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【考前三个月】(江苏专用)2015高考数学 压轴大题突破练 三角函数


中档大题规范练 中档大题规范练——三角函数
?sin x-cos x?sin 2x 1.已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-2cos2x =sin 2x-(1+cos 2x) π? ? = 2sin 2x-4 -1,

?

?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为

?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z). 2 2? ?
π π π 由 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2,x≠kπ(k∈Z), π 3π 得 kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,x≠kπ(k∈Z). 所以 f(x)的单调递增区间为

?kπ-π,kπ?和?kπ,kπ+3π?(k∈Z). 8 8? ? ? ?
2.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b= 3,且函数 f(x)=2 3sin2x +2sin xcos x- 3在 x=A 处取得最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)因为 A,B,C 成等差数列, 所以 2B=A+C,又 A+B+C=π, π 2π 所以 B=3,即 A+C= 3 . 因为 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3 = 3(2sin2x-1)+sin 2x=sin 2x- 3cos 2x π? ? =2sin 2x-3 , ? ? 2π 所以 T= 2 =π.

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π? ? 又因为 sin 2x-3 ∈[-1,1], ? ? 所以 f(x)的值域为[-2,2]. (2)因为 f(x)在 x=A 处取得最大值, π? ? 所以 sin 2A-3 =1.

?

?

2 π π 因为 0<A<3π,所以-3<2A-3<π, π π 故当 2A-3=2时,f(x)取到最大值, 5 π 所以 A=12π,所以 C=4. 3 c 由正弦定理,知 π= π?c= 2. sin 3 sin 4 2+ 6 ?π π? 又因为 sin A=sin 4+6 = 4 , ? ? 3+ 3 1 所以 S△ABC=2bcsin A= 4 . 3.已知函数 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+a. (1)求函数 f(x)的最小正周期以及单调递增区间; π (2)当 x∈[0,4]时,函数 f(x)有最大值 4,求实数 a 的值. 解 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+a =cos 2x+ 3sin 2x+1+a π =2sin(2x+6)+a+1. 2π (1)函数 f(x)的最小正周期为 2 =π, π π π 由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2,k∈Z, π π 解得 kπ-3≤x≤kπ+6,k∈Z. π π 故函数 f(x)的单调递增区间为*kπ-3,kπ+6](k∈Z). π π π 2π (2)∵x∈[0,4],∴2x+6∈[6, 3 ], π 1 从而 sin(2x+6)∈[2,1]. π ∴f(x)=2sin(2x+6)+a+1∈[a+2,a+3], ∵f(x)有最大值 4,∴a+3=4,故 a=1. π 4.设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0,2].

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(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 由|a|=|b|,得 4sin2x=1. π 1 又 x∈[0,2],从而 sin x=2, π 所以 x=6. (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x 3 1 1 = 2 sin 2x-2cos 2x+2 π 1 =sin(2x-6)+2. π π π 当 x=3∈[0,2]时,sin(2x-6)取最大值 1, 3 所以 f(x)的最大值为2. π 5.已知函数 f(x)=4cos ωx·sin(ωx-6)+1(ω>0)的最小正周期是 π. (1)求 f(x)的单调递增区间; π 3π (2)求 f(x)在[8, 8 ]上的最大值和最小值. π 解 (1)f(x)=4cos ωx·sin(ωx-6)+1 =2 3sin ωxcos ωx-2cos2ωx+1 π = 3sin 2ωx-cos 2ωx=2sin(2ωx-6). 2π 最小正周期是2ω=π,所以 ω=1, π 从而 f(x)=2sin(2x-6). π π π 令-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z. π π 解得-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z. π π 所以函数 f(x)的单调递增区间为[-6+kπ,3+kπ+(k∈Z). π 3π π π 7π (2)当 x∈[8, 8 ]时,2x-6∈[12,12], 6- 2 π f(x)=2sin(2x-6)∈[ 2 ,2], 6- 2 π 3π 所以 f(x)在[8, 8 ]上的最大值和最小值分别为 2, . 2

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6.在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15°,如图所示, 向山顶前进 100 m 后,又从 B 点测得斜度为 45°,设建筑物的高为 50 m.求此山对于地平面的 斜度 θ 的余弦值.

解 在△ABC 中,∠BAC=15°,∠CBA=180°-45°=135°,AB=100 m, 所以∠ACB=30°. 100 BC 100sin 15° 由正弦定理,得sin 30°=sin 15°,即 BC= sin 30° . 100sin 15° 在△BCD 中,因为 CD=50,BC= sin 30° ,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ, 100sin 15° sin 30° 50 由正弦定理,得sin 45°= , sin?90°+θ? 解得 cos θ= 3-1. 因此,山对地面的斜度的余弦值为 3-1.

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中档大题规范练——数列 1.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a2a4=64,a1+a5=18. (1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值. n (2)设 bn= ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2+…+bn<m 对于任意的正整数 ?2n+1?Sn n 均成立,若存在,求出常数 m;若不存在,请说明理由. 解 (1)数列{an}为等差数列,因为 a1+a5=a2+a4=18, 又 a2a4=65,所以 a2,a4 是方程 x2-18x+65=0 的两个根, 又公差 d>0,所以 a2<a4,所以 a2=5,a4=13.
? ?a1+d=5, 所以? ① ?a1+3d=13, ?

所以 a1=1,d=4.所以 an=4n-3. 由 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项, 所以 a1a21=a2 i, 即 1×81=(4i-3)2,解得 i=3. n?n-1? (2)由(1)知,Sn=n×1+ 2 ×4=2n2-n, 1 1 1 1 所以 bn= = ( - ),② ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 所以 b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 =2(1-3+3-5+…+ - ) 2n-1 2n+1 = n , 2n+1

n 1 1 1 因为 = - < ,③ 2n+1 2 2?2n+1? 2 1 所以存在 m=2使 b1+b2+…+bn<m 对于任意的正整数 n 均成立. 2.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1· Sn,n∈N*. (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和. 解 (1)令 n=1,得 2a1-a1=a2 1,即 a1=a2 1. 因为 a1≠0,所以 a1=1. 令 n=2,得 2a2-1=S2=1+a2,解得 a2=2. 当 n≥2 时,由 2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1, 两式相减得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1. 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 因此,an=2n-1. 所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (2)由(1)知,nan=n· 2n-1. 记数列{n· 2n-1}的前 n 项和为 Bn,于是 Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,① 2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②
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①-②,得 -Bn=1+2+22+…+2n-1-n· 2n=2n-1-n· 2n. 从而 Bn=1+(n-1)· 2n. 即数列{nan}的前 n 项和为 1+(n-1)· 2n. 3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1=1,设数列{bn} 满足 bn=an+2n. (1)求证数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; 6n-3 (2)若数列 cn= bn ,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,证明:Tn<3.
? ?2Sn=an+1-2n+1+1, (1)解 当 n≥2 时,由? ?2Sn-1=an-2n+1 ?

?2an=an+1-an-2n ?an+1=3an+2n, 从而 bn+1=an+1+2n+1=3(an+2n)=3bn, 故{bn}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, bn=an+2n=3×3n-1=3n, an=3n-2n(n≥2), 因为 a1=1 也满足,于是 an=3n-2n. 6n-3 2n-1 (2)证明 cn= bn = , 3n-1 2n-3 2n-1 1 3 5 则 Tn=30+31+32+…+ + ,① 3n-2 3n-1 2n-3 2n-1 1 1 3 5 Tn = + + + … + + 3n ,② 3 31 32 33 3n-1 2n-1 2 1 2 2 2 ①-②,得3Tn=30+31+32+…+ - 3n 3n-1 1 1- 3n-1 2n-1 2 =1+3· 1 - 3n 1-3 2n-1 1 =2- - 3n 3n-1 2?n+1? =2- 3n , n+1 故 Tn=3- <3. 3n-1 1 4.已知单调递增数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2(a2 n+n). (1)求数列{an}的通项公式; 1 ? ? ,n为奇数, n+1-1 (2)设 cn=?a2 求数列{cn}的前 n 项和 Tn. ? ?3×2an-1+1,n为偶数,

-6-

1 解 (1)n=1 时,a1=2(a21+1),得 a1=1, 1 由 Sn=2(a2 n+n),① 1 则当 n≥2 时,Sn-1=2(a2 n-1+n-1),② 1 ①-②得 an=Sn-Sn-1=2(a2 n-a2 n-1+1), 化简得(an-1)2-a2 n-1=0, an-an-1=1 或 an+an-1=1(n≥2), 又{an}是单调递增数列,故 an-an-1=1, 所以{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n. 1 ? ? ,n为奇数, a2 n + 1-1 (2)cn=? ? ?3×2an-1+1,n为偶数, 当 n 为偶数时, Tn=(c1+c3+…+cn-1)+(c2+c4+…+cn) 1 1 1 n =( + +…+ )+3×(21+23+…+2n-1)+2 22-1 42-1 n2-1 n 2?1-42? 1 1 1 n =1×3+3×5+…+ +3× +2 ?n-1?×?n+1? 1-4 1 1 1 1 1 1 1 n n =2×(1-3+3-5+…+ - )+2×(42-1)+2 n-1 n+1 n2-2n-4 =2n+1+ . 2?n+1? 当 n 为奇数时, Tn=(c1+c3+…+cn)+(c2+c4+…+cn-1) n-1 1 1 1 =[ + +…+ ]+3×(21+23+…+2n-2)+ 2 22-1 42-1 ?n+1?2-1 n-1 n-1 1 1 1 1 1 1 1 =2×(1-3+3-5+…+n- )+2×(4 2 -1)+ 2 n+2 n2-2n-9 =2n+ . 2?n+2? n2-2n-9 ? ?2n+ 2?n+2? ?n为奇数?, 所以 Tn=? n2-2n-4 ?2n+1+ 2?n+1? ?n为偶数?. ? 2x+3 1 5.已知函数 f(x)= 3x ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f(an),n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式;

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m-2 014 1 (2)令 bn= (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若 Sn< 对一切 n∈N*恒成立, 2 an-1an 求最小正整数 m. 2 an+3 2+3an 1 2 解 (1)∵an+1=f(an)= 3 = 3 =an+3, an 2 ∴{an}是以 1 为首项,3为公差的等差数列. 2 2 1 ∴an=1+(n-1)×3=3n+3. 1 1 (2)当 n≥2 时,bn= = 1 2 1 an-1an 2 ?3n-3??3n+3? = 1 9 1 1 =2( - ), ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 9

9 1 又 b1=3=2(1-3), 9 1 1 1 1 1 9 1 9n ∴Sn=b1+b2+…+bn=2(1-3+3-5+…+ - )= (1- )= , 2n-1 2n+1 2 2n+1 2n+1 m-2 014 ∵Sn< 对一切 n∈N*恒成立, 2 即 又 9n m-2 014 < 对一切 n∈N*恒成立, 2 2n+1 m-2 014 9 9n 9 < ,∴ ≥2, 2 2n+1 2

即 m≥2 023. ∴最小正整数 m 为 2 023. 6.某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中 的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用 均比上年增加 2 万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加 25%. (1)设第 n 年该生产线的维护费用为 an,求 an 的表达式; (2)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线.求该生产线前 n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 解 (1)由题意知,当 n≤7 时,数列{an}是首项为 4,公差为 2 的等差数列, 所以 an=4+(n-1)×2=2n+2. 当 n≥8 时, 数列{an}从 a7 开始构成首项为 a7=2×7+2=16, 5 公比为 1+25%=4的等比数列,

?5? 则此时 an=16× 4 n-7, ? ?

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2n+2,n≤7, ? ? 所以 an=? ?5? ? ?16×?4?n-7,n≥8. (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, n?n-1? 当 1≤n≤7 时,Sn=4n+ 2 ×2=n2+3n, 当 n≥8 时,由 S7=72+3×7=70,

?5? 1- 4 n-7 5 ? ? ?5? 则 Sn=70+16×4× 5 =80×?4?n-7-10, 1-4
∴该生产线前 n 年的每年平均维护费用为 n+3,1≤n≤7, ? Sn ?5? n =?80×?4?n-7-10 ,n≥8. ? n
?Sn? 当 1≤n≤7 时,? n ?为递增数列, ? ?

当 n≥8 时,

?5? ?5? 80× 4 n-6-10 80× 4 n-7-10 Sn+1 Sn ? ? ? ? ∵ - = - n n+1 n n+1 ?5? ?n ? 80× 4 n-7· 4-1 +10 ? ? ? ? = >0, n?n+1?
∴ Sn+1 Sn > . n+1 n
? ?

?Sn? ∴? n ?也为递增数列.

S7 S8 又∵ 7 =10<12, 8 =

5 80×4-10 =11.25<12, 8

? 5? 80× 4 2-10 S9 ? ? ≈12.78>12, 9= 9
则第 9 年年初需更新生产线.

-9-


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