin x- 3cos x=2sin?x- ?,经平移后的函数图象所对应解析 3? ? π? π π ? 式为 y=2sin?x-a- ?,它关于 y 轴对称,∴-a- =kπ + ,k∈Z.又 a>0,由分析 3? 3 2 ? π 可知 a 的最小值为 .故选 C. 6 2 2 2 5.C 解析:∵f(x)=1-2sin x+2cos x=1-2(1-cos x)+2cos x=2cos x+2cos x 1?2 3 ? -1 =2?cos x+ ? - , 2? 2 ? 又∵x∈R,∴cos x∈[-1,1]. 1 3 ∴当 cos x=- 时,f(x)min=- ; 2 2 当 cos x=1 时,f(x)max=3. 选 C .

6.A

?2tan x,π <x≤π , ? 2 解析:∵y=sin x+tan x-|sin x-tan x|=? 3 ?2sin x,π <x<2π , ?

π <x≤π 时,2tan x∈(-∞,0], 2 3 当 π <x< π 时,2sin x∈(-2,0). 2 ∴y 的值域为(-∞,0 ]. 7.A 解析:因为△ABC 为锐角三角形, π π 所以 A+B> ,即 A> -B. 2 2 π ? π? 又 A, -B∈?0, ?, 2? 2 ? ?π ? 所以 sin A>sin? -B?=cos B>0. ?2 ? 由图象知,在(0,+∞)上 f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 所以 f(sin A)>f(cos B).故选 A. 二、填空题 π π? ? 8.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 解析:由 1-tan x≥0,得 tan x≤1, 2 4? ? 当

3

π π ∴kπ - <x≤kπ + (k∈Z). 2 4 1 1? π ? 9.?- , ? 解析:∵0<x≤ , 3 ? 2 2? π π 2 ∴ <x+ ≤ π , 3 3 3 又 y=cos x 在[0,π ]上是减函数, 2 π ? π? ∴cos π ≤cos?x+ ?<cos , 3? 3 3 ? 1 1 即- ≤y< . 2 2 10.(1,3) 解析:f(x)=sin x+2|sin x|=3sin x,x∈[0,π ], -sin x,x∈(π ,2π ]. 如图所示,则 k 的取值范围是 1<k<3.

三、解答题 π? ? 2 11.解:f(x)=sin 2x+ 3(2cos x- 1)+1=sin 2x+ 3cos 2x+1=2sin?2x+ ?+ 3? ? 1. 2π (1)函数 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π π π (2)由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + , 2 3 2 5π π 得 2kπ - ≤2x≤2kπ + . 6 6 5π π ∴kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 12 12 5π π? ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 12 12? ? ? π π? (3)∵x∈?- , ?, ? 4 4? π ? π 5π ? ∴2 x+ ∈?- , ?. 6 ? 3 ? 6 π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?. 3? ? 2 ? ? ∴f(x)∈[0,3]. 2 5 3 ?cos x-a?2+a +5a-1. 2 12.解:y=1-cos x+acos x+ a- =-? 2? 4 8 2 8 2 ? ? π ∵0≤x≤ ,∴0≤cos x≤1. 2 ①若 >1.即 a>2,则当 cos x=1 时, 2 5 3 20 ymax=a+ a- =1 ? a= <2(舍去); 8 2 13

a

4

②若 0≤ ≤1,即 0≤a≤2, 2 a a2 5 1 则当 cos x= 时,ymax= + a- =1, 2 4 8 2 3 ∴a= 或 a=-4<0(舍去); 2 ③若 <0,即 a<0,则当 cos x=0 时, 2 5 1 12 ymax= a- =1 ? a= >0(舍去). 8 2 5 3 综上可知存在 a= 符合题意. 2

a

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