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2.5等比数列的前n项和1


等差数列与等比数列的相关知识
等差数列
定义 通项 通项推广 中项 性质

an ? an -1 ? d (n ? 1 )
an ? a1 ? (n ?1)d an ? am ? (n ? m)d

等a比 数 列
n

an -1

?( q n ?1 )

r />
an ? a1q n?1 an ? amq n?m
a, G, b成等比 ? G 2 ? ab

a, A, b成等差 ? 2 A ? a ? b

m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq m ? n ? p ? r ? a ? a ? a ? a m n p r m ? n ? 2 p ? am ? an ? 2a p m ? n ? 2 p ? am ? an ? a p 2 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 仍成等差 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 仍成等比
n(a1 ? an ) n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? 2 2

求和 公式

? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? ? Sn ? ? 1 ? q 1? q ? ?na1

q ?1 q ?1

关系式

an、Sn

?S n ? S n?1 n ? 2 an ? ? n ?1 ? S1

适用所有数列

细节决定成败 态度决定一切

等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?

它的前n项和是


Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
2 n ?2

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q

? a1q .

n?1



⑴×q, 得

qSn ?
⑴-⑵,得
由此得q≠1时,

a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1q n?1 ? a1qn . n ?1 ? q?? Sn ? a1 ? a1q ,
a1 ? 1 ? q Sn ? 1? q



?

n

?

说明:这种求和方法称为

错位相减法

等比数列的前n项和公式 na1 , ( q=1).

Sn ?

{

a1 ? an q a1 ? 1 ? q ? , 1? q 1? q
n

?

?

(q≠1).

注意:

1. 使用公式求和时,需注意对 q ? 1和 q ? 1 的情况加以讨论;

2. a1 , an , n, q, Sn中, 知三求二 .

1 例2 、在等比数列?a n ? 中,求满足下列条件的 量 :

(1)a1 ? a5 ? 2, 求sn
3 9 (2)a3 ? ,S3 ? , 求a1和q 2 2
(3)a1 ? 1,a n ? ?512 ,s n ? ?341 .求q和n
练习:已知数列 2, 2a, 2a , 2a 求其前n项的和.
2 3



3 、 (2 1) 在等比数列?an ? 中,a1 ? an ? 66, a2 an ?1 ? 128 , 例 、

sn ? 126 , 求n、q
?a1 ? an ? 66 ?1?? 解: ?a2 an?1 ? 128
2

?a1 ? 2 ?a1 ? 64 或? ?a1, an是方程x ? 66x ? 128? 0的两根 解得: ? ?an ? 64 ?an ? 2

?a1 ? an ? 66 即? ?a1an ? 128

? a1 ?a n ,? q ? 1

2?64 q 1? q



若a1 ? 2, an ? 64, 则sn ? ? 126,即q ? 2

a1 ? an q 1? q

? 126

又? an ? a1q n?1 ,? 64 ? 2 ? 2n?1 ,? n ? 6


若a1 ? 64, an ? 2, 则同理可得q ?

1 2

,n ? 6

综上所述, n ? 6, q ? 1 或2

(3. 2)设等比数列?an ? 的前n项和为sn , 若sn ? 14, 例

s2n ? 126 , 求s3n
解:若q ? 1, 则sn ? na1 ? 14, s2n ? 2na1 ? 126 矛盾? q ? 1
① ?sn ? a1 1 ? q n ? 14 1? q ? ?? a1 2n s ? 1 ? q ? 126 ② ? 2n 1?q ? n n

?

?

?

?

两式相比得: 1 ? q ? 9?q ? 8

代入



? s3n ?

a1 1? q

?1 ? q ? ?
3n

a1 得: 1? q

? ?2
a1 1? q

?1 ? ?q ? ?? ?2?1 ? 8 ? ? 1022
n 3 3

性质一: 等比数列{an}的前n项和Sn

? S m,S 2m - S m,S3m - S 2m 成等比数列
1.等比数列{an}的前n项Sn,S3=10,S6=50,求S9.
S10 31 3 、等比数列 {a n }的前n项和为S n,a1 ? ?1, 若 ? , 2. S 5 32 S15 求 的值。 S10

3、任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是( D) A.X+Z=2Y
C.Y2=XZ

B.Y(Y-X)=Z(Z-X)
D.Y(Y-X)=X(Z-X)

1 例 4. 4、若等比数列 {a n }的公比为 ,且a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60, 3 则{a n }的前100项和为 80 。
解: 令X ? a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60
则S100 ? X ? Y Y ? a2 ? a4 ? ? ? a100

Y 1 由等比数列前 n项和性质知: ? q ? X 3

? Y ? 20

即:S100 ? X ? Y ? 80 性质二:

?an ?共有2n项,则: 若等比数列

S偶 S奇

?q

已知一个等比数列其首项是1,项数是偶数,所有奇 数项和是85,所有偶数项和是170,求此数列的项数?
提示:

q?

S偶 S奇

170 ? ?2 85

S n ? S 偶 ? S奇 ? 170? 85 ? 255
由等比数列前 n项和公式得:
1? 2 255 ? 1-2
n

?n?8

例5.已知等比数列{an }的前n项和Sn =2 -1 则它的前n项的平方和Tn ? _______ 1 n 1 n n A ( . 2 -1) B.(2 -1)C.4 -1 D.(4 -1) 3 3
n 2

n

变式:等比数列前n项和Sn ? 2 ? 3 ? a,
n

则a ? ____
性质:

数列 {an }是等比数列 ? S n ? Aqn - A( A ? 0)

1 、数列1 ,a,a , ?,a , ?的前n项和为( D ) n ?1 n ?1 1? an 1 ? a 1 ? a A. B. D.以上均不正确 C . 1? a 1? a 1? a 2、若等比数列 {an }的前n项和为S n , 则数列 {S n }中( D )
A.任意一项都不为0 C.至多有有限项为0
B.必有一项为0

2

n?1

D.可以有无数项为0
n

3、若等比数列 {a n }的前n项和S n ? 2 ? 1 ,数列{bn }满足: bn ? a n ,则{bn }的前那n项和Tn ?
2

1 n (4 ? 1) 。 3

a1 n a1 a1 ? a1q n ? Sn ? ? q ? Sn ? 1-q 1-q 1-q a1 令A ? ? ? 0 则:S n ? Aqn - A 1-q

这个形式和等比 数列等价吗?

等比数列前n项和的性质一:

数列 {an }是等比数列 ? S n ? Aqn - A( A ? 0)
类似结论: 数列 {an }是等比数列
相反 数
n

?S

? Aan ? B( AB ? 0, A ? 1)

二、等比数列前n项和的性质: 性质1
若某数列{an}的前n项和公式为:Sn=kan+b (a≠1

a≠0),仅当k+b=0时,数列{an}才为等比数列。

Ex1 : 等比数列前n项和Sn ? 2 ? 3 ? a,
n

B_ 则a ? ___
A. -2 B.2 C. 任意实数 D. 3

等比数列前n项和的性质三:

?an ?共有2n项,则: 若等比数列
S偶 S奇 ?q
怎么 证明?

等比数列前n项和的性质四:
如果?an ?为公比为 q的等比数列 ,对?m、p ? N ? 有:

Sm? p ? Sm ? q S p
m

6、已知等比数列 {a n }前n项和为S n,若a 2 a3 ? 2a1, 5 且a 4与2a7的等差中项为 ,求S 5。 4

S5 ? 31
S 3 ? 7,求S 5。

7、已知正项等比数列 {an }前n项和为S n,若a2 a4 ? 1 ,

31 S5 ? 4

8、已知数列 {an }的前n项和S n 满足:S n ? 4an ? 2, 求数列 {an }的通项公式。
2 4 n ?1 an ? ? ? ( ) 3 3


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