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【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 4-3 平面向量的数量积题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版


第3讲

平面向量的数量积

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 湛江二模)向量 a=(1,2),b=(0,2),则 a· b= A.2 C.4 B.(0,4) D.(1,4) ( ).

解析 a· b=(1,2)· (0,2)=1×0+2×2=4. 答案 C → → 2.(2014·

绍兴质检)在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD=120° ,则AC在AB方向上的投影为 ( 1 A. 4 C.1 1 B. 2 D.2 ).

→ → → 1 解析 如图所示,AC在AB方向上的投影为 |AC|cos 60° =2× =1. 2

答案 C 3.(2013· 山东省实验中学诊断)已知向量 a=( 3,1),b =(0,1),c=(k, 3).若 a+2b 与 c 垂直,则 k= A.-3 C.-1 B.-2 D .1 ( ).

解析 由题意知(a+2b)· c=0,即 a· c+2b· c=0. 所以 3k+ 3+2 3=0,解得 k=-3. 答案 A 4.(2014· 浙江五校联盟)若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,且(2a+b)· b=0, 则向量 a,b 的 夹角为 ( ).

1

2π A. 3 π C. 3

π B. 6 5π D. 6

解析 由(2a+b)· b=0,得 2a· b+|b|2=0. 1 ∴2|b|2· cos<a,b>+|b|2=0,∴cos<a,b>=- , 2 2π 又<a,b>∈[0,π],∴<a,b> = . 3 答案 A → → 5.(2013· 福建卷)在四边形 ABC D 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为 ( A. 5 B.2 5 C.5 D.10 → → 解析 ∵AC· BD=1×(-4)+2×2=0, → → ∴AC⊥BD, → → |AC|· |BD| 5· 20 ∴S 四边形= = =5. 2 2 答案 C 二、填空题 6.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b.若 b· c=0, 则 t=________. 解析 b· c=b· [ta+(1-t)b]=ta· b+(1-t)b2 =t|a||b|cos 60° +(1-t)|b|2 t t = +1-t=1- . 2 2 t 由 b· c=0,得 1- =0,所以 t=2. 2 答案 2 → → → → 7.(2014· 南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知OA=(3,-1),OB=(0,2).若OC· AB= → → 0,AC=λOB,则实数 λ 的值为________. → → → → → → 解析 设 C(x, y), 则OC=(x, y), 又AB=OB-OA=(0,2)-(3, -1)=(-3,3), 所以OC· AB → ? ?x-3=0, =-3x+3y=0,解得 x=y.又AC=(x-3,y+1)=λ(0,2),得? 结合 x=y,解 ?y+1=2λ, ?
2

).

得 λ=2. 答案 2 → → 8. (2014· 潍坊二模)如图,在△ABC 中,O 为 BC 中点,若 AB=1,AC=3,<AB,AC>=60° , → 则|OA|=________.

解析

→ → → → → → → 1 1 3 因为 < AB, AC > = 60° ,所以 AB · AC = | AB|· | AC |cos 60° = 1×3× = ,又AO = 2 2 2 → → → → → → → →

1 13 2 2 ? → → ?,所以AO2=1(AB+AC)2=1(AB2+2AB· AC + AC ) ,即 AO = (1 + 3 + 9) = , ?AB+AC? 4 4 4 4 → 13 所以|OA|= . 2 答案 三、解答题 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解 (1)若 a⊥b, 13 2

则 a· b=1×(2x+3)+x(-x)=0. 整理得 x2-2x-3=0,故 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0), ∴|a-b|= ?-2?2+02=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4), ∴|a-b|=2 5. 综上,可知|a-b|=2 或 2 5. 10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|;

3

→ → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积. 解 (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61,

∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a· b-27=61, -6 a· b 1 ∴a· b=-6.∴cos θ= = =- . |a||b| 4×3 2 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= . 3 (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13. → → 2π 2π π (3)∵AB 与BC的夹角 θ= ,∴∠ABC=π- = . 3 3 3 → → 又|AB|=| a|=4,|BC|=|b|=3, 1→ → 1 3 ∴S△ABC= |AB||BC|sin∠ABC= ×4×3× =3 3. 2 2 2 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2013· 青岛一模)若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a 的夹角 为 π A. 6 2π C. 3 解析 π B. 3 5π D. 6 由|a+b|=|a-b|,得 a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2,即 a· b=0,所以(a+b)· a=a2 ( ).

+a· b=|a| 2. 故向量 a+b 与 a 的夹角 θ 的余弦值为 ?a+b?· a |a|2 1 π cos θ= = = .所以 θ= . 3 |a+b||a| 2|a||a| 2 答案 B → → → → 2.(2014· 昆明调研)在△ABC 中,设AC2-AB2=2AM· BC,那么动点 M 的轨迹必通过△ABC 的( ). B.内心

A.垂心

4

C.外心

D.重心

→ → → → → → → → → → 解析 假设 BC 的中点是 O.则AC2-AB2=(AC+ AB)· (AC-AB)=2AO· BC=2AM· BC,即 → → → → → → → (AO-AM)· BC=MO· BC=0,所以MO⊥BC,所以动点 M 在线段 BC 的中垂线上,所以 动点 M 的轨迹必通过△ABC 的外心,选 C. 答案 C 二、填空题 π 3.(2013· 浙江卷)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹角为 , 6 |x| 则 的最大值等于________. |b| 解析 因为 e1· e2 = cos 1 π 3 x2 = ,所以 b2 = x2 + y2 + 2xye1· e2 = x2 + y2 + 3 xy. 所以 2 = 6 2 b

x2 = x2+y2+ 3xy

y 1 1 3 ,设 t = ,则 1 + t2 + 3 t = ?t+ ? 2 + ≥ ,所以 0 < x 2 ? ? 4 4 y?2 3y 1+? + ?x? x

1 x2 |x| ≤4,即 2的最大值为 4,所以 的最大值为 2. b | b| 1+t + 3t
2

答案 2 三、解答题 4.设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+ te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 解
2 由已知得 e2 e2=2×1×cos 60° =1. 1=4,e2=1,e1·

2 2 ∴(2te1+7e2)· (e1+te2)=2te2 e2+7te2 1+(2t +7)e1· 2=2t +15t+7.

1 欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0,得-7<t<- . 2 设 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ< 0),
?2t=λ, ? ∴? ∴2t2=7. ? ?7=tλ,

∴t=- 即 t=-

14 ,此时 λ=- 14. 2 14 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π. 2

∴当两向量夹角为钝角时,t 的取值范围是

?-7,- 14?∪?- 14,-1?. 2 ? ? 2 2? ?

5


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