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解三角形单元测试题周测(2)


解三角形单元测试题周测(2)
一、选择题:一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为 A B C 等边三角形
王新敞
奎屯 新疆

( D 等腰三角形
王新敞
奎屯

新疆

)

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=300,则 a 等于 A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3 D.2





3. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 A. ?





1 4

B.

1 4

C. ?

4. 在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3 ,则

a?b?c 等于 sin A ? sin B ? sin C

2 3

D.

2 3

(

)

A.3 3

B.

2 39 3

C.

8 3 3

D.

39 2
( )

5. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为 A.79 B.69
2

C.5

D.-5
2

6.关于 x 的方程 x ? x ? cos A ? cos B ? cos A.等腰三角形 B.直角三角形

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是 2
C.锐角三角形 D.钝角三角形





7. 设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是 A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 D.4<m<6

(

)

8. △ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是 A.60° B.120°
2

(

)

C.60°或 120°
2

D.45° ( )

9.在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

1

10. 在△ABC 中,若

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是 a b c
B.等腰直角三角形 D.等边三角形





A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上) 11.在△ABC 中,有等式:①asinA=bsinB;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA;④ 恒成立的等式序号为______________

a b?c . 其中 ? sin A sin B ? sin C

12. 在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长是



13. 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.

14. 已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ?

a2 ? b2 ? c2 ,则角 C=____________. 4

15、已知三角形两边长分别为 1 和 3 ,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径为

.

2

解三角形单元测试题周测(2)答案
一、选择题:一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为 A
王新敞
奎屯 新疆

( D 等腰三角形
王新敞
奎屯 新疆

)

B

王新敞
奎屯

新疆

C 等边三角形
王新敞
奎屯 新疆

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=300,则 a 等于 A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3 D.2





3. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 A. ?





1 4

B.

1 4

C. ?

4. 在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3 ,则

a?b?c 等于 sin A ? sin B ? sin C

2 3

D.

2 3

(

)

A.3 3

B.

2 39 3

C.

8 3 3

D.

39 2
( )

5. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为 A.79 B.69
2

C.5

D.-5
2

6.关于 x 的方程 x ? x ? cos A ? cos B ? cos A.等腰三角形 B.直角三角形

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是 2
C.锐角三角形 D.钝角三角形





7. 设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是 A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 D.4<m<6

(

)

8. △ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是 A.60° B.120°
2

(

)

C.60°或 120°
2

D.45° ( )

9.在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 10. 在△ABC 中,若 C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形 ( )

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是 a b c
B.等腰直角三角形 D.等边三角形

A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形

A 2.C 3. A 4. B 5. D 6. A 7. B 8.B 9.D 10.B
二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上)

3

11.在△ABC 中,有等式:①asinA=bsinB;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA;④ 恒成立的等式序号为______________

a b?c . 其中 ? sin A sin B ? sin C

12. 在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长是 13. 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________. 14. 已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ?



a2 ? b2 ? c2 ,则角 C=____________. 4
.

15、已知三角形两边长分别为 1 和 3 ,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径为

11. ②④

12.50, 13.1200,14. 450

15、1

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2 cos? A ? B ? ? 1。求:
2

(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。 解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?

1 2

? C=120°

(2)由题设:

?a ?b?2 3 ? ? ab ?2
2

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10
17、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 2bcosA= 3 (ccosA+acosC), (1)求 A 的大小; (2)若 a=2,c=2 3 ,且 b>c 求△ABC 的面积. (1)由 2bcosA= 3 (ccosA+acosC)运用正弦定理得:2sinBcosA= 3 (sinCcosA+sinAcosC) 即:2sinBcosA= 3 sin(A+C)= 3 sinB 所以 cos A= (2)由余弦定理得 a =b +c -2bccosA ? b -6b+8=0,
2 2 2 2

? 3 ,A= . 6 2

又 b>c 得 b=4,所以 S=

1 bcsinA=2 3 . 2
4

18、在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bc o s A



1 cos A ? ? ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? s iC n?

sB in ?

sin ?( ?6 B0 ?

3 1 ) B ? sin B cos 2 2 ? sin(60? ? B)

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。

19、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC+ (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围. 解: (1)由 acosC+ ∴sinAcosC+ ∴

1 c=b. 2

1 1 c=b 得 sinAcosC+ sinC=sinB . 2 2

1 1 ? sinC=cosAsinC.∵ C ? (0, ? ) ,∴sinC≠0,∴cosA= .∴A= . 2 2 3

1 sinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC. 2

(2)由正弦定理得: b ?

asinB 2 asinC 2 ? sinB ,c= ? sinC. sinA sinA 3 3

∴ l ? a ? b ? c ? 1?

2 ? sinB ? sinC ? 3

=1+

2 [sinB+sin(A+B)] 3
1 ? 3 sinB+ cosB)=1+2sin(B+ ), 2 6 2

=1+2(

? 2? ? ? 5? ) ,∴B+ ? ( , ). ,∴ B ? (0, 3 6 6 6 3 ? 1 ∴sin(B+ ) ? ( ,1],∴ l ? (2,3].∴△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]. 2 6
∵A=

5

20、在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 ? (cos ? ? 2 ) 10 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45 ? 方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前 半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

y O 海 岸 线

北 东 O

?
O

x

Q 解:设在 t 时刻台风中心位于点 Q,此时|OP|=300, |PQ|=20t, 台风侵袭范围的圆形区域半径为 r(t)=10t+60, 由 cos? ? r(t ))

45 ?

P

2 7 2 2 ,可知 sin ? ? 1 ? cos ? ? , 10 10
o o o

cos∠OPQ=cos(θ -45 )= cosθ cos45 + sinθ sin45 =
2

2 2 7 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5
2 2

在 △OPQ 中,由余弦定理,得

OQ

? OP ? PQ ? 2 OP ? PQ cos ?OPQ
2 2

= 300 ? (20t ) ? 2 ? 300 ? 20t ?
2

4 5

t ? 90000 = 400t ? 9600 若城市 O 受到台风的侵袭,则有|OQ|≤r(t),即

400t 2 ? 9600 t ? 90000? (10t ? 60) 2 , 2 整理,得 t ? 36t ? 288 ? 0 ,解得 12≤t≤24,
答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.

6


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