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广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试文科数学试卷


深圳市高级中学 2015-2016 学年第一学期期中测试

高二文科数学
命题人:朱琳 审题人:刘功盛 60 __分) ;第二 120 分 本试卷由二部分组成。第一部分:高一年级基础知识能力部分(占 _ 部分:本学期知识内容(占_ 钟。 注意事项: 1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦 干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上。 3、考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。 _90 _分) ,全卷共计 150

分。考试时间为

第Ⅰ卷(本卷共 60 分)
一、选择题:本大题共 8 小题.每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的 1、已知集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {1, 2, 2} ,则 A ? B ? (
2

)A D. {?2,1, 2, 2}

A. { 2}

B. {2}

C. {? 2,1, 2, 2} )B C.[1,+∞)

1 2、函数 y= x2-ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] B.(0,1]

D.(0,+∞)

3、在同一个坐标系中画出函数 y ? a x与y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0且a ? 1 ,则下列 所给图象中可能正确的是( )D

4、已知函数 f ? x ? ? A. ? 0,1?

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ? x ? 零点的区间是( x
B. ?1, 2 ? C.

) C

? 2, 4?

D. ? 4, ??? )

5、 已知平面向量 a, b, c 满足 a ? (?1,1) ,b ? (2,3) ,c ? (?2, k ) , 若 (a ?b)/ 则实数 k =( /c , D A. 4 B. ?4 C. 8 D. ?8 )B

6、记等差数列的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 6, S5 ? 25 ,则该数列的公差 d ? ( A.2 B.3 C.6 D.7 )B D. 8 )C

7、已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? y ? 1 ,则 xy 的最大值是( A.

1 4

B.

1 8

C. 4

8、直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 B.2 C.4 D. 4 6

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分 x≥0, ? ? 9、设 D 为不等式组?2x-y≤0,表示的平面区域,区域 D 上 ? ?x+y-3≤0 2 5 的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________. 5

2

2 正(主)视图 1 1

1 侧(左)视图

10、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长 为 . 2 2
俯视图

三、解答题:共1小题,共10分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 11、(本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin
2

x . 2
( Ⅱ ) 求 f ? x ? 在 区 间 ?0,

( Ⅰ ) 求 f ? x? 的 最 小 正 周 期 ;

? 2? ? 上的最小 ? 3 ? ?

值.

第Ⅱ卷(本卷共计90分)
一、选择题:本大题共 8 小题.每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的 12、设 a ? R ,则 “ a ? 1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的( A.充分不必要条件 C. 充要条件 13、双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 B.2 2 )C C.4 D.4 2 )C D.15 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )B

14、曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A.-9 B.-3 C.9

15、已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 ( )B

A.

3 5 5

B. 2

C.

11 5

D. 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分
2 2 2 16 、 若 抛 物 线 y ? 2 px( p? 0)的 焦 点 与 双 曲 线 x ? y ? 2 的 右 焦 点 重 合 , 则 p 的 值



.4
3 2

17、 已知 f ( x) ? x ? 6x ? 9x ? abc, a ? b ? c, 且f (a) ? f (b ? f (c)) ? 0 .现给出如下结论:

① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 .其中正确结论的
序号是 解析:∵f(x)=x3-6x2+9x-abc,∴f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),令 f′(x)=0, 得 x=1 或 x=3.依题意有,函数 f(x)=x3-6x2+9x-abc 的图像与 x 轴有三个不同的交点,故 f(1)f(3)<0,即(1-6+9-abc)(33-6×32+9×3-abc)<0,∴0<abc<4,∴f(0)=-abc<0,f(1)

=4-abc>0,f(3)=-abc<0,故②③是对的. 三、解答题:共6小题,第17题10分,第18~22题每题12分,共70分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤。 18、(本小题满分 12 分) 设命题 p : 函数 y ? c x 为减函数; 命题 q : 已知 c ? 0 ,当 x ? [1,2] 时, 函数 f ( x) ? x ? 恒成立,如果 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假命题,求 c 的取值范围. 解 ∵指数函数 y ? c x 数为减函数,∴0<c<1,即 p 真时,0<c<1.

1 1 ? 4x c

5 1 1 1 函数 f(x)=x+ > 对∈[ ,2]恒成立,f(x)min= f (1) ? , x c 2 4 4 4 1 5 < ,得 c> ,即 q 真时,c> . c 4 5 5
∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p、q 一真一假. ①p 真 q 假时,0<c≤

4 ;②p 假 q 真时,c≥1. 5 4 或 c≥1. 5

故 c 的取值范围为 0<c≤

19、(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? a x ( x ? R ) ,其中 a ? R
3 2 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 3 时,求函数

f ( x) 的极大值和极小值;
解:当 a

? 1 时, f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且 f ?( x) ? ?3x2 ? 4 x ?1, · · · · · · · · · · · 2分
所以,曲线

f ?(2) ? ?5


? 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) ,整理 y ? ? x3 ? 2x2 ? x 在点 (2,

5x ? y ? 8 ? 0











f ( x) ? ? x3 ? 2ax2 ? a2 x f ?( x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a)


f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 或x?a 3

由于 a

? 3 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:
( 1,3 ) 3

x

( ? ?,1 )

1

(3,??)

f ?( x )
因此,函数

?

0

?

0

?

f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?4 ,,函数 f ( x) 在 x ? 3 处取得极大值 f (3) ? 0

20、(本小题满分 12 分) 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5 米时,水面宽度为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载 货后船露出水面的部分高 0.75 米, 问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时, 小船开始不能通行? 解:建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 x 2 ? ?2 py ( p ? 0) 。将 B(4,-5)代入得 P=1.6

? x 2 ? ?3.2 y 船两侧与抛物线接触时不能通过
则 A(2,yA),由 22=-3.2 yA 得 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米 所以 h=︱yA︱+0.75=2 米 答:水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时,小船开始不能通行 21、(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, . ) ,且其离心率为 a b 2 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 F 为椭圆 C 的右焦点,椭圆 C 与 y 轴的正半轴相交于点 B,经过点 B 的直线 与椭圆 C 相交于另一点 A,且满足 BA ? BF =2 ,求点 A 的坐标. 解: (1)因为椭圆 C 经过点 M (1,

??? ? ??? ?

1 1 2 ) ,所以 2 ? 2 ? 1.① a 2b 2

a 2 ? b2 2 2 因为椭圆 C 的离心率为 ,所以 ,即 a 2 ? 2b2 .② ? 2 a 2
联立①②解得, a ? 2, b ? 1 .所以椭圆 C 的方程为
2 2

x2 ? y2 ? 1. 2

(2)由(1)得,椭圆 C 的方程为
2

x2 ? y 2 ? 1 ,所以 F (1, 0), B(0,1) . 2

x 2 设 A( x0 , y0 ) ,则 0 ? y0 ? 1 .③ 2
因为 BA ? ( x0 , y0 ? 1), BF ? (1,?1) ,且 BA ? BF =2 ,

??? ? ??? ?

所以 x0 ? ( y0 ?1) ? 2 ,即 y0 ? x0 ? 1 .④

4 ? x0 ? , ? ? x0 ? 0, 4 1 ? 3 联立③④解得, ? 或? ,所以 A(0,?1) 或 A( , ) . 3 3 ? y0 ? ?1, ? y ? 1 . 0 ? 3 ?
22、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x(a ? R,a ? 0) . 2

⑴ 求函数 f ( x ) 的单调增区间; ⑵ 记函数 F ( x) 的图象为曲线 C ,设点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上两个不同点,如果曲 线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) , 使得: ① x0 ?

x1 ? x2 ; ②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB , 2

则称函数 F ( x) 存在“中值相依切线”.试问:函数 f ( x ) 是否存在中值相依切线,请说明理由. 解: (1)函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) .

1 由已知得, f '( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? x
ⅱ 当 a ? 0 时, ①当 ?

1 a( x ? 1)( x ? ) a . x

ⅰ 当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;? 函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增

1 1 ? 1 时,即 a ? ?1 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; a a

1 ? 函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增 a
②当 ? ③当 ?

1 ? 1 时,即 a ? ?1 时, 显然,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; a 1 1 ? 1 时,即 ?1 ? a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? a a

1 ? 函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增. a
综上所述:⑴当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 ⑵当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增 ⑶当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;

1 a

⑷当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 (? (2)假设函数 f ( x ) 存在“中值相依切线”.

1 , ??) 上单调递增. a

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 , 则 y1 ? ln x1 ?

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 . 2 2

k AB

1 (ln x2 ? ln x1 ) ? a( x2 2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) y ?y 2 ? 2 1 ? x2 ? x1 x2 ? x1

?

ln x2 ? ln x1 1 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) . x2 ? x1 2
x1 ? x2 x ?x 2 )? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , 2 x1 ? x2 2

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率 k ? f ?( x0 ) ? f ?(

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2
2( x2 ? 1) x1 . x2 ?1 x1

化简可得

ln x2 ? ln x1 x 2( x2 ? x1 ) 2 ? , 即 ln 2 = ? x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1



2(t ? 1) 4 x2 ? 2? , ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? t ?1 t ?1 x1 4 4 1 4 (t ? 1)2 ? 2 ,令 g (t ) ? ln t ? , g '(t ) ? ? . ? t ?1 t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2

ln t ?

因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, ??) 上递增,显然有 g (t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

4 ? 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x ) 不存在“中值相依切线”


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