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2011学年第一学期高三理科数学期末试题及答案


肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012 学年第一学期统一检测题

高三数学(理科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写 在答题卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非

选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各 题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式:1、锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高。 3 n(ad ? bc) 2 2 2、 2 ? 2 列联表随机变量 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 2 P( K ? k ) 与 k 对应值表:

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? i ,则复数 z 的共轭复数 z ? ( ) A. ? i
2

B. i B. {x | ?1 ? x ? 4}

C. 1 ? i C. {?3,1}

D. 1 ? i

2. 已知集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | ?2 ? x ? 4} ,则 M A. {x | ?1 ? x ? 3} 3. 命题“ ?( x, y), x, y ? R, 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ”的否定是 A. ?( x, y), x, y ? R, 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 C. ?( x, y), x ? R, y ? R, 2 x ? 3 y ? 3 ? 0

N? D. {?1,3}

B. ?( x, y), x, y ? RR, 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 D. ?( x, y), x ? R, y ? R, 2 x ? 3 y ? 3 ? 0

4.若向量 a, b 满足 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ° ,则 | a ? b |? A. 2 2 ? 3 B. 2 3 C. 4 D.12

? x ? y ? 1 ? 0, ? 5. 若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ? x ? 0, ?
A. 0 B.

1 2

C. 2
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D. 3
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高三数学(理科)试题

6.函数 f ( x) ? x ? A. (?1,1)

1 的单调递减区间是 x B. (?1, 0) (0,1)
2 2

C. (?1, 0) , (0,1)

D. (??, ?1) , (1, ??) )

7.从点 P(m,3) 向圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1引切线,则切线长的最小值为(

A. 2 6 B. 26 C. 4 ? 2 D.5 8.对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运算 是通常的加法和乘法运算.已知 1 ? 2 ? 3 , 2 ? 3 ? 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得

?x ? R ,都有 x ? m ? x ,则 3 ? 4 的值是( A. ? 4 B. 4

) C. ?3 D. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 3x ? 4 ? 4 的解集是 10.图 1 是一个质点做直线运动的 V ? t 图象, 则质点在前 6 s 内的位移为 m 11.图 2-1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到 12 次的考试成绩 依次记为 A 1 ,A2, ?,A 12 .图 2-2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算 法流程图.那么算法流程图输出的结果是 .

12. 在△ ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则△ ABC 的面积等于 13.若函数 y ? f ? x ?

g ( x) ? lg x

? x ? R ? 满足 f ? x ? 2? ? f ? x ? 且 x ? ? ?1,1? 时, f ? x? ? 1? x2 ;函数 ,则函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象在区间 ? ?5,5? 内的交点个数共有 个.
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(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图 3,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11, AC ? 2 ,则 BD 等于 15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中, 点

5? ? P ( 2 , 到直线 ) ? cos(? ? ) ? 2 的距离等于 4 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

? 7? ? , ?2 ? . ? ( x ? R )的图象过点 P ? 3? ? 12 ? ? ? ? ? ? 10 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)已知 f ? ? ? ? , ? ? ? ? 0 ,求 cos 2 ? 2 12 ? 13
设函数 f ? x ? ? A sin ? 2 x ?

? ?

??

3? ? ?? ? 4 ?

? ? 的值. ?

17.(本小题满分 12 分) 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入 的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入(单位百元) [15,25 ) 频数 赞成人数 5 4 [25,35 ) 10 8 [35,45 ) 15 12 [45,55 ) 10 5 [55,65 ) 5 2 [65,75 ) 5 1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为分 界点对“楼市限购令” 的态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若对在[15,25) ,[25,35)的被调查中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人 中不赞成“楼市限购令”人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望。 月收入低于 55 百元的人数 合计

a?
b?

c?
d?

18. (本题满分 14 分) 如图 4,已知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面(经过圆柱的
高三数学(理科)试题 第3页 共4页

轴的截面) , BC 是 圆 柱 底 面 的 直 径 , O 为 底 面 圆 心 , E 为 母 线 CC1 的 中 点 , 已 知

AB ? AC ? AA1 ? 4 (I) )求证: B1O ⊥平面 AEO ; (II)求二面角 B1 ? AE ? O 的余弦值. (Ⅲ)求三棱锥 A ? B1OE 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 一动圆与圆 O1 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 外切,与圆 O2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 27 内切. (I)求动圆圆心 M 的轨迹方程.(II)试探究圆心 M 的轨迹上是否存在点 P ,使直线 PO1 与 PO2 的斜率 kPO1 ? kPO2 ? 1?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些 点的坐标) .

20. (本小题满分 14 分) 设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:①
?

an ? an ? 2 ? an ?1 , ② an ? M . 2

其中 n ? N , M 是与 n 无关的常数. (Ⅰ)若{ an }是等差数列, Sn 是其前 n 项的和, a4 ? 2 , S4 ? 20 ,证明: {Sn } ?W ; (Ⅱ)设数列{ bn }的通项为 bn ? 5n ? 2n ,且 {bn } ?W ,求 M 的取值范围; (Ⅲ )设数列{ cn }的各项均为正整数,且 {cn } ?W .证明 cn ? cn?1 .

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

(Ⅰ )已知函数 y ? g ( x) 的零点至少有一个在原点右侧,求实数 a 的范围. (Ⅱ )记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点. 如果在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:①x0 ?

1 2 ax ? (a ? 1) x , ( a ? R ). 2

x1 ? x2 ;② 曲线 C 在点 M 处的切线平行于 2

直线 AB ,则称函数 F ( x) 存在“中值相依切线”. 试问:函数 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ( a ? R 且 a ? 0 )是否存在“中值相依切线”,请说明 理由.

高三数学(理科)试题

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2011—2012 学年第一学期统一检测题 高三数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:

1? i (1 ? i)2 1. B 解析: z ? ? ? ?i ? z ? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2. D 解析: M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ? {?1,3} ,所以 M N ? {?1,3} 3. C 解: ?( x, y ) 的否定是 ?( x, y) , 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 的否定是 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 故选择 C。 1 2 2 2 0 4. B 解析: | a ? b | ?| a | ? | b | ?2 | a || b | cos60 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 12 , 2 | a ? b |? 2 3 1 1 5. D 解析: 平面区域如图, 三个“角点”坐标分别为 (0, 0), (0,1), ( ? , ) , 2 2 所以 zmax ? 3 1 1 6. C 解析:函数 f ( x) ? x ? 的定义域为 x ? 0 的实数,令 f ?( x ) ? 1 ? 2 ? 0 解得 x ? ?1 , x x 当 ?1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1, 0) , (0,1)
7. A 解析:利用切线长与圆半径的关系加以求解.设切点为 M,则 CM⊥MP,
2 2 于是切线 MP 的长 MP= CP ? MC ?

(m ? 2) 2 ? (3 ? 2) 2 ? 1 , 显然, 当 m ? ?2 时,

MP 有最小值 24 ? 2 6 . 8. D 解:依题意得 ax ? mb ? cmx ? x ? (cm ? a ? 1) x ? bm ? 0 恒成立,因为 m ? 0 ,所以

b?0 ? ?a ? 2b ? 2c ? 3 ?a ? ?6c ? 1 ?a ? 5 ,又 ? ,所以 x ? y ? 5x ? xy ?? ?? ? ?cm ? a ? 1 ? 0 ?2a ? 3b ? 6c ? 4 ?b ? 2c ? 2 ?c ? ?1
故 3 ? 4 ? 5? 3 ? 3? 4 ? 3 二、填空题:

8 8? x? 4 ? 4 ? ? 0x ? 解:由 3x ? 4 ? 4 得 ?4 ? 3 3 3? ?3 t, 0 ? t ? 4, ? ?4 V ( t ) ? 10. 填:9. 解 1:由题图易知 ? ?9 ? 3 t , 4 ? t ? 6. ? ? 2 6 43 6 3 3 2 4 3 2 6 ∴s= ? v(t )dt ? ? tdt ? ? (9 ? t )dt = t 0 ? (9t - t ) 4 =6+3=9. 0 0 4 4 2 8 4 1 解 2:质点在前 6s 内的位移为三角形的面积 s ? ? 6 ? 3 ? 9 2
9. 填: ? x | 0 ? x ? ?
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? ?

11. 填:9. 解析:算法流程图输出的结果是“分数大于或等于 90 分的次数”,从茎叶图中可 知共有 9 次分数大于或等于 90 分.

9 ? 16 ? 13 1 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 3 = = , ∴sinA= . 2 ? 3? 4 2 2 AB ? AC 2 1 1 3 ∴ S?ABC ? AB ? AC sin A ? ? 3 ? 4 ? ?3 3 2 2 2 13. 填:8.解: 函数 y ? f ? x ? 以 2 为周期, y ? g ? x ? 是偶函数,画出图像可知有 8 个交点.
12. 填:3 3 . 解: 由余弦定理 cosA=

14. 填:6. 解析:由割线定理得 PA· PB=PC· PD,∴5× (5+7)=PC(PC+11).∴PC=4 或 PC=-15(舍去). 又∵PA· PB=PC· PD, 故 BD ? 3 AC ? 6 15. 填: 2 ? 2 解:点 P (2,

PA PC AC PA 5 1 ? ? ? ? . ,∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB.∴ PD PB BD PD 15 3 5? ? ) 的直角坐标为 (? 2, ? 2) ,直线 ? cos(? ? ) ? 2 的 4 4

直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,所以 d ? 三、解答题 16. 解(Ⅰ)∵ f ( x ) 的图象过点 P ? ∴A?2 故 f ( x ) 的解析式为 f (3 分)

| ? 2 ? 2 ?2| ? 2? 2 2

? 7? ? 7? ? 3? ? 7? ? ? , ?2 ? ,∴ f ? ? A sin ? 2 ? ? ? ? A sin ? ?2 ? ? 12 3 ? 2 ? 12 ? ? 12 ? ? 2 x ?

(5 分) ? 3? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 10 ?? ? ? ? (Ⅱ) ∵ f ? ? ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? ? 2? 13 ? 2 12 ? ? ? ? 2 12 ? 3 ? 5 即 cos ? ? , (7 分) 13

n ? x? ? 2 s i ? ?

??

12 ?5? ∵ ? ? ? ? 0 ,∴ sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 13 ? 13 ?
2

?

2

(9 分)

∴ cos ? ?

3? ? ? 4 ?

3? 3? 5 ? 2 ? 12 2 17 2 ? ? ?? ? ? ? ?? ? sin ? sin (12 分) ? ? ? cos ? cos ? ? 26 4 4 13 ? 2 ? 13 2 ?
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17. 解:(Ⅰ)2 乘 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计 月收入低于 55 百元人数 合计 32 18 50

a?3 b?7
10
2

c ? 29 d ? 11
40

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29) ? 6.27 ? 6.635 . (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)

所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. (6 分)
2 C82 C4 6 28 84 (Ⅱ) ? 所有可能取值有 0,1,2,3, P ?? ? 0 ? ? 2 ? 2 ? , ? ? C5 C10 10 45 225 1 1 1 2 C82 C4 C8 C C4 4 28 6 16 104 P ?? ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 1 1 2 2 C8 C2 C4 C4 C2 4 16 6 1 35 P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 2 C4 C2 4 1 2 P ? ? ? 3? ? 2 ? 2 ? ? ? C5 C10 10 45 225 所以 ? 的分布列是 ? 0 1 2 3 84 104 35 2 P 225 225 225 225 104 70 6 4 ? ? ? 。 所以 ? 的期望值是 E? ? 0 ? (12 分) 225 225 225 5 18. 解:依题意可知, AA1 ? 平面 ABC,∠ BAC =90° , 方法 1:空间向量法 如图建立空间直角坐标系 o ? xyz ,因为 AB ? AC ? AA1 =4,

则 A(0,0,0), B(4,0,0) E(0, 4, 2), O(2, 2,0), B1 (4,0, 4) (I) B1O ? (?2 , 2, ? 4), EO ? (2, ? 2, ? 2) , AO ? (2, 2,0)

B1O EO ? (?2) × 2?2 × (?2) ? (?4) × (?2) ? 0 ,∴ B1O ? EO ,∴ B1O ? EO
∴ B1O ? AO ,∴ B1O ? AO B1O AO ? (?2) × 2?2 × 2 ? (?4) × 0 ?0, , EO ? 平面 AEO ∴ B1O ⊥平面 AEO ∵ AO EO ? O, A O (5 分) (II) 平面 AEO 的法向量为 B1O ? (?2, 2, ? 4) ,设平面 B1AE 的法向量为

? · AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?n n ? ( x,y,z ),∴? , 即? · B1 A ? 0 ?x ? z ? 0 ? ?n ,∴z ? (2, 1 , ? 2) 令 x=2,则 z ? ?2,y ? 1
∴ cos ? n, B1O ? ?

n · B1O 6 6 ? ? 6 |n· | | B1O | 9× 24
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6 (10 分) 6 (Ⅲ)因为 AO EO ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 ,∴ AO ? EO , ∴ AO ? EO
∴二面角 B1—AE—F 的余弦值为 ∵ AO ?| AO |? 22 ? 22 ? 0 ? 2 2 , EO ?| EO |? 2 3 ∴ VA? B1OE ? VB1 ? AOE ? 方法 2: 依题意可知, AA1 ? 平面 ABC,∠ BAC =90° ,BC ?

1 1 1 S?AOE ? B1O ? ? ? 2 2 ? 2 3 ? 2 6 ? 8 3 3 2

(14 分)

AB2 ? AC 2 ? 4 2 ,∴ AO ? 2 2

(I)∵ AB ? AC ,O 为底面圆心,∴BC⊥AO,又∵B1B⊥平面 ABC,可证 B1O⊥AO,
2 2 2 2 2 因为 AB = AA 1 ? 4 ,则 B 1O ? 24, EO ? 12, B 1E ? 36 ,∴ B 1O ? EO ? B 1E

∴B1O⊥EO,∴ B1O ⊥平面 AEO ; (II)过 O 做 OM⊥AE 于点 M,连接 B1M, ∵B1O⊥平面 AEO,可证 B1M⊥AE, ∴∠B1MO 为二面角 B1—AE—O 的平面角, C1C⊥平面 ABC,AO⊥OC,可证 EO⊥AO, 在 Rt△AEO 中,可求 OM ?

(5 分)

10 , 5 6 6
(10 分)

在 Rt△B1OM 中,∠B1OM=90° ,∴ cos ?B1MO ? ∴二面角 B1—AE—O 的余弦值为

(Ⅲ)因为 AB=AC,O 为 BC 的中点,所以 AO ? BC 又平面 ABC ? 平面 BCC1B1 ,且平面 ABC 所以 AO ? 平面 BCC1B1 , ∴ VA? B1OE ? VB1 ? AOE ? 平面 BCC1B1 ? BC ,

6 6

故 AO 是三棱锥 A ? B 的高 1 OE (14 分)

1 1 1 S?AOE ? B1O ? ? ? 2 2 ? 2 3 ? 2 6 ? 8 3 3 2

19. 解: (1)设动圆圆心为 M ( x,y ) ,半径为 R . 由题意,得 MO1 ? 3 ? R , MO2 ? 3 3 ? R , (1 分) (3 分)

∴ MO1 ? MO2 ? 4 3 , 由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,
且a ?2 3 ,c ? 2 ,∴b ? a ? c ? 12 ? 4 ? 8 .
2 2 2

(5 分)

∴ 动圆圆心 M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 8

(6 分)
第8页 共4页

高三数学(理科)试题

(II) 由 (I) 知动圆圆心 M 的轨迹是椭圆, 它的两个焦点坐标分别为 O1 (?2, 0) 和 O2 (2,0) 设 P( x, y) 是椭圆上的点,由 kPO1 ? kPO2 ? 1得

(7 分) (9 分)

y y ? ? 1, ( x ? ?2) x?2 x?2

即 x2 ? y 2 ? 4 ( x ? ?2) ,这是实轴在 x 轴,顶点是椭圆的两个焦点的双曲线,它与椭圆的交 点即为点 P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内,根据椭圆和双曲线的对称性可知,它们必有 四个交点. 即圆心 M 的轨迹上存在四个点 P ,使直线 PO1 与 PO2 的斜率 kPO1 ? kPO2 ? 1. (12 分) 20. 解: (Ⅰ)设等差数列{ an }的公差是 d,则 ? 所以 S n ? na1 ? 由

? a1 ? 3d ? 2 ? a1 ? 8 ,解得 ? , ? d ? ?2 ? 4a1 ? 6d ? 20

S n ? S n?2 2 S ? S n?2 ? S n ?1 , 适合条件①; 得 n 2 9 2 81 2 又 S n ? ? n ? 9n ? ?( n ? ) ? 所以当 n=4 或 5 时, Sn 取得最大值 20,即 Sn ≤20,适合 2 4
条件② 综上, {Sn } ?W (Ⅱ)因为 bn?1 ? bn ? 5(n ? 1) ? 2
n?1

n(n ? 1) d ? ? n 2 ? 9n (2 分) 2 1 ? S n ?1 ? [(?n 2 ? 9n) ? (n ? 2) 2 ? 9(n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 ? 18(n ? 1)] =-1<0 2

(4 分)

? 5n ? 2n ? 5 ? 2n ,所以当 n≥3 时, bn?1 ? bn ? 0 ,此 时数列{bn}单调递减;当 n=1,2 时, bn?1 ? bn ? 0 ,即 b1<b2<b3,因此数列{bn}中的最大项
是 b3=7 所以 M≥7 (8 分) (Ⅲ) 假设存在正整数 k,使得 ck ? ck ?1 成立 由数列{ cn }的各项均为正整数,可得 ck ? ck ?1 ? 1 ,即 ck ?1 ? ck ?1

ck ? ck ? 2 ? ck ?1 ,所以 ck ?2 ? 2ck ?1 ? ck ? 2(ck ?1) ? ck ? ck ? 2 2 由 ck ?2 ? 2ck ?1 ? ck 及ck ? ck ?1 , 得ck ?2 ? 2ck ?2 ? ck ?1 ? ck ?1 , 故ck ?2 ? ck ?1 ? 1
因为

ck ?1 ? ck ?3 ? ck ? 2 , 所以ck ?3 ? 2c k ? 2 ? ck ?1 ? 2(c k ?1 ? 1) ? ck ?1 ? ck ?1 ? 2 ? c k ? 3 2 ……………………依次类推,可得 ck ?m ? ck ? m(m ? N * )
因为 设 ck ? p( p ? N ),则当m ? p时,有ck ? p ? ck ? p ? 0
*

这显然与数列{ cn }的各项均为正整数矛盾! 所以假设不成立,即对于任意 n∈N*,都有 cn ? cn?1 成立. ( 14 分) 21. 解:(Ⅰ)(1)当 a ? 0 时, g ( x) ? x ,直线与 x 轴的交点为 O (0, 0) ,即函数 y ? g ( x) 的零 点为 0,不在原点右侧,不满足条件. (1 分) (2)当 a ? 1 时, g ( x) ? 点右侧,不满足条件.

1 2 x ,抛物线的顶点为 O(0, 0) ,即函数 y ? g ( x) 的零点为 0,不在原 2
(2 分)
高三数学(理科)试题 第9页 共4页

( 3 )当 0 ? a ? 1 时, g ( x) ?
x?

a ?1 ? 0 ,所以抛物线与 x 轴的另一交点在对称轴的左侧,故函数 y ? g ( x) 的零点不在原 a 点右侧,不满足条件. (3 分) 2 ( 4 ) 当 a ? 1 时 , g ( x) ? 1 a( x ? a ? 1) 2 ? (a ? 1) , 抛 物 线 开 口 向 上 且 过 原 点 , 对 称 轴 2 a 2a

1 a ? 1 2 (a ? 1) 2 ,抛物线开口向上且过原点,对称轴 a( x ? ) ? 2 a 2a

x?

a ?1 ? 0 ,所以抛物线与 x 轴的另一交点在对称轴的右侧,故函数 y ? g ( x) 有一个零点 a

在原点右侧,满足条件. (4 分) 2 1 a ? 1 2 (a ? 1) , (5) 当 a ? 0 时, 抛物线开口向下且过原点, 对称轴 x ? a ? 1 ? 0 , g ( x) ? a ( x ? ) ? a 2 a 2a 所以抛物线与 x 轴的另一交点在对称轴的右侧,故函数 y ? g ( x) 有一个零点在原点右侧,满 足条件. (5 分) 综上可得,实数 a 的取值范围是 (? ?, 0 ) ( 1 (6 分) ?,?. ) (Ⅱ)假设函数 G ( x) 存在“中值相依切线”. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? G ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 , 则 y1 ? l n x1 ?

1 2 1 2 ax x y2 ? l n x2 ? a x 1 ? ( a? 1 ) , 1 2 ? ( a? 1 ) .x 2 2 2
1
2 2

y ? y (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 a( x2 ? x1 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) k AB ? 2 1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 ln x2 ? ln x1 1 ? ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) x2 ? x1 2 曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率 x ?x 2 x ?x ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , k ? G?( x0 ) ? G?( 1 2 ) ? 2 x1 ? x2 2 x ?x 2 ln x2 ? ln x1 1 依题意得: ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? x1 ? x2 2 x2 ? x1 2
2 ln x2 ? ln x1 x2 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? 1) 2 化简可得: , 即 ln = . ? ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1

(8 分)

(9 分)

x

(11 分)

x1


?1

x2 4 2(t ? 1) 4 , 即 ln t ? ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? ? 2. ? 2? t ?1 t ?1 t ?1 x1
2

(12 分)

(t ? 1) 4 1 4 , h '(t ) ? ? . ? 2 t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1) 因为 t ? 1 ,显然 h '(t ) ? 0 ,所以 h(t ) 在 (1, ??) 上递增,显然有 h(t ) ? 2 恒成立. , 内不存在 ) 所以在 ( 1 ?? t ,使得 ln t ? 4 ? 2 成立. t ?1 综上所述,假设不成立.所以,函数 G ( x) 不存在“中值相依切线”. (14 分)
令 h( t )? l nt ?
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高三数学(理科)试题

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