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丰县中学高三第二次阶段考试(文科)


丰县中学高三第二次阶段考试数学试卷(文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1.已知集合

A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | ?1 ? x ? 1? ,则 A ? B ? ________.
x 2 ? x ,则该命题的否定是________.

2.命题 p : ?

x ? N , 3.函数 4.函数

f ( x) ? log2 ( x2 ? 1) 的定义域是________.

f ( x ? 1) ? x2 ? 1 ,则 f ( x ) ? ________.

5.已知函数 f ( x) ? x 2 ?1 的值域为

?0,1? ,这样的函数有________个.

6.若

f ( x ) ? ln( x ? 1) ?

2 的零点在区间 (k ? 1, k )( k ? z ) ,则 k 的值为________. x

7.

y ? log 1 (? x 2 ? 2 x ? 3) 的单调递增区间________.
2

8.曲线 C :

y ? x ln x 在点 M (e, e) 处的切线方程________.
o

15 3 9.在△ ABC 中,已知 AB ? 3 , A ? 120 ,且 ?ABC 的面积为 4
10.已知函数

,则 BC 边长为



f ? x ?=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________.

11. 已 知 函 数 是 .

f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在 (??, ??) 上 是 单 调 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

???? ??? ? 12.在平面四边形 ABCD 中,已知 AB ? 3 , DC ? 2 ,点 E , F 分别在边 AD , BC 上,且 AD ? 3 AE ,
??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? 3BF .若向量 AB 与 DC 的夹角为 60? ,则 AB ? EF 的值为



? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? 13.已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? ? ax ? 1 恒成立,则 a 的取值范围 ln x ? 1 , x ? 0 ? ? ? ?
14.设点 p 是曲线 直线与曲线 y



y ? x 2 上的一个动点,曲线 y ? x 2 在点 p 处的切线为 l ,过点 p 且与直线 l 垂直的


? x 2 的另一个交点为 Q ,则 PQ 最小值为

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设a?R ,

?? ? ?? f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos2 ? ? x ? 满足 f ? ? ? ? f ? 0? , ? ?2 ? ? 3?
a2 ? c2 ? b2 c ? , 求 f ( x) 在 ?0, B ? 上的值 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

⑴ 求函数 f ( x) 的单调递增区间; ⑵ 设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且 域.

16. (本小题满分 14 分) 已知 p:-x2+8x+20≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0). (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围; (2)若“非 p”是“非 q”的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

2

17. (本小题满分 14 分)

设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2.

18. (本小题满分 16 分) 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图) ,设计要求:圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半 径相等,都为 r 米.市场上,圆柱侧面用料单价为每平方米 a 元,圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用 料单价和圆柱底面用料单价的 4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所成角为 ? (弧度) ,总费用为 y (元). (1)写出 ? 的取值范围; (2)将 y 表示成 ? 的函数关系式; (3)当 ? 为何值时,总费用 y 最小?

3

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {a n } 的相邻两项

an , a n ?1 是关于 x 的方程 x

2

? 2 n x ? bn ? 0(n ? N*) 的两根,且 a1 ? 1 .

1 n { a ? ? 2 } 是等比数列; n (1)求证:数列 3
(2)设 S n 是数列

{an } 的前 n 项和,问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N * 都成立,

若存在,求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点。 已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ?

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点.

f ( f ( x)) ? c ,其中 c ?[?2 , 2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.

4

丰县中学高三第二次阶段考试(文科)参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1. 2. 3. 4. 5. 6.2或0 7. ? ?1,1? 8. 2 x ? y ? e ? 0 9.7

10. (-∞,2ln 2-2] 二、解答题:

11. [? 3, 3]

12.7

13. [?4,0]

3 3 14. 2

15、解:⑴ f ( x) ? a sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 由 f (?

a sin 2 x ? cos 2 x. ????????2 分 2

3 a 1 ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 3 2 2 2 ? 因此 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). ????????5 分 6 ? ? ? ? ? 令 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 得 ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 6 2 6 3 ? ? ? ? 故函数 f ( x) 的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) ???7 分(k∈Z 不写扣 1 分) 3 ? 6 ? ) ? f (0)得 ?
⑵ 由余弦定理知:

?

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac cos B c cos B c ? ? ? 2 2 2 2 ab cos C b cos C 2 a ?c a ?b ?c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C , ????????10 分 又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin?B ? C ? ? sin A
∵sinA≠0∴ cos B ?

? 1 ,又∵B∈(0,π),所以 B ? ????????12 分 3 2 ? ? ? ?? ? ?? 当 x ? ? 0, ? 时, 2 x ? ? ? ? , ? , f ?x ? ? ?? 1,2? 6 ? 6 2? ? 3? 故 f ( x) 在 ?0, B ?上的值域为 ?? 1,2? ????????14 分

16. 【解】 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m. (1)∵p 是 q 的充分不必要条件,∴[-2,10]是[1-m,1+m]的真子集. ∴实数 m 的取值范围是 m≥9. (2)∵“非 p”是“非 q”的充分不必要条件,∴q 是 p 的充分不必要条件. m>0, ? ? ∴?1-m≥-2, ? ?1+m≤10.

∴0<m≤3.∴实数 m 的取值范围是 0<m≤3.

17.

b (1)f′(x)=1+2ax+x.

?f(1)=0, ?1+a=0, 由已知条件得,? 即? 解得 a=-1,b=3. ?f′(1)=2, ?1+2a+b=2.
5

(2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知 f(x)=x-x2+3ln x. 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x, (x-1)(2x+3) 3 则 g′(x)=-1-2x+x=- . x 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 所以,g(x)在(0,1)内单调增加,在(1,+∞)内单调减少. 因此,函数 g(x)在 x=1 处取得最大值,且 g(1)=0. 故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2.
18. 解:设圆锥的高为 h1 米,母线长为 l 米,圆柱的高为 h2 米;圆柱的侧面用料单价为每平方 米 2 a 元,圆锥的侧面用料单价为每平方米 4 a 元. (1) ? ? (0, ).

?

4

(2)圆锥的侧面用料费用为 4a? rl ,圆柱的侧面费用为 2a? rh2 ,圆柱的地面费用为 2a? r 2 , 则 y ? 4a? rl ? 2a? rh2 ? 2a? r 2

2r ? 2(r ? h1 ) ? r ] , cos? 2r 2 = 2a? r[ ? 2(r ? r tan ? ) ? r ] = 2a? r 2 [( ? tan ? ) ? 3] . cos? cos? 2 ? (3)设 f (? ) ? ? tan ? ,其中 ? ? (0, ). cos? 4 2sin? ? 1 ? 2sin ? ? 1 则 f ?(? ) ? ,当 ? ? 时, f ?(? ) ? ? 0; 2 cos ? 6 cos2 ? ? 2sin ? ? 1 ? ? 2sin ? ? 1 当 ? ? (0, ) 时, f ?(? ) ? ? 0; 当 ? ? ( , ) 时, f ?(? ) ? ? 0; 2 6 cos ? 6 4 cos2 ?
= 2a? r (2l ? h2 ? r ) = 2a? r[ 则当 ? ?

?
6

时, f (? ) 取得最小值,则当 ? ?

?
6

时,费用 y 最小.

19、解:(1) an , a n ?1 是关于 x 的方程

x 2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N*) 的两根,

?an ? an?1 ? 2 n ?? ? an an?1 ? bn


...................2 分

an ? an?1 ? 2 n ,得 an?1 ? 1 ? 2 n?1 ? ?(an ? 1 ? 2 n ) ,
3 3

1 ? ? 2 n } 是首项为 a1 ? 2 ? 1 ,公比为 ? 1 的等比数列....................6 分 3 3 3 1 n 1 n 1 n n ?1 (2)由(1)得 a n ? ? 2 ? ? ( ?1) , 即 a n ? [ 2 ? ( ?1) ] . 3 3 3
故数列 {a n
6

1 ? bn ? a n a n ?1 ? [2 n ? (?1) n ][ 2 n ?1 ? (?1) n ?1 ] ...................8 分 9
又? S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

1 ? {( 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? 2 n ) ? [( ?1) ? (?1) 2 ? ? ? ? ? (?1) n ]} 3 1 n ?1 (?1) n ? 1 ? [2 ? 2 ? ] ...................10 分 3 2 * 要使 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N 都成立有: ①当 n 为正奇数时,有:

bn ? ?S n ? 1 (2 n ? 1)( 2 n?1 ? 1) ? ? 1 (2 n?1 ? 1) ? 0 ,? 2 n?1 ? 1 ? 0 ,
9 3
所以有: 又因为 {

1 n (2 ? 1) ? ? 9 3

? 0 ,即 ?

1 ? ( 2 n ? 1) ,对任意正奇数 n 都成立. 3

1 n (2 ? 1)} 单调递增,所以当 n ? 1 时, 3

1 n (2 ? 1) 有最小值 1.? ? ? 1........................12 分 3
②当 n 为正偶数时,有:

bn ? ?S n ?
即:

1 n ?1 1 n (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 ? 2) ? 0 , 3 9

1 n ?1 1 n (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 ? 2) ? 0 3 9

即:

2 n 1 n n (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 ? 1) ? 0 ,又因为 2 3 9

?1 ? 0

所以有:

1 n ?1 1 n ?1 ( 2 ? 1) ? ? 2 ? 0 ,即 ? ? ( 2 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 6 9 3
1 n ?1 ? 1) 有最小值 3 .? ? ? 3 ..............14 分 所以当 n ? 2 时, ( 2 6 2 2

综上所述, ? 的取值范围是 (??,1) ........................16 分

1 { (2 n ?1 ? 1)} 单调递增, 6

7

20.

(3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x )=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x) 是奇函数,∴ f ( x )=2 的 两个不同的根为一和 2。 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x )=d 的根。

8

, 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 ③ 当 x ? ? ?1
又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。

9


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