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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 垂直关系课件 文 北师大版


8.5

垂直关系

-2-

考纲要求:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解 空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和 已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

-3-

1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条

直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条 直线和这个平面垂直.

-4-

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言 l⊥a l⊥b a?b = O ?l a?α b?α ⊥α

如果一条直线和一个平面内 判定 的两条相交直线都垂直,那 定理 么该直线与此平面垂直(线 线垂直?线面垂直)

性质 如果两条直线同垂直于一个 定理 平面,那么这两条直线平行

a⊥α ?a∥b b⊥α

-5-

2.直线与平面的夹角 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此 π 0 , 平面的夹角,角的范围是___________ . 2 3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面 角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平 面内分别作与棱垂直的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角 的平面角.

-6-

4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直.

-7-

(2)判定定理与性质定理
文字语言 如果一个平面经 过另一个平面的 一条垂线,那么这 两个平面互相垂 直 两个平面垂直,则 一个平面内垂直 于交线的直线与 另一个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α l?β ?α⊥β
α⊥β α?β = a l⊥a l?β

判定 定理

性质 定理

?l⊥α

-81 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“× ”. (1)已知直线a,b,c;若a⊥b,b⊥c,则a∥c. ( × ) (2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α. ( × ) (3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α. ( √ ) (4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一 个平面. ( × ) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β. ( × )

-91 2 3 4 5

2. 如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列 直线中与B1O垂直的是 ( ) A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1

关闭

由题易知,A1C1⊥平面BB1D1D,又OB1?平面DD1B1B,∴A1C1⊥B1O.
关闭

D 解析 答案

-101 2 3 4 5

3.(教材习题改编P69练习)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边 BC的中线折起得到空间四面体A-BCD(如图2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是 ( )

关闭

在题图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则

A.相交且垂直 B.相交但不垂直 AD ⊥ BC,翻折后如题图2, AD 与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线 C. 异面且垂直 D. 异面但不垂直
段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,
C AD⊥BC. 所以 解析

关闭

答案

-111 2 3 4 5

4.P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影. (1)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC 的 心; (2)若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的 心; (3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是△ABC的 心. 关闭
(1)P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,可知O到△ABC三边距

离相等,即O是△ABC的内心;(2)由PO⊥平面ABC且BC?平面ABC,得
PO⊥BC,又PA⊥BC,PO与PA是平面POA内两条相交直线,所以BC⊥平面 POA,从而BC⊥AO.同理AC⊥BO,所以O是△ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC与

底面所成的角相等,易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,从而
关闭

OA=OB=OC (1)内 (2)垂 ,所以 (3)外O是△ABC的外心.
解析 答案

-121 2 3 4 5

5.如图,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一 点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③ AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是

.

关闭

①因为AE?平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正确;②因为
AE⊥PC,AE⊥BC,PB?平面PBC,所以AE⊥PB,又AF⊥PB,EF?平面AEF,所 以EF⊥PB,故②正确;③因为AF⊥PB,若AF⊥BC,则AF⊥平面PBC,则
①②④ AF ∥AE,与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.
解析 答案
关闭

-131 2 3 4 5

自测点评 1.在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异 面、相交等. 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果 一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”. 3.判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况.

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1直线与平面垂直的判定与性质 例1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中 点,D是B1C1的中点.证明:A1D⊥平面A1BC .

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

证明:(1)设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 故AE⊥平面A1BC. 由D,E分别为B1C1,BC的中点, 得DE∥B1B且DE=B1B, 从而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:证明线面垂直的常用方法有哪些? 解题心得:1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二 是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一 条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面). 2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明 线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的 高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的 圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度, 经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中 点,F为棱BC的中点.

(1)求证:直线AE⊥直线DA1; (2)在线段AA1上求一点G,使得直线AE⊥平面DFG.

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(1)证明:连接AD1,BC1. 由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB, 又AB∩AD1=A, ∴DA1⊥平面ABC1D1. ∵AE?平面ABC1D1, ∴DA1⊥AE. (2)解:所求G点即为A1点,证明如下: 由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H, 连接AH,EH,由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可得DF⊥平面AHE. ∵AE?平面AHE,∴DF⊥AE. 又DF∩A1D=D,∴AE⊥平面DFA1, 即AE⊥平面DFG.

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2平面与平面垂直的判定与性质 例2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F 分别是BC,CC1的中点.证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;

证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AE⊥BB1. 又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AE⊥BC.因此,AE⊥平面 B1BCC1.而AE?平面AEF,所以,平面AEF⊥平面B1BCC1.

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:证明面面垂直的常用方法有哪些? 解题心得:1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形. 2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可 转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直. 3.平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l?α,l⊥β,缺一不可.

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交 点,BE⊥平面ABCD.

(1)证明:平面AEC⊥平面BED; (2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为 锥的侧面积.

√6

3

,求该三棱

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(1)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD, 所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED. 又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. (2)解:设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得
√3 AG=GC= x,GB=GD= . 2 2

因为AE⊥EC,

所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= x. 由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得
√2 BE= x. 2

√3 2

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

由已知得 ,三棱锥 E-ACD 的体积 VE-ACD= × AC· GD· BE= x3= . 故 x=2. 从而可得 AE=EC=ED=√6. 所以 △EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为√5. 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2√5.
3 2 1 1 √6 24 √6 3

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3平行与垂直的综合问题(多维探究) 类型一 探索性问题中的平行与垂直关系 例3在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.

(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1. (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M, 使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解:(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线, 所以AA1⊥平面ABC. 因为直线BC?平面ABC,所以AA1⊥BC. 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线, 所以BC⊥平面ACC1A1.

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交 点. 由已知,O为AC1的中点. 连接MD,OE,则MD,OE 分别为△ABC,△ACC1的中位线. 1 1 所以,MD 2 AC,OE AC, 2 因此MD OE. 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形, 则DE∥MO. 因为直线DE?平面A1MC,MO?平面A1MC, 所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型二 折叠问题中的平行与垂直关系 例4如图①,在等腰梯形CDEF中, DE=CD=√2,EF=2+ √2 ,将它沿 着两条高AD,CB折叠成如图②所示的四棱锥E-ABCD(E,F重合).

图①

图②

(1)求证:BE⊥DE; (2)设点M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥ 平面DAE.

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(1)证明:∵AD⊥EF, ∴AD⊥AE,AD⊥AB. ∵AB∩AE=A, ∴AD⊥平面ABE, ∴AD⊥BE. 由题图①和题中所给条件知,AE=BE=1,AB=CD= √2, ∴AE2+BE2=AB2,即AE⊥BE. 又∵AE∩AD=A, ∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE.

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)解:取EC的中点G,BE的中点P, 连接PM,PG,MG. 则MP∥AE,GP∥CB∥DA, ∴MP∥平面DAE,GP∥平面DAE. ∵MP∩GP=P, ∴平面MPG∥平面DAE. ∵MG?平面MPG,∴MG∥平面DAE,即存在点N与G重合满足条件.

-30考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解题心得:平行与垂直的综合应用问题的处理策略: (1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索 点的存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相 似知识找点. (2)折叠问题中的平行与垂直关系处理的关键是结合图形弄清折 叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系.

-31考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 (1)已知三棱柱ABC-A'B'C'中,平面BCC'B'⊥底面 ABC,BB'⊥AC,底面ABC是边长为2的等边三角形,AA'=3,E,F分别在 棱AA',CC'上,且AE=C'F=2.

①求证:BB'⊥底面ABC; ②在棱A'B'上找一点M,使得C'M∥平面BEF,并给出证明.

-32考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(1)证明:①如图,取BC中点O,连接AO,因为三角形ABC是等边三角 形,所以AO⊥BC. 又平面BCC'B'⊥底面ABC,AO?平面ABC, 平面BCC'B'∩平面ABC=BC,所以AO⊥平面BCC'B'. 又BB'?平面BCC'B',所以AO⊥BB'. 又BB'⊥AC,AO∩AC=A,AO?平面ABC, AC?平面ABC,所以BB'⊥底面ABC. ②如图,显然M不是A',B',棱A'B'上若存在一点M, 使得C'M∥平面BEF,过M作MN∥AA'交BE于N, 连接FN,MC',所以MN∥C'F,即C'M和FN共面,所以C'M∥FN, 所以四边形C'MNF为平行四边形,所以MN=2, 所以MN是梯形A'B'BE的中位线,M为A'B'的中点.

-33考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点 E(不同于点D),延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥 A1-BCD,如图②所示.

①若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF. ②求证:BD⊥A1F. ③若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?
并说明理由.

-34考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)①证明:因为D,M分别为AC,FC的中点, 所以DM∥EF, 又EF?平面A1EF,DM ?平面A1EF, 所以DM∥平面A1EF. ②证明:因为A1E⊥BD,EF⊥BD,且A1E∩EF=E,所以BD⊥平面 A1EF. 又A1F?平面A1EF,所以BD⊥A1F.

-35考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

因为平面A1BD⊥平面BCD,平面A1BD∩平面 BCD=BD,EF⊥BD,EF?平面BCD, 所以EF⊥平面A1BD. 因为A1B?平面A1BD,所以A1B⊥EF, 又因为EF∥DM,所以A1B⊥DM. 假设A1B⊥CD,因为CD∩DM=D, 所以A1B⊥平面BCD,所以A1B⊥BD, 这与∠A1BD为锐角矛盾, 所以直线A1B与直线CD不能垂直.

③解:直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下:

-36考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.转化思想:垂直关系的转化

2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线, 若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂 直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为 线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“面 面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.

-37考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直 的定义、判定定理和性质定理的交替使用,即注意线线垂直和线面 垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一 个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面 中,作交线的垂线即可.

-38-

“立体几何”类题目的审题要点与解题步骤 在高考数学试题中,问题的条件以图形的形式或将条件隐含在图 形之中给出的题目较多,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形 所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征, 利用图形所提供信息来解决问题. 典例(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别 是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证:

(1)直线BC1∥平面EFPQ; (2)直线AC1⊥平面PQMN.

-39-

审题要点 :解题流程 :第(1)问 正方体 ABCD-A1B1C1D 1 BC1∥ FP 第 (2)问 正方体的几何特征 面 ACC1 BD BD⊥AC1 AC⊥BD,CC1⊥平面 ABCD A1B1,A 1D1 的中点 M,N AC1⊥平面 PQMN BD⊥平 证 MN∥ 结论 AD1∥BC1 FP∥AD 1

MN⊥AC1,PN⊥AC1

-40-

解题步骤: 第一步:由图形特征(正方体、中位线)推证AD1∥BC1,FP∥AD1,从 而证FP∥BC1,可得结论. 第二步:利用图形特征AC⊥BD及CC1⊥平面ABCD推证BD⊥平 面ACC1,从而得AC1⊥BD. 第三步:利用平行性证明MN⊥AC1,PN⊥AC1,可证AC1⊥平面 PQMN.

-41-

证明:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为 F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ,且BC1 ?平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ. (2)如图,连接AC,BD, 则AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1=C, 所以BD⊥平面ACC1. 而AC1?平面ACC1,所以BD⊥AC1. 连接B1D1,因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点, 所以MN∥B1D1,故MN∥BD, 从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1. 又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.

-42-


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