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2015年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型教案 新人教版必修1


3.2.1 几类不同增长的函数模型(教学设计)
教 学目标: 知识与技能:结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性. 过程与方法:能够借助信息技术,利用函数图象及数据表格,对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性;收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等) ,

了解函 数模型的广泛应用. 情感、态度、价值观:体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数等函数与现 实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 教学重点: 重点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题. 一、新课导入 : 材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859 年,有 人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子 们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧 草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔 子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气. 二、师生互动,新课讲解: 例 1(课本 P95 例 1) ,假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方 案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 探究: 1)在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述 这些数量关系? 2)分析解答(略) (见 P95--97) 3)根据例 1 表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识? 例 2: (课本 P97 例 2)某公司为了实现 1000 万元 利润的目标,准备制定一个激 励销售部门的奖励方案:在销售利 润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金

y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增加但奖金

不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型:

y ? 0.25x

y ? log7 x ? 1

y ? 1.002x .问:其中哪个模型能符合公司的要求?

探究: 1)本例涉及了哪几类函数模型? 2)本例的实质是什么? 3)你能根据问题中的数据,判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗? 解答: (课本 P97—98) 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析: 你 能 否 仿 照 前 面 例 题 使 用 的 方 法 , 探 索 研 究 幂 函 数 y ? x (n ? 0) 、 指 数 函 数 y ? a (a ? 1) 、 对 数 函 数
n x

y ? loga x(a ? 1) 在区间 (0,??) 上的增长差异,并进行交流、讨论、概括总结。
1

课堂练习: (课本 P98 练习 NO:1;2) 例 3.某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租 金,如果每 间客房每日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间.若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租 金总收入最高? 探索: 1) 本例涉及到哪些数量关系? 2) 应用如何选取变量,其取值范围又如何? 3) 应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解? [略解:] 设客房日租金每间提高 x 个 2 元,则每天客房出租数为 300-10 x , 由 x >0,且 300-10 x >0 得:0< x <30 设客房租金总收入元,则有:老派

y ? (20 ? 2 x)(300 ? 10x)

? ?20( x ? 10) 2 ? 8000 (0< x <30)
由二次函数性质可知当 x =10 时, y
max

=8000.

所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客户租金总收入最高,为每天 8000 元. 三、课堂小结,巩固反思 三种函数模型的性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 性质 在(0, +∞)上的增减 增函数 增函数 增函数 性 随 x 的增大逐渐变 随 x 的增大逐渐趋于稳 图象的变化 随 n 值而不同 “陡” 定 四、布置作业: A 组: 1、 一公顷地等于一百五十亩,某外资企业在 A 开发区租借 x 公顷,则合多少亩地?

解答:设 x 公顷合 y 亩地,则有函数关系 y=150x(x>0) 评注:这是一个常规的换算问题,而在我们所学的内容中恰好是一个函数问题,由此可以理解很多换算问题都是 一种常规的函数关系。 2、某国际快递公司从上海到纽约的一次快递业务报价为:

物资 不超出 10 公斤 超出 10 公斤,不超出 20 公斤 超出 20 公斤,不超出 40 公斤 40 公斤以上 (1) 写出快递价格 y 与快递物资 x 的函数关系式;

快递价格(人民币) 200(元) 350(元) 500(元) 每增加一公斤加费 10 元

(2) 某人需要快递 50 公斤物资, 他用一次快递便宜还是分两次快递(一次 20 公斤,一次 30 公斤)便宜?
2

解:(1) y=f(x)=

200 350 500

0<x≤10 10<x≤20 20<x≤40

y 的单位元 x 的单位:公斤

500+10(x-40) 40<x (2 ) 一次快递的费用为:y1=500+40(50-40)=600(元) 二次快递的费用为:y2=350+500=850(元) 答:一次快递费用便宜。 评注:这是一个分段函数的典型实例,在建立数学模型的基础上可以用来怎样合理使用运输方法。 3、将 20 米长的一段篱笆沿墙围成三个大小相同的矩形猪窝(如图) ,用怎样围法面积最大?

x

解:设猪舍的一边长为 x,则另一边为 ∴ 面积为 S ? 3 ?

20 ? 4 x 3
(0<x<5)

20 ? 4 x 5 ? x ? ?4 x 2 ? 20 x ? ?4( x ? ) 2 ? 25 3 2
2

∴ 当 x=2.5 米时,面积 Smax=25(米 ) 答:当一间猪舍的一边长为 2.5 米,另一边为

10 米时,面积最大。 3

评注:二次函数的最值是一个重要问题,而在求最值之前有一个二次函数的模型建立问题,在模型建立中,一定 要对各种因素思考完整。

4、已知函数图象(如图)中 A(0, 4)、B(-2, 0)、C(1, 1)、D(2, 0)(均为线段) (1) 写出函数在[-2, 3]上的表达式; (2) 写出函数的增区间;
3

(3) 出函数的最大或最小值。

解:(1) y ? ?

?2? x ? 0 ?2 x ? 4    0? x?3 ?1? | x ? 1|   

A C B D E

(2) 函数分别在[-2, 0),[0, 1]上为增函数。 (3) 函数当 x=3 时取最小值-1,无最大值。

评注:这是一个图形与函数关系的问题,在这里要注意[-2, 1]不是它的单调区间,并注意 4 不是它的最大值, 而只是一个上限。

5、商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,茶杯每个定价 5 元,该店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠送 一个茶杯;(2)按总价的 92%付款.顾客只能任选其一.某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干个(不少于 4 个),若购买茶杯 数为 x 个,付款数为 y(元),试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并讨论两种办法哪一种更省钱. 解 由优惠办法(1)可得函数关系式为 y1=20×4+(x-4)×5=5x+60 (x≥4); 由优惠办法(2)得: y2=4×20×0.92+x×5×0.92=4.6x+73.6 (x≥4) 当购买 34 只茶杯时,两办法付款相同; 当 4≤x<34 时,y1<y2,优惠办法(1)省钱; 当 x>34 时,y1>y2,优惠办法(2)省钱.

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