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2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第三章 第3讲 一次函数、反比例函数及二次函数


第3讲

一次函数、反比例函数及二次函数

考纲要求 1.会运用函数图象理解和研 究函数的性质. 2.结合二次函数的图象,了 解函数的零点与方程根的联 系,判断一元二次方程根的 存在性及根的个数.

考纲研读 一次函数、反比例函数及二次函数 是最简单、最基础的函数,尤其二 次函数是代数的基础,函数与方程、 三角函数、导数

、数列、不等式等最 终都转化成二次函数或二次不等式解 决,因此在备考时要予以重视.

1.一次函数 y=kx+b,当 k>0 时,在实数集 R 上是增函数. 当 k<0 时,在实数集 R 上是减函数.

k 2.反比例函数y=—定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当k>0 x
时,在(-∞,0),(0,+∞)都是减函数,k<0 时,(-∞,0),(0, +∞)都是增函数.

3.二次函数的解析式有三种形式
(1)一般式:__________________________. f(x)=ax2+bx+c(a≠0) f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (h,k) (2)顶点式:___________________________,顶点_______. f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (3)两根式____________________________,x ,x 为二次函
1 2

数图象与 x 轴两个交点的横坐标. 4.二次函数的图象及其性质
? b ?2 4ac-b 2 f(x)=ax +bx+c=a?x+2a? + 4a ? ?
2

对于二次函数

.

2 ? b 4ac-b ? ? ? (1)当 a>0 时, f(x)的图象开口向上. 顶点坐标为?- , . 2a 4a ? ? ?

b 对称轴为 x=-2a.

? ? ? b? b f(x)在?-∞,-2a?上减少,f(x)在?-2a,+∞?上增加. ? ? ? ?

4ac-b2 b 当 x=-2a时,函数取得最小值 4a .
2 ? b 4ac-b ? ? (2)当 a<0 时, f(x)的图象开口向下. 顶点坐标为?- , . ? 2a 4a ? ? ?

b 对称轴为 x=-2a.
? ? ? b? b f(x)在?-∞,-2a?上增加,f(x)在?-2a,+∞?上减少. ? ? ? ?

4ac-b2 b 当 x=-2a时,函数取得最大值 4a .

1.若一次函数 y=kx+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则点(k,

b)在直角坐标平面的( C )
A.上半平面 C.左半平面

B.下半平面
D.右半平面

2.函数 f(x)=2x2-6x+1 在区间[-1,1]上的最小值是( C)

A.-9

B.-

7 2

C.-3

D.-1

3.已知:函数 f(x)=x2+4(1-a)x+1 在[1,+∞)上是增函数, 3 a≤ 则 a 的取值范围是_______. 2

4.将抛物线 y=2(x+1)2-3 向右平移 1 个单位,再向上平移

y=2x2-1 (0,-1) 2 个单位,所得抛物线为__________,其顶点坐标为________.
b 5.函数 y=ax 和 y=x在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2
单调递增 +bx+c 在(-∞,0)上的单调性为_________.

考点1

二次函数的值域

例1:根据函数单调性求下列函数的值域. (1)f(x)=x2+4x-1,x∈[-4,-3]; (2)f(x)=-2x2-x+4,x∈[-3,-1]; (3)f(x)=2x2-4x-1,x∈(-1,3); 1 (4)f(x)=-—x2-x-1,x∈[-4,0]. 2

解析:(1)f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5, 在区间[-4,-3]上单调递减,则 y∈[-4,-1]. (2)f(x)=-2x
2

? 1?2 33 -x+4=-2?x+4? + 8 , ? ?

f(x)在区间 x∈[-3,-1]上单调递增,则 y∈[-11,3]. (3)f(x)=2x2-4x-1=2(x-1)2-3, x∈(-1,3),当 x=1 时,f(x)取最小值-3, 又 f(-1)=f(3)=5, 则 y∈[-3,5).

1 2 1 1 2 (4)f(x)=-2x -x-1=-2(x+1) -2, 1 x∈[-4,0],当 x=-1 时,f(x)取最大值-2. 又 f(-4)=-5,f(0)=-1, 则
? 1? y∈?-5,-2?. ? ?

求二次函数在某个区间的最值,最容易出现的错
误就是直接代两头(将两端点代入),当然这样做,有时答案也对, 那是因为在该区间函数刚好单调,这纯属巧合.求二次函数在某 个区间的最值,应该配方,找到对称轴和顶点,结合图形求解.

【互动探究】 1.若函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值为3,最 小值为2,则m的取值范围是________. [1,2] 解析:y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其 最小值为2的抛物线,又∵f(0)=3, 结合图象易得,2≥m≥1,∴m的取值范围是[1,2].

考点2 含参数问题的讨论

a 1 例 2:已知函数 y=-sin x+asinx-4+2的最大值为 2,求 a
2

的值.

解析:令 t=sinx,则 t∈[-1,1].
? a?2 1 2 ∴y=-?t-2? +4(a -a+2),对称轴为 ? ?

a t=2,

a (1)当-1≤2≤1,即-2≤a≤2 时, 1 2 ymax=4(a -a+2)=2,解得 a=-2 或 a=3(舍去).

a (2)当2>1,即 a>2 时, ? a? 1 ?t- ?2+ (a2-a+2)在[-1,1]单调递增, 函数 y=- 2? 4 ? 1 3 10 由 ymax=-2+4a=2,解得 a= 3 . a (3)当2<-1,即 a<-2 时, ? a?2 1 2 函数 y=-?t-2? +4(a -a+2)在[-1,1]单调递减, ? ? 5 1 由 ymax=-4a-2=2,得 a=-2(舍去). 10 综上可得,a 的值为 a=-2 或 a= 3 .

“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间 动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型,应引起足够的

a 重视.本例中的二次函数是区间 t∈[-1,1]固定,对称轴 t=2在变 a 化, 因此要讨论对称轴相对于该区间的位置关系, 即分-1≤2≤1, a a 2>1 及2<-1 三种情况讨论.

【互动探究】

2.设非空集合 S={x|m≤x≤l}满足:当 x∈S 时,有 x2∈S. 1 1 给出如下三个命题:①若 m=1,则 S={1};②若 m=-2,则4 1 2 ≤l≤1;③若 l=2,则- 2 ≤m≤0.其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

解析:①若 m=1,则 S={x|1≤x≤l},l≥1, x2∈[1,l2]?[1,l],l2≤l,∴0≤l≤1.∴l=1.S={1};
? ? 1 ? ? ? 1 1 1 2 ?x?- ≤x≤l ?, ②若 m=-2,则 m =4,l≥4,S= ? ? 2 ? ? ?

x ∈[0,l

2

2

? 1 ? 1 ?- ,l?,l2≤l,∴0≤l≤1,∴ ≤l≤1; ]? 2 4 ? ?

? ? ? 2 1? ? ? 1 ? 1 2 ③若 l=2,则 S=?x?m≤x≤2 ?,若 m>0,则 x ∈?m ,4?, ? ? ? ? ? ? ?

1 2 2 ∵m <m, 显然不合题意; m≤0, 若 ∵m ≤2, ∴- 2 ≤m≤ 2 ,
2 2

2 2 有- 2 ≤m≤0.- 2 ≤m≤0.
答案:D

考点3 二次函数的综合应用

例 3 : 设 函 数 f(x) = ax2 + bx + 1(a , b 为 实 数 ) , F(x) =
?f?x? ? ? ?-f?x? ?

?x>0?, ?x<0?.

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求 F(x)的

表达式;
(2)在(1)的条件下,当 x∈[-3,3]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函 数,求实数 k 的取值范围; (3)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m) +F(n)>0.

解析:(1)∵f(-1)=0,∴b=a+1. 由 f(x)≥0 恒成立,知 Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1.∴b=2. 从而 f(x)=x2+2x+1.
??x+1?2 ? ∴F(x)=? ?-?x+1?2 ?

?x>0?, ?x<0?.

(2)由(1)可知 f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1. 由 g(x)在[-3,3]上是单调函数,知: 2-k 2-k - 2 ≤-3 或- 2 ≥3,解得 k≤-4 或 k≥8.

(3)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),得 b=0. 而 a>0,∴f(x)=ax2+1 在[0,+∞)上为增函数. 由
?f?x? ? F(x)=? ?-f?x? ?

?x>0?, 知: ?x<0?

当 x>0 时,-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x). 当 x<0 时,-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x). ∴F(x)是奇函数且 F(x)在(0,+∞)上为增函数. 由 m>0,n<0,m+n>0,知 m>-n>0, 则 F(m)>F(-n).∴F(m)>-F(n).即 F(m)+F(n)>0.

【互动探究】 3.已知函数 f(x)=-x2+kx 在[2,4]上是单调函数,则实数 k

k≤4 或 k≥8 的取值范围为_______________.
解析:函数 f(x)=-x2+kx 的图象是开口向下的抛物线,经过 k 坐标原点,对称轴是 x=2.∵已知函数在[2,4]上是单调函数,∴区 k k k 间[2,4]应在直线 x=2的左侧或右侧.即有2≤2 或2≥4,解得 k≤4 或 k≥8.

思想与方法 2.运用分类讨论的思想探讨二次函数的最值

例题:已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间

D,且区间 D 的长度为 12-t(视区间[a,b]的长度为 b-a).
解析:(1)∵f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8,

∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数.
函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有:
?f?1?≤0, ? ? ?f?-1?≥0, ? ?1-16+q+3≤0, ? 即? ?1+16+q+3≥0. ?

∴-20≤q≤12.

(2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是
增函数,且对称轴是 x=8. ①当0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,

∴f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,

15- 17 15± 17 解得 t= 2 ,∴t= . 2 ②当6<t≤8 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,
∴f(10)-f(8)=12-t.解得t=8.
③当8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t.即t2-17t+72=0. 解得 t=8,9,∴t=9. 综上可知,存在常数t=
15- 17 ,8,9 满足条件. 2

“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间 动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型,本例中的二次 函数是对称轴x=8 固定,而区间[t,10]不固定,因此需要讨论该区

间相对于对称轴的位置关系,即分0≤t≤6,6<t≤8 及8<t<10 三种
情况讨论.

1.二次函数的解析式有三种形式:一般式、顶点式和两根式. 根据已知条件灵活选用. 2.二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系,因此单 调性的判断通常用数形结合法来判断.

1.求二次函数在某个区间的最值,不能只代两端点,应结合 图形(顶点)求解. 2.与二次函数有关的不等式恒成立的问题要注意二次项系数 为零的特殊情形.


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