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2007-2013年广东高考-三角函数、解三角形(含答案)


2007-2013 年广东高考试题分类汇编:三角函数、解三角形
一、选择题: 1. (2007 年高考)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( 正周期 T 和初相 ? 分别为( A. T ? 6 , ? ? ) B. T ? 6 , ? ?

π π x ? ?) (? ? ) 的图象经过点 (0, 1) ,则该简谐运动的最小 3 2


π 6 π 6

π 3 π 3
【答案】A )

C. T ? 6 π , ? ?

D. T ? 6 π , ? ?

2. (2008 年高考)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是( A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为

? 的奇函数 2 ? C.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 1 2 1 ? cos 4 x 2 2 2 【答案】D 【解析】 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ? sin 2 x ? ,选 D. 2 4 ? 2 3. (2009 年高考)函数 y ? 2 cos ( x ? ) 是( ) 4
A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 B.最小正周期为 ? 的偶函数

? ? 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 【答案】A 2 2 ? ? 2? 2 ?? . 【解析】 y ? 2 cos ( x ? ) ? 1 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 为奇函数, T ? 4 2 2
4. (2009 年高考)已知 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? c ? 6+ 2 ,且

A ? 75 ,则 b ? (
A. 2

) C. 4-2 3
0 0 0

B. 4+2 3
0

D. 6- 2
0 0

【答案】A
0

【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ? 由 a ? c ? 6+ 2 可知, C ? 75 ,∴ B ? 30 , sin B ? 由正弦定理得 b ?

2? 6 , 4

1 , 2

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A. 2? 6 2 4


5. (2012 年高考)在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 .则 AC ? ( A. 4 3 B. 2 3 C. 3

D.

3 2

【答案】B

【解析】根据正弦定理,

BC AC ? , sin A sin B

得 AC ?
1

BC ? sin B 3 2 ? sin 45 ? ?2 3. sin A sin 60

6. (2013 年高考广东卷(文) )已知 sin(

A. ?

2 5

B. ?

1 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ( ) 2 5 1 2 C. D. 【答案】C 5 5

二、填空题: 1. (2010 年高考)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边,若 a ? 1 , b ? 3 ,

A ? C ? 2 B ,则 sin A ?



【答案】

1 2


2. (2011 年高考)设函数 f ( x) ? x 3 cos x ? 1. 若 f (a) ? 11,则 f (?a) ? 【答案】 ? 9 三、解答题: 【解析】∵ f (a) ? f (?a) ? 2 ,∴ f (?a) ? ?9 .

4) , B(0, 0) , C (c, 0) . 1. (2007 年高考)已知 ?ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3,
(1)若 AB AC ? 0 ,求 c 的值; 【解析】 (1) AB ? (?3, ?4) (2)若 c ? 5 ,求 sin ?A 的值.

A C? ( c? 3 , ? 4 )
25 . 3

由 AB AC ? ?3(c ? 3) ? 16 ? 25 ? 3c ? 0 ,得 c ? (2)

AB ? (?3, ?4) , AC ? (2, ?4) .
2 5 . 5

cos ?A ?

AB AC AB AC

?

?6 ? 16 1 , ? 5 20 5

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?

2. ( 2008 年高考)已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ? )(a ? 0, 0 ? ? ? ? ),x ? R 的最大值是 1,其图像经过点

? 1 M( , ). 3 2

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0,

?

3 12 ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 的值. 2 5 13

【解析】 (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,

? 1 , ) ,∴ sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2 ? 5 ? ? 而 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ,即 ? ? , 故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x . 3 6 2 2
∵函数的图像经过点 M (

? 1

(2) 依题意有 cos ? ?

3 4 12 5 3 12 ? , cos ? ? ,而 ? , ? ?(0 , ) , ∴ sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 13 2 5 5 13 13

3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65
3. (2009 年高考)已知向量 a=? sin ? ,-2? 与 b=?1 , cos? ? 互相垂直,其中 ?=? 0, ? .

? ?

??
2?

2

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 5cos ??-? ?= 3 5 cos ? , 0 ? ? ? 【解析】 (1)∵ a ? b ,∴ a ? b ? sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? .
2 2 2 2 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 , ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

?
2

,求 cos ? 的值.

1 4 2 ,∴ sin ? ? . 5 5

又 ? ? (0,

?
2

) ,∴ sin ? ?

2 5 5 , cos ? ? . 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ? , ∴ cos ? ? sin ? ,∴ cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos ? ?
2

1 , 2

又 0 ?? ?

? 2 ,∴ cos ? ? . 2 2

4. (2010 年高考)设函数 f ( x) ? 3sin(? x ? (1)求 f (0) ;

?
6

) , ? ? 0, x ? (??, ? ?) ,且以
(3)若 f ( ?

a ? 9 ) ? ,求 sin a 的值. 4 12 5 ? ? ? 3 【解析】 (1)∵ f ( x) ? 3sin(? x ? ) , ∴ f (0) ? 3sin(? ? 0 ? ) ? 3sin ? . 6 6 6 2
(2)求 f ( x ) 的解析式; (2)∵函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ∴

? 为最小正周期. 2

?

). 2 6 a ? 9 ? ? ? ? ? 9 (3)∵ f ( ? ) ? ,∴ f ( ? ) ? 3sin[4( ? ) ? ] ? , 4 12 5 4 12 4 12 6 5 ? 3 3 4 2 ∴ sin(? ? ) ? ,∴ cos ? ? ,∴ sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? . 2 5 5 5 1 ? 5. (2011 年高考)已知函数 f ? x ? ? 2 sin( x ? ) , x ? R . 3 6 ? 6 ? ? 10 , f (3? ? ) ? , 求 sin(? ? ? ) 的值. (1)求 f ? 0 ? 的值;(2)设 ? , ? ? [0, ], f (3? ? ) ? 2 5 2 2 13 1 ? ? ? 【解析】 (1) f (0) ? 2sin( ? 0 ? ) ? 2sin( ? ) ? ?2sin ? ?1 . 3 6 6 6 5 ? 1 ? ? 10 (2)∵ f (3? ? ) ? 2sin[ ? (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? , ∴ sin ? ? . 13 2 3 2 6 13 3 ? 1 ? ? 6 ∵ f (3? ? ) ? 2sin[ ? (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? , ∴ sin ? ? . 5 2 3 2 6 5 ? 12 4 , cos ? ? . ∵ ? , ? ? [0, ] ,∴ cos ? ? 2 13 5 56 ∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? . 65

2?

?

?

?

6

) , ? ? 0, x ? (??, ? ?) ,且以

, ∴? ? 4 ,

∴ f ( x) ? 3sin(4 x ?

?

? 为最小正周期. 2

3

6. (2012 年高考)已知函数 f ( x) ? A cos( ? (1)求 A 的值;

x 4

?

) , x ? R ,且 f ( ) ? 2 . 6 3

?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 3 17 3 5 ? ? ? ? 2 【解析】 (1)∵ f ( ) ? A cos( ? ) ? A cos ? A ? 2 ,∴ A ? 2 . 3 12 6 4 2 x ? (2)由(1)知 f ( x) ? 2cos( ? ) 4 6 4? ? 30 15 ) ? 2 cos(? ? ) ? ?2sin ? ? ? , ∴ sin ? ? , ∵ f (4? ? 3 2 17 17 2? 8 4 ) ? 2 cos ? ? ,∴ cos ? ? , ∵ f (4 ? ? 3 5 5 ? 8 3 2 2 ∵ ? ? ? ? [0, ] , ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? , sin ? ? 1 ? cos ? ? , 2 17 5 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? ∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 17 5 17 5 85
(2)设 ? , ? ? [0, ] , f (4? ?

?

7. (2013 年高考) . (2013 年高考广东卷(文) )已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?
?? ? f ?? ? ? . 6? ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

(2) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? ?? ? ? ?? ? f ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ? 3 12 ? ?4? 【答案】(1) ? 3 ?
(2)

4 3 ? 3? ? cos ? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?

4


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