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江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷


江苏省南京市 2015 届高三上学期 9 月调考数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1. (5 分)函数 y=cos x﹣sin2x 的最小正周期为. 2. (5 分)已知复数 z= ,其中 i 是虚数单位,则|z|=.
2

3. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数 之比为 4:3:3,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本, 则应从 2014-2015 学年高一抽取的学生人数为名. 4. (5 分)从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议,则甲被选中的概 率是.

5. (5 分)已知向量 =(2,1) , =(0,﹣1) .若( +λ )⊥ ,则实数 λ=. 6. (5 分)如图是一个算法的流程图,则最后输出 W 的值为.

7. (5 分)若双曲线 的离心率为.

的渐近线为

,则双曲线 C

8. (5 分)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则这个圆锥的高是.

9. (5 分)设 f(x)=x ﹣3x+a,若函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数 a 的取值 范围为. 10. (5 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c. 已知 a+ 则 cosA=. c=2b, sinB= sinC,

2

11. (5 分)若 f(x)=

是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为.

12. (5 分)记数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,Sn=2(a1+an) (n≥2,n∈N ) ,则 Sn=. 13. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x +y ﹣6x+5=0,点 A,B 在圆 C 上,且 AB=2 ,则| + |的最大值是.
x 2 2

*

14. (5 分)已知函数 f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx,其中 e 为自然对数的底,则满足 f(e ) <0 的 x 的取值范围为.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知函数 f(x)=2sin(2x+φ) (0<φ<2π)的图象过点( (1)求 φ 的值; (2)若 f( )= ,﹣ <α<0,求 sin(2α﹣ )的值. ,﹣2) .

16. (14 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,M,N 分别为 AB,B1C1 的中点. (1)求证:MN∥平面 AA1C1C; (2)若 CC1=CB1,CA=CB,平面 CC1B1B⊥平面 ABC,求证:AB⊥平面 CMN.

17. (14 分) 已知{an}是等差数列, 其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列, 且 a1=b1=2, a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)记 cn=anbn,n∈N ,求数列{cn}的前 n 项和.

*

18. (16 分)给定椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,称圆 C1:x +y =a +b 为椭圆 C 的“伴随

2

2

2

2

圆”.已知椭圆 C 的离心率为

,且经过点(0,1) .

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m) (m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的 伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 ,求实数 m 的值. 19. (16 分)如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tanα= ﹣2.在该块土地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, km. 现要过点 P 修建一条直线公路 BC, 将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园. 为 尽量减少耕地占用,问如何确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.

20. (16 分)已知函数 f(x)=ax +|x﹣a|,a∈R. (1)若 a=﹣1,求函数 y=f(x) (x∈,都存在 x2∈ 24.已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证: (ax+by) (bx+ay)≥xy.

3

必做题,第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. (10 分)如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,CC1=5,E 是棱 CC1 上不同于端点的点,且 =λ .

(1)当∠BEA1 为钝角时,求实数 λ 的取值范围; (2)若 λ= ,记二面角 B1﹣A1B﹣E 的大小为 θ,求|cosθ|.

26. (10 分)某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏,顾客从装有 1 个红球,1 个白 球,3 个黑球的袋中一次随机的摸 2 个球,设计奖励方式如下表: 结果 奖励 1红1白 10 元 1红1黑 5元 2黑 2元 1白1黑 不获奖 (1)某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元,求 X 的概率分布表与数学期望; (2)某顾客参与两次摸球,求他能中奖的概率.

江苏省南京市 2015 届高三上学期 9 月调考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 2 1. (5 分)函数 y=cos x﹣sin2x 的最小正周期为 π. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用倍角公式和两角和的余弦公式化 y= = = ,其中

θ=arctan2.再利用周期性公式即可得出. 解答: 解:y= = = ∴最小正周期为 ,其中 θ=arctan2. .

故答案为 π. 点评: 熟练掌握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出.

2. (5 分)已知复数 z=

,其中 i 是虚数单位,则|z|=



考点: 复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的除法运算化简,然后利用模的计算公式求模. 解答: 解:∵z= ∴|z|= 故答案为: . = . .

点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数模的求法,是基础题. 3. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数 之比为 4:3:3,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本, 则应从 2014-2015 学年高一抽取的学生人数为 32 名. 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 先求出 2014-2015 学年高一学生在总体中所占的比例,再用样本容量乘以此比例, 即得应从 2014-2015 学年高一年级抽取的学生人数. 解答: 解:2014-2015 学年高一学生在总体中所占的比例为 故应从 2014-2015 学年高一年级抽取的学生人数为 80× =32, 故答案为:32. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法, 利用了总体中各层的个体数之比等于样本中 对应各层的样本数之比,属于基础题. 4. (5 分)从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议,则甲被选中的概 率是 . = ,

考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;概率与统计;排列组合. 分析: 求出从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议的基本事件,甲 被选中的基本事件,即可求出甲被选中的概率. 解答: 解:从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议,共有 方法, =6 种

甲被选中,共有 3 种方法, ∴甲被选中的概率是 = . 故答案为: . 点评: 本题考查甲被选中的概率,考查学生的计算能力,比较基础.

5. (5 分)已知向量 =(2,1) , =(0,﹣1) .若( +λ )⊥ ,则实数 λ=5. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 本题先将向量 值,得到本题答案. 解答: 解:∵向量 =(2,1) , =(0,﹣1) , ∴ ∵( +λ )⊥ , ∴2×2+1×(1﹣λ)=0, λ=5. 故答案为:5. 点评: 本题重点考查的是平面向量的数量积, 根据两向量垂直得到相关方程, 从而求出本 题的解.本题难度不大,属于基础题. 6. (5 分)如图是一个算法的流程图,则最后输出 W 的值为 14. . 坐标化,利用两向量垂直得到它们的数量积为零,求出 λ 的

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知: 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 W 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:第一次执行循环体后,S=1,不满足退出循环的条件,故 T=2,S=3; 当 S=3,不满足退出循环的条件,故 T=3,S=6; S=6,不满足退出循环的条件,故 T=4,S=10; S=10,满足退出循环的条件, 故 T=4+10=14, 故答案为:14 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答.

7. (5 分)若双曲线 的离心率为 2. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题.

的渐近线为

,则双曲线 C

分析: 先利用双曲线的几何性质,焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 = ,在两边平方,利用双曲线离心率的定义求其离心率即可

,得

解答: 解:∵双曲线

的渐近线为



∴ =


2

=3

即 e ﹣1=3 ∴e=2 故答案为 2 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程、 双曲线的几何性质, 双曲线的渐近线定义及其 应用,双曲线的离心率定义及求法,属基础题 8. (5 分)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则这个圆锥的高是 .

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆知, 圆锥的轴截面为边长为 2 的正三角 形.

解答: 解:∵圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆, ∴圆锥的轴截面为边长为 2 的正三角形, 则圆锥的高 h=2×sin60°= . 点评: 考查了学生的空间想象力. 9. (5 分)设 f(x)=x ﹣3x+a,若函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数 a 的取值 范围为(0, ].
2

考点: 函数零点的判定定理;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,即 a=﹣x +3x 在 x∈(1,3)上成立即可, 转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答. 2 解答: 解:函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,即 a=﹣x +3x 在 x∈(1,3)上成立, ∵a=﹣x +3x=﹣(x﹣ ) + ,x∈(1,3) ∴a∈(0, ]. 故答案为: (0, ]. 点评: 本题考查二次函数的性质、函数的零点存在的条件,考查转化思想. 10. (5 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c. 已知 a+ 则 cosA= . c=2b, sinB= sinC,
2 2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理化简已知第二个等式得到 b= c,代入第一个等式表示出 a,利用余 弦定理表示出 cosA,将表示出的 b 与 a 代入计算即可求出值. 解答: 解:将 sinB= sinC 利用正弦定理化简得:b= c, 代入 a+ c=2b 中得 a+ c=2 c,即 a= c, ∴cosA= = = .

故答案为: 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键.

11. (5 分)若 f(x)=

是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;二倍角的正弦.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)直接由函数 f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点( 然后根据 0<φ<2π 得答案; (2)由 f( )= 求得 cosα= ,进一步求得 sin2α,展开两角差的正弦得答案. ,﹣2) , ,﹣2)列式求得 sinφ=1,

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=2sin(2x+φ) (0<φ<2π)的图象过点( ∴f( )=2sin(π+φ)=﹣2,

即 sinφ=1. ∵0<φ<2π, ∴φ= ;

(2)由(1)得,f(x)=2cos2x. ∵f( 又∵﹣ )= ,∴cosα= . <α<0,

∴sinα=﹣ . ∴sin2α=2sinαcosα=﹣ 从而 sin(2α﹣ ,cos2α=2cos α﹣1=﹣ ﹣cos2αsin =
2

. .

)=sin2αcos

点评: 本题考查了 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,训练了由已知三角函数的值求 三角函数的值,是中档题. 16. (14 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,M,N 分别为 AB,B1C1 的中点. (1)求证:MN∥平面 AA1C1C; (2)若 CC1=CB1,CA=CB,平面 CC1B1B⊥平面 ABC,求证:AB⊥平面 CMN.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)取 A1C1 的中点 P,连接 AP,NP.证得四边形 AMNP 为平行四边形.再由 线面平行的判定定理即可得到;

(2)运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理,即可得证. 解答: 证明: (1)取 A1C1 的中点 P,连接 AP,NP. 因为 C1N=NB1,C1P=PA1,所以 NP∥A1B1,NP= A1B1. 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1∥AB,A1B1=AB. 故 NP∥AB,且 NP= AB. 因为 M 为 AB 的中点,所以 AM= AB. 所以 NP=AM,且 NP∥AM. 所以四边形 AMNP 为平行四边形. 所以 MN∥AP. 因为 AP?平面 AA1C1C,MN?平面 AA1C1C, 所以 MN∥平面 AA1C1C. (2)因为 CA=CB,M 为 AB 的中点,所以 CM⊥AB. 因为 CC1=CB1,N 为 B1C1 的中点,所以 CN⊥B1C1. 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC∥B1C1,所以 CN⊥BC. 因为平面 CC1B1B⊥平面 ABC,平面 CC1B1B∩平面 ABC=BC.CN?平面 CC1B1B, 所以 CN⊥平面 ABC. 因为 AB?平面 ABC,所以 CN⊥AB. 因为 CM?平面 CMN,CN?平面 CMN,CM∩CN=C, 所以 AB⊥平面 CMN.

点评: 本题考查线面平行的判定定理和线面、 面面垂直的判定和性质定理, 考查逻辑推理 能力,注意定理的条件的全面性,属于基础题. 17. (14 分) 已知{an}是等差数列, 其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列, 且 a1=b1=2, a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; * (2)记 cn=anbn,n∈N ,求数列{cn}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 本题(1)利用数列的通项公式与前 n 项和公式,得到首项和公比、公差的方程, 求出数列的首项公比和公差,得到数列的通项; (2)本小题是一个等差与等比的积形成的数 列,可以利用错位相减法求和. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.

由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q ,S4=8+6d.…(3 分) 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组
n

3

解得

所以 an=n+1,bn=2 ,n∈N*. n (2)由题意知,cn=(n+1)×2 . 记 Tn=c1+c2+c3+…+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+…+cn 2 3 n﹣1 n =2×2+3×2 +4×2 +…+n×2 +(n+1)×2 , 2 3 n﹣1 n n+1 2 Tn=2×2 +3×2 +…+(n﹣1)×2 +n×2 +(n+1)2 , 2 3 n n+1 所以﹣Tn=2×2+(2 +2 +…+2 )﹣(n+1)×2 , n+1 即 Tn=n?2 ,n∈N*. 点评: 本题考查了等差数列、 等比数列的通项公式, 前 n 项和公式, 以及错位相减法求和, 有一定的综合性,计算量也较大,属于中档题.

18. (16 分)给定椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,称圆 C1:x +y =a +b 为椭圆 C 的“伴随

2

2

2

2

圆”.已知椭圆 C 的离心率为

,且经过点(0,1) .

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m) (m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的 伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 ,求实数 m 的值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)记椭圆 C 的半焦距为 c.由题意,得 b=1, = (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为
2 2 2

,由此能求出 a,b.
2

+y =1,圆 C1 的方程为 x +y =5.设直线 l 的方程为
2 2

y=kx+m,由

,得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0.由此利用根的判别式、弦长公

式、圆心到直线的距离,结合知识点能求出 m. 解答: (本小题满分 16 分) 解: (1)记椭圆 C 的半焦距为 c. 由题意,得 b=1, = ,c =a +b ,
2 2 2

解得 a=2,b=1.…(4 分) (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y =1,圆 C1 的方程为 x +y =5.
2 2 2

显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx﹣y+m=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,

…(6 分)

故方程组
2

(*)有且只有一组解.
2 2

由(*)得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0. 2 2 2 从而△ =(8km) ﹣4(1+4k ) ( 4m ﹣4)=0. 2 2 化简,得 m =1+4k .①…(10 分) 2 2 因为直线 l 被圆 x +y =5 所截得的弦长为 2 , 所以圆心到直线 l 的距离 d= 即 = .
2

=



②…(14 分)
2

由①②,解得 k =2,m =9. 因为 m>0,所以 m=3. …(16 分) 点评: 本题主要考查实数值的求法,考查直线与椭圆、圆等知识,同时考查解析几何的基 本思想方法和运算求解能力. 19. (16 分)如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tanα= ﹣2.在该块土地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, km. 现要过点 P 修建一条直线公路 BC, 将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园. 为 尽量减少耕地占用,问如何确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 过点 P 作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足为 E、F,连接 PA.S△ ABC=S△ ABP+S△ APC= ? x? 3+ ? y? = (3x+ y) ,S△ ABC= ? x? y? ,可得

3 x+5y=2xy,利用基本不等式,即可得出结论. 解答: 解:过点 P 作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足为 E、F,连接 PA. 设 AB=x,AC=y. 因为 P 到 AM,AN 的距离分别为 3, , 即 PE=3,PF= . 由 S△ ABC=S△ ABP+S△ APC = ? x? 3+ ? y? = (3x+ y) . . ①…(4 分)

因为 tanα=﹣2,所以 sinα=

所以 S△ ABC= ? x? y? 由①②可得 ? x? y? 即3 因为 3

. ②…(8 分) = (3x+ y) .

x+5y=2xy. ③…(10 分) x+5y≥2 ,所以 2xy≥2 .

解得 xy≥15 当且仅当 3

. …(13 分) x=5y 取“=”,结合③解得 x=5,y=3 . 有最小值 15.
2

所以 S△ ABC= ? x? y?

答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km .…(16 分)

点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=ax +|x﹣a|,a∈R. (1)若 a=﹣1,求函数 y=f(x) (x∈,都存在 x2∈,都存在 x2∈?时,f(x)∈, ∈,
3

当 x∈,都存在 x2∈? 分析: 法一、化直线的参数方程为普通方程,设出圆上点的坐标,由点到直线的距离公式 到关于 θ 三角函数式,则点 P 到直线 l 的距离的最小值可求; 法二、 化化直线的参数方程为普通方程, 化圆的参数方程为普通方程, 求出圆心坐标和半径, 再求出圆心到直线的距离,则点 P 到直线 l 的距离的最小值可求. 解答: 解: (方法一)



消掉参数 t 得直线 l 的普通方程为 x﹣

y+

=0.

∵点 P 在圆 C 从而点 P 到直线 l 的距离

上,故设 P(

+cosθ,sinθ) ,

d= ∴dmin= ﹣1. 即点 P 到直线 l 的距离的最小值为 (方法二)

=



﹣1.

直线 l 的普通方程为 x﹣ 由 ,得

y+

=0. .

∴圆 C 的圆心坐标为(

,0) ,半径为 1. = .

从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d=

∴点 P 到直线 l 的距离的最小值为 ﹣1. 点评: 本题考查了参数方程和普通方程的互化, 考查了直线和圆的位置关系, 训练了点到 直线的距离公式,是中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证: (ax+by) (bx+ay)≥xy. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 展开(ax+by) (bx+ay)利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 证明:∵a,b 是正数,且 a+b=1, 2 2 2 2 ∴(ax+by) (bx+ay)=abx +(a +b )xy+aby 2 2 2 2 =ab(x +y )+(a +b )xy 2 2 ≥ab? 2xy+(a +b )xy 2 =(a+b) xy =xy 即(ax+by) (bx+ay)≥xy 成立. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 必做题,第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. (10 分)如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,CC1=5,E 是棱 CC1 上不同于端点的点,且 =λ .

(1)当∠BEA1 为钝角时,求实 数 λ 的取值范围; (2)若 λ= ,记二面角 B1﹣A1B﹣E 的大小为 θ,求|cosθ|.

考点: 二面角的平面角及求法;向量数乘的运算及其几何意义. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立如图所示的空间直 角坐标系.根据∠BEA1 为钝角时,cos∠BEA1<0,即 值范围; (2) 求出平面 BEA1 的一个法向量为 , 平面 BA1B1 的一个法向量为 , 代入向量夹角公式, 可得|cosθ|的值. 解答: 解: (1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立如图所示的空 间直角坐标系. 由题设知 B(2,3,0) ,A1(2,0,5) ,C(0,3,0) ,C1(0,3,5) . 因为 =λ ,所以 E(0,3,5λ) ,从而 =(2,0,﹣5λ) , =(2,﹣3,5﹣5λ) .… ? <0,进而求出实数 λ 的取

(2 分) 当∠BEA1 为钝角时,cos∠BEA1<0,且 所以 ? <0, 与 不共线,

即 2×2﹣5λ(5﹣5λ)<0, 解得 <λ< . 即实数 λ 的取值范围是( , ) . (2)当 λ= 时, =(2,0,﹣2) , …(5 分) =(2,﹣3,3) .

设平面 BEA1 的一个法向量为 =(x,y,z) , 由 ,即

取 x=1,得 y= ,z=1, 所以平面 BEA1 的一个法向量为 =(1, ,1) . …(7 分) 易知,平面 BA1B1 的一个法向量为 =(1,0,0) . 因为|cosθ|=|cos< , >|= = = ,

从而|cosθ|=



…(10 分)

点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,向量数量积,其中建立空间坐标系, 将空间直线夹角和二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键. 26. (10 分)某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏,顾客从装有 1 个红球,1 个白 球,3 个黑球的袋中一次随机的摸 2 个球,设计奖励方式如下表: 结果 奖励 1红1白 10 元 1红1黑 5元 2黑 2元 1白1黑 不获奖 (1)某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元,求 X 的概率分布表与数学期望; (2)某顾客参与两次摸球,求他能中奖的概率. 考点: 离散型随机变量的期望与方差; 古典概型及其概率计算公式; 离散型随机变量及其 分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由已知得 X=10,5,2,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的概率分布表 和 E(X) . (2)记该顾客一次摸球中奖为事件 A,由(1)知,P(A)= 中至少有一次中奖的概率. 解答: 解: (1)因为 P(X=10)= = , ,由此能求出他两次摸球

P(X=5)=

=



P(X=2)=

=

,P(X=0)=

=



所以 X 的概率分布表为: X 10

5

2

0

P …(4 分) 从而 E(X)=10× +5× +2× +0× =3.1 元.…(6 分) ,

(2)记该顾客一次摸球中奖为事件 A,由(1)知,P(A)= 从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率 P=1﹣ = 答:他两次摸球中至少有一次中奖的概率为
2



.…(10 分) .

点 评: 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的概率分布表与数学期望的求法, 解题 时要认真审题,是中档题.


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