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课时强化作业46


课时强化作业四十六
基础强化 一、选择题

直线方程

1.若与直线 3x-y+1=0 垂直的直线的倾斜角为 α,则 cosα 的值是( A.3 3 10 C. 10 1 B.- 3 3 10 D.- 10

)

1 1 sinα 1 解析:与直线 3x-y+1=0 垂直的直线的斜率为-

,即 tanα=- ,所以 =- ,又 sin2α+cos2α 3 3 cosα 3 π ? 3 10 =1,且 α∈? ?2,π?,所以 cosα=- 10 . 答案:D 2.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 平行,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 )

2 2 解析:∵2x-3y+4=0 的斜率为 k= ,∴所求的直线方程为 y-2= (x+1),即 2x-3y+8=0. 3 3 答案:D 1 x2 y2 3.(2015 届陕西检测)经过抛物线 y= x2 的焦点和双曲线 - =1 的右焦点的直线方程为( 4 17 8 A.x+4y-3=0 C.x+3y-3=0
2 2

)

B.x+80y-5=0 D.x+5y-5=0

1 x y x 解析:∵y= x2 的焦点为(0,1), - =1 的右焦点为(5,0),∴过这两点的直线方程为 +y=1,即 x 4 17 8 5 +5y-5=0. 答案:D π 4.函数 y=asinx-bcosx 的图象的一条对称轴方程为 x= ,则直线 ax-by+c=0 的倾斜角为( 4 A.45° C.120° 解析:令 f(x)=asinx-bcosx, π? π a ∵f(x)的一条对称轴为 x= ,∴f(0)=f? ?2?,即-b=a,∴b=-1. 4 ∴直线 ax-by+c=0 的斜率为-1,倾斜角为 135° . 答案:D 5.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0 表示一条直线,则参数 m 满足的条件是( )
1

)

B.60° D.135°

3 A.m≠- 2 C.m≠0 且 m≠1

B.m≠0 D.m≠1

2 ? ?2m +m-3=0, ? 解析:由 2 得 m=1,故 m≠1 时方程表示一条直线. ?m -m=0, ?

答案:D 6. (2015 届太原二模)已知数列{an}的通项公式为 an= y =1 与坐标轴所围成三角形的面积为( n A.36 C.50 1 1 1 解析:∵an= = - , n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 n 9 ∴Sn=a1+a2+…+an=1- + - +…+ - = .又 Sn= , 2 2 3 n n+1 n+1 10 ∴n=9, x y ∴直线方程为 + =1, 10 9 1 ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ×10×9=45. 2 答案:B 二、填空题 7.若直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° ,所得直线 l 的斜率为________. 解析:由题可知,直线 PQ 的倾斜角为 120° ,旋转后所得的直线 l 与直线 PQ 的夹角为 60° ,∴直线 l 的倾斜角为 60° ,∴其斜率为 3. 答案: 3 8.直线 ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),则该直线的倾斜角为______. 解析:∵点(1,1)在直线 ax+my-2a=0 上, a ∴a+m-2a=0,即 m=a,又直线的斜率 k=- =-1, m 3π ∴该直线的倾斜角为 . 4 3π 答案: 4 9.(2015 届皖南一中高三月考)已知直线 l 过点(0,-1),且与曲线 y=x+ln x 相切,则切线方程为 ________. ) B.45 D.55 1 9 x (n∈N*)其前 n 项和 Sn= , 则直线 + 10 n?n+1? n+1

2

1 1 1+ ? 解析:设切点坐标为(x0,x0+ln x0),∴所求直线的斜率 k=1+ ,∴切线方程为 y-x0-ln x0=? ? x0? x0 (x-x0),又直线过(0,-1),∴-1-x0-ln x0=-x0-1, ∴ln x0=0,∴x0=1.∴切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 答案:y=2x-1 三、解答题 10.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: (1)过定点 A(-3,4); 1 (2)斜率为 . 6 4 解:(1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k+4, k 4 ? 由已知,得(3k+4)? 6, ? k+3?=± 2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. 1 (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是 y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b,由已知, 6 得|-6b· b|=6,∴b=± 1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 能力提升 1.直线 x+(a2+1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是( π? A.? ?0,4? π? ?π ? C.? ?0,4?∪?2,π? )

3π ? B.? ? 4 ,π? π π? ?3π ? D.? ?4,2?∪? 4 ,π?

3π ? 1 ,π . 解析:∵直线的斜率 k=- 2 ,∴-1≤k<0,则倾斜角的范围是? 4 ? ? a +1 答案:B 2.直线 Ax+By-1=0 在 y 轴上的截距是-1,而且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3的倾斜角的 2 倍, 则( ) A.A= 3,B=1 C.A= 3,B=-1 B.A=- 3,B=-1 D.A=- 3,B=1

A 1 1 解析:将直线 Ax+By-1=0 化成斜截式 y=- x+ .因为 =-1,所以 B=-1,故排除 A,D;又它 B B B 的倾斜角是直线 3x-y=3 3的 2 倍,解得 A=- 3,排除 C. 答案:B
3

3.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则 直线 PB 的方程是( A.x+y-5=0 C.2x-y-4=0 解析:易知 A(-1,0),∵|PA|=|PB|, ∴P 在 AB 的中垂线即 x=2 上,∴B(5,0). ∵PA、PB 关于直线 x=2 对称, ∴kPB=-1,∴lPB:y-0=-(x-5),即 x+y-5=0. 答案:A 4.已知从点(-2,1)发出的一束光线,经 x 轴反射后,反射光线恰好平分圆 x2+y2-2x-2y+1=0,则 反射光线所在的直线方程为________. 解析:由题可知,反射光线经过圆心(1,1),点(-2,1)关于 x 轴的对称点(-2,-1)在反射光线的反向 y+1 x+2 延长线上,∴反射光线所在的直线方程为 = ,即 2x-3y+1=0. 1+1 1+2 答案:2x-3y+1=0 y 5.已知实数 x,y 满足 2x+y=8,当 2≤x≤3 时,则 的最大值为______;最小值为______. x 解析:2x+y=8(2≤x≤3)表示的图象如图所示,其中 A(2,4),B(3,2),设 P(x,y)是线段上一点. y 4 2 ∴ 表示 OP 的斜率,又 kOA= =2,kOB= . x 2 3 ) B.2x-y-1=0 D.2x+y-7=0

2 y ∴ ≤ ≤2. 3 x 答案:2 2 3

6.已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

?

3 ? -1, 3-1 ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

1 解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1;当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+ m+1 1).

4

π (2)当 m=-1 时,α= ; 2 当 m≠-1 时,m+1∈?-

?

3 ? ,0 ∪(0, 3 ], 3 ?

1 3 ∴k= ∈(-∞, - 3 ]∪? ,+∞? m+1 ?3 ? π π? ?π 2π? ∴α∈? ?6,2?∪?2, 3 ?. π 2π? 综上得,直线 AB 的倾斜角 α∈? ?6, 3 ?. 7.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,此时截距相等. 故 a=2,方程即为 3x+y=0. a-2 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0,得 =a-2,即 a+1=1, a+1 故 a=0,方程即为 x+y+2=0. 综上,l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
?-?a+1?>0, ?-?a+1?=0 ? ? 则? 或? ? ? ?a-2≤0 ?a-2≤0.

∴a≤-1. 综上可知,a 的取值范围是(-∞,-1].

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