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排列、组合中常见的解题思路与方法


解决与排列、组合有关的问题,首先,必须认真审题,明确这个问题是排列问题,还是 组合问题?其次,抓住问题的本质特征,灵活运用基本计数原理和排列数、组合数公式进行 分析、解答.实践证明,备考的有效方法是题型和解法归类,识别模式,熟练运用.下面例谈 排列、组合问题中常见的解题思路和方法. 一、分组(堆)问题 分组 (堆) 问题的 6 个模型: ①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;

④有序不等分; ⑤有序等分;⑥有序局部等分. 处理问题的原则: (1)若干个不同的元素“等分”为 n 堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 n!; (2)若干个不同的元素局部“等分”有 k 个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘 积除以 k!; (3)非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积; (4)要明确堆的顺序时,必须先分堆后,再把堆数当作元素个数进行全排列. 例 1 有 4 项不同的工程,要分包给 3 个工程队,要求每个工程队至少分到一项工程,共 有多少种不同的分包方式? 解:要完成分包这件事,可以分为两个步骤: ①先将 4 项工程分为 3“堆” ,有 C24C12C11A22=6 种分法; ②再将分好的 3“堆”依次分给 3 个工程队,有 3!=6 种分法.所以,共有 6×6=36 种不 同的分包方式. 二、不相邻元素“插空法” 解决一些不相邻问题时,可以先排“一般”元素,然后插入“特殊”元素,使问题得以 解决. 例 2 7 人排成一排,甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 解:分两步进行: ①把除甲乙以外的其他 5 人排列,有 A55=120 种排法; ②将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空) ,有 A26=30 种插入法. 所以,共有 120×30=3600 种排法. 注意:几个元素不能相邻时,先排一般元素,再让特殊元素插空. 三、相邻元素“捆绑法” 相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的排法,即将相邻的元素局部排列当成“一 个”元素,然后再进行整体排列. 例 3 6 人排成一排,甲、乙两人必须相邻,有多少种不同的排法? 解:可分两步进行: ①把甲乙排列(捆绑) ,有 A22=2 种捆法; ②把甲乙两人的捆看作一个人与其他的 4 人排队,有 A55=120 种排法. 所以,共有 2×120=240 种排法. 注意:几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素,再与其它的进行排列. 四、消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的顺序,或者先让其 它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例 4 5 个人站成一排,甲总是站在乙的右侧有多少种站法? 解法 1:将 5 个人依次站成一排,有 A55 种站法,然后再消去甲乙之间的顺序数 A22,所 以甲总站在乙的右侧站法总数为 A55A22=A35=60. 解法 2:先让甲乙之外的 3 人从 5 个位置选出 3 个站好,有 A35 种站法,留下的两个位 置自然给甲乙,有 1 种站法.所以,甲总站在乙右侧的站法总数为 A35×1=A35. 五、隔板法 n 个相同小球放入 m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n 个相同的小球穿成一串,从间隙里选 m-1 个结点剪截成 m 段. 例 5 某校准备参加今年高中数学联赛, 把 16 名选手名额分配到高三年级的 1~4 个教学 班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有    种. 解: 问题等价于把 16 个相同的小球放入 4 个盒子里, 每个盒子里至少有一个小球的

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