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2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛答案


参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. [4 ? 2 5 ,8]

2. 1 ? ln(1 ? x)
a2 a3 a ? 1,c = ? 6. b = 3 27 3

3. ?

1 3

4. 5 8. 6 7

5. 1 + 3

7. 12 6

二、解答题(共 86 分)

9. 由 a n + 2 =

2 + a n ?1 1 ? a n ?1 和 an ? 1 = , 1 + a n ?1 1 + a n ?1

(10 分) (20 分)

an + 2 a n ?1 + 2 (?2) n + 2 n 得 = L = (?2) ,于是 a n = 。 = (?2) an ? 1 a n ?1 ? 1 (?2) n ? 1

?n 2 + n + 24 ≡ 0 mod 2 ?n 2 + n ≡ 0 mod 3 ? 2 ? ?n + n + 24 ≡ 0 mod 3 10. 2010 n 2 + n + 24 ? ? 2 ? ?n 2 + n ≡ 1 mod 5 ?n + n + 24 ≡ 0 mod 5 ?n 2 + n ≡ 43 mod 67 ? ?n 2 + n + 24 ≡ 0 mod 67 ? n 2 + n ≡ 0 mod 3 ? n ≡ 0或2 mod 3

(10 分)

n 2 + n ≡ 1 mod 5 ? n ≡ 2 mod 5 2 n + n ≡ 43 mod 67 ? n ≡ 10或56 mod 67 所求最小正整数 n = 77

(22 分) (10 分)

11.由题设可证 A, B, C , D, E , F 六点共圆。 ?S ΔABC = 1 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) 2 不妨设圆半径 1,则有 ? 。由于 1 ?S ΔDEF = 2 (sin A + sin B + sin C ) sin 2 A + sin 2 B + sin 2C
= 1 (sin 2 A + sin 2 B ) + 1 (sin 2 B + sin 2C ) + 1 (sin 2C + sin 2 A) 2 2 2 = sin( A + B) cos( A ? B) + sin( B + C ) cos( B ? C ) + sin(C + A) cos(C ? A) < sin( A + B) + sin( B + C ) + sin(C + A) = sin A + sin B + sin C 所以 S ΔABC < S ΔDEF 。

(22 分)

12.把所有使得甲没有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为 n1 , n 2 , L 。容易发 现其前 4 项分别为 2,3,5,8。下面我们用数学归纳法证明: (1) {ni } 满足 ni +1 = ni + ni ?1 ;
(2)当 n = ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ≤ ni ?1 ; (3)当 ni < n < ni +1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目

≤ ni 。

设 k = n ? ni , i ≥ 4 。注意到 ni ? 2 < ni / 2 < ni ?1 。 当 1 ≤ k < ni / 2 时,甲第一次时取 k 根火柴,剩余 ni > 2k 根火柴,乙无法获胜。 当 ni / 2 ≤ k < ni ?1 时, ni ? 2 < k < ni ?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并 且甲此时所取的火柴数目 ≤ ni ? 2 。剩余 ni > 2ni ? 2 根火柴,乙无法获胜。 当 k = ni ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴。若 m ≥ k ,则乙可取走所有剩下的火 柴。若 m < k ,则根据归纳假设,乙总可以取到第 k 根火柴,并且乙此时所取的 火柴数目 ≤ ni ? 2 。剩余 ni > 2ni ? 2 根火柴,甲无法获胜。 综上可知, ni +1 = ni + ni ?1 。 因为 100 不在数列 {ni } 中,所以当 n = 100 时甲有获胜策略。

(22 分)


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