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第1讲 空间解析几何题型


第1讲

知量代数与空间解析几何例题及习题

常考题型及解法与技巧 题型一 向量的运算

, b ) ? 1 [2012 大纲](1)设 a ? 2, b ? 5,( a
互垂直;

2 ? ,则 ? ? 3

时,向量 m ? ? a ? 17b 与 n ? 3a ? b 相

(2)设 m ? 2a ? 3b , n ? 3a ? b , a ? 2, b ? 1, ( a, b) ? (3)设 (a ? b) ? c ? 2 ,则 [(a ? b) ? (b ? c)] ? (c ? a) ?

1 ? ,则 m ? n ? 3



2 [2012 常考题型]设 A ? 3a ? 2b ? c, a ? 1, b ? 2, c ? 3 , a 与 b 的夹角为 与 a 的夹角为

? ,则 A ? 2

? ? , b 与 c 的夹角为 , c 3 3

题型二 求平面、直线的方程 (一)平面方程 1、 [2012 大纲P96] 求过点 (1, 2,1) 且与直线 L1 : ? 方程.[答案: x ? y ? z ? 0 ] 2、 [北航P357]过点 (2, 5, ? 1) 且平行于直线 L1 : 平面方程.[答案: 11x ? 48 y ? 34 z ? 252 ? 0 ]

?x ? 2 y ? z ?1 ? 0 ?2 x ? y ? z ? 0 和 L2 : ? 平行的平面 x ? y ? z ? 1 ? 0 x ? y ? z ? 0 ? ?

x ?1 y ? 2 z ? 3 x ?1 y ? 3 z ? 2 ? ? ? ? 和 L2 : 的 10 3 1 2 4 5

3、[2012 大纲P96]

一个平面过两个平面 ?1 : x ? 5 y ? z ? 0 和 ?2 : x ? z ? 4 ? 0 的交线,且与平面

?3 : x ? 4 y ? 8z ? 12 ? 0 成 45 角,求此平面方程.[答案: x ? 20 y ? 7 z ? 12 ? 0 ]
4、 [北航P357]过平面 ?1 : 2 x ? 3 y ? z ? 1 ? 0 与平面 ?2 : x ? y ? z ? 0 的交线且与平面 ? 2 垂直的平面 方程.[答案: 8x ? 7 y ? z ? 3 ? 0 ]

5、[2012 精解P58] 设平面 ? 过原点和点 M (6, ?3, 2) ,且与平面 ?1 : 4 x ? y ? 2 z ? 8 垂直,求此平面 方程.[答案: 2 x ? 2 y ? 3z ? 0 ]

6、 [北航P357]过点 (1, 2,3) 且与直线

x ?1 y ?1 z ? 2 ? ? 垂直的平面方程.[答案:2 x ? y ? z ? 1 ? 0 ] 2 1 ?1

7、[2010P117] 求过点 M (1, 2, ?1) 且与直线 x ? ?t ? 2, y ? 3t ? 4, z ? t ? 1垂直的平面方程 [答案: x ? 3 y ? z ? 4 ? 0 ]

1

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知量代数与空间解析几何例题及习题

8、求经过一点 P(?1,1, 2) 及直线 L :

x ? 2 y ?1 z ? 2 ? ? 的平面方程。[答案 4 x ? 6 y ? 3z ? 8 ? 0 ] 3 ?2 0

9、[第四届(2013)全国预赛] 求通过直线 L : ?

?2 x ? y ? 3 z ? 2 ? 0 的两两相互垂直的平面 ?1 和 ? 2 , ?5x ? 5 y ? 4 z ? 3 ? 0

使其中一个平面过点 (4, ?3,1) .[答案: x ? 2 y ? 5z ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? z ? 1 ? 0 ]

(二)直线方程 1、 [2012 大纲P96] 设直线 l 过点 A(1, 2,1) 且与直线 l1 : 交,求直线 l 的方程.[答案: 2 、 [ 北 航 P 355]

x ?1 y ? 2 z ?1 ? ? ] ?7 10 1

x ?1 y z ?1 x ? ? 垂直, 与直线 l2 : ? y ? z 相 3 2 1 2

求 过 点 A(?1, 2, ?3) 且 平 行 于 平 面 ? : 6 x ? 2 y ? 3z ? 1 ? 0 又 与 直 线

L:

x ?1 y ?1 z ? 3 x ?1 y ?1 z ? 3 ? ? ? ? 相交的直线方程.[答案: ] 3 2 ?5 2 ?3 6

3 、 [2012 精 解 P 59]

3 )垂 直 于 直 线 l : 求 过 点 M (? 1 , 2 , ,
x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? ] 1 ?2 1

x y z ? ? 且平行于平面 4 5 6

? : 7 x ? 8 y ? 9 z ? 10 ? 0 的直线方程.[答案:
练 习 : [ 北 航 P 354]

?, 求 过 点 P( 1 , 0

2 )与 平 面 ?: 3 x ? 4y ? z ? 6 ? 0 且 平行,又同直线

x ?3 y ? 2 z x ?1 y z ? 2 ? ? 垂直的直线方程.[答案: ? ? ] 1 4 1 ?2 ?1 ?2 x ?1 y z ? 2 ? ? 4、[2012 精解P59] 求经过点 P(2, ?3,1) 且与直线 L : 垂直相交的直线方程. 3 4 5 L:
[答案: ?

?3x ? 4 y ? 5z ? 1 ? 0 ] ?27 x ? 4 y ? 13z ? 53 ? 0
x ?1 y ?1 z ? ? 垂直相交的直线方程. 3 2 ?1

练习:[北航P354] 求过点 P(2,1,3) 且与直线 L : [答案:

x ? 2 y ?1 z ? 3 ? ? ] 2 ?1 4

5、[北航P356] 在平面 ? : x ? y ? z ? 1 ? 0 内求垂直于直线 L : ?

? y ? z ?1 ? 0 的直线方程. ?x ? 2z ? 0

[答案: ?

?x ? y ? z ?1 ? 0 ] ?2 x ? y ? z ? 1 ? 0

题型三 点、线、面的关系 1 [2012 大纲P97] (1)已知平面 x ? ky ? 2 z ? 9 与平面 2 x ? 3 y ? z ? 0 的夹角为

? ,求 k . 4

2

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知量代数与空间解析几何例题及习题

[答案: k ? ?

70 ] 2

(2)求点 P(1, 2,3) 到平面 ? : 2 x ? 3 y ? 4 z ? 1 ? 0 的距离.[答案: d ?

7 ] 29

(3)求直线 L : ?

?3x ? 2 y ? 3 ? 0 47 与平面 ? :10 x ? 2 y ? 11z ? 3 ? 0 的夹角.[ ? ? arcsin ] 15 133 ?3 y ? 2 z ? 3 ? 0 ?x ? y ? 3 93 的垂直距离.[答案: d ? ] 3 ?3x ? y ? 2 z ? 7 ? 0 ?2 y ? 3 z ? 3 ? 0 341 的距离.[答案: d ? ] 11 x ? y ? 0 ?


(4)求点 P(1,0, ?1) 到直线 L : ?

练习: [BHP358]求点 P(1, ?1,0) 到直线 L : ? 2、[2012 大纲P98] (1)直线 l1 : A.相互垂直 (2)设直线 L : ?

x y ?3 z x ?1 y ? 2 z ? 2 ? ? 与直线 l2 : ? ? 的关系是( 2 3 4 1 1 2
C.互相平行 D.异面直线

B.斜交

?x ? 3 y ? 2z ?1 ? 0 ,平面 ? : 4 x ? 2 y ? z ? 2 ? 0 ,则 ?2 x ? y ? 10 z ? 3 ? 0
B. L 在 ? 上 C. L 垂直于 ? D. L 与 ? 斜交

A. L 平行于 ?

x ?1 y z x y z?2 ? ? 与 L2 : ? ? 之间的距离.[答案: d ? 1 ] 0 1 1 2 ?1 0 x ? 3 y z ?1 x ?1 y ? 2 z ? ? ? ? 之间的最短距离. 练习: (1)[2010P119] 求异面直线 L1 : 与 L2 : 2 1 0 1 0 1
3、[北航P358] 求直线 L1 : [答案: d ?

7 6 ] 6

(2)[第二届全国数学竞赛(2010)预赛] 求直线 L1 : ?

?x ? y ? 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 ? ? 与直线 L2 : 的距 4 ?2 ?1 ?z ? 0

离.[答案: d ?

38 ] 2
x y?2 z ? ? 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程. 2 0 3

题型四 求曲面的方程 1、[2012 大纲P98] 求直线 L :

3

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知量代数与空间解析几何例题及习题

? x2 ? y 2 ? z 2 ? 4 2、[2012 大纲P99] 求以曲线 ? : ? 为准线,母线平行于 z 轴的柱面方程. ?x ? y ? z ? 1
3、[北航P359] 求准线是 ? : ?

? x 2 ? y 2 ? 25 ?z ? 0

,母线平行于向量 l ? (5,3, 2) 的柱面方程.

4、[北航P359] 柱面方程.

设柱面的准线方程为 ? : ?

? x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ? ,而母线的方向矢量为 ?0,0,1? ,求此 2 2 2 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 2

? x2 ? y 2 ? 2 5、[北航P359] 设曲线 ? : ? , (1)求绕 x 轴旋所形成的旋转面方程; (2)求绕 y 轴旋 ?z ? 0
转所形成的旋转面方程. 题型五 投影曲线 1、[2012 大纲P99] 设曲线 ? : ?

?2 x 2 ? 4 y ? z 2 ? 4 z ? ,求它在 xoy 坐标面上的投影方程. 2 2 ? ? x ? 8 y ? 3 z ? 12 z
在三个坐标面上的投影方程.

2、[BHP359] 求 ? : ?

? y2 ? z2 ? x ?x ? 2 y ? z ? 0

3、[2012 精解P60] 求直线 L :

x ?1 y z ?1 ? ? 在平面 ? : x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 上的投影直线 l 的方程, 1 1 ?1

并求 l 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程.

4、[2012 大纲P97] 求直线 L : ?

?x ? y ? z ?1 ? 0 在平面 ? : x ? y ? z ? 0 上的投影直线的方程. ?x ? y ? z ?1 ? 0

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