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高三第一轮复习导学案3.1 导数的概念及其运算教师版


2013 级人教版数学一轮复习

编号:

编制时间: 2015.4.2

编制人:王文东

第三章导数及其应用 3.1 导数的概念及其运算(文理合用)
【考纲要求】
1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数.

4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,(理)并了解复合函 数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如 y=f(ax+b)的复合函数)的导数.

【考点预测】
导数是高中数学的重要内容,是近年来高考的热点之一.高考中对本节知识的考查主要是考查导数的 概念及其运算法则,对导数概念的考查要求了解其实际背景,掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以 及基本初等函数的求导法则.导数的几何意义是高考重点考查内容,常与解析几何知识交汇命题.

【使用说明与学法指导】
1.复习教材 文:选修 1-1 p71——p88 理:选修 2-2 p1——p21,理解和掌握定义,并完成《优化设计》 p38 知识梳理部分,夯实基础。 2.对探究部分认真审题并完成; 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【双基自测】
1.若 f ?(a) ? A,

则 lim

?x ?0

f (a ? ?x) ? f (a ? ?x) = ?x

。2A

2.对于函数

f ( x) ,已知 f (3) ? 2,

f ?(3) ? ?2 ,则 lim
x ?3

2 x ? 3 f ( x) = x?3

。8

3.(理)设曲线 y ? eax 在点 (0, 1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 3.(文)曲线 y ? x 3 ? 3x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是( A (-1,2) B (1,-2) C (1,2) )D

.2

D (-1,2)或(1,-2) )A (-1,0) )B -2

4、曲线 y ? x ? e x 在以下哪个点处的切线斜率等于 0 ( A (0,-1) B (1,0) C (0,1) D

5.(理)若 f ( x) ? 2 sin( 3 x ? A 6 B
2

?

) ,则 f / ( ) 等于( 4 4
C
/

?

-6

2

D

5.(文)设 f ( x) ? x ? 4 x ? 5, 则 f [f

5 ( )] = ___________________.2 2
sin x cos x ? x cos 2 x

6、函数 y ? x tan x 的导数是_______________________.

1

班级:

小组:

姓名:

教师评价:

组内评价:

【探究案】
探究点一 导数的基本概念 例 1.求函数 y= x2 ? 1 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率. 解
2 ∵Δ y= ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 ? 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1

?

2 x0?x ? (?x)2 ( x0 ? ?x) ? 1 ?
2 2 x0

?1

,?

?y 2 x0 ? ?x ? . 2 ?x ( x0 ? ?x)2 ? 1 ? x0 ?1

变式训练 1. 用定义法求 y= x 在 x=x0 处的导数
?y x0 ? ?x ? x0 ?x ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ?x( x0 ? ?x ? x0 )



?x?0 ?x

lim

? lim

?x?0

? lim

?x?0

? lim

1 x0 ? ?x ? x0

?x ?0

?

1 2 x0

.

探究点二 导数的几何意义 例 2. 已知曲线 y= x3 ? . (1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 2 解 (1)∵y′=x ,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y ? |x=2 ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= x3 ? 则切线的斜率 k= y ? |
1 3 4 1 3 4? 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ? ?, ? x0 , x0 3 3? ? 3 1 3 4 3

x ? x0

=x .
2 0

2 4 1 3 4? 2 ∴切线方程为 y ? ? ? ? ? x0 ( x ? x0 ), 即 y ? x ? x ? x ? . ? x0
2 3

?3

3?

0

3

0

3

2 3 ? x0 ? , ∵点 P(2,4)在切线上,∴4= 2 x0

2 3

4 3

3 2 3 2 2 2 即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0,? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4 ? 0, ∴ x0 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)(x0 ? 1) ? 0,

∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 跟踪训练: 1.若直线 y=kx 与曲线 y=x -3x +2x 相切,则 k=
4 3 2 3 2

2

. 答案

2 或?

1 4

2.偶函数 f(x)=ax +bx +cx +dx+e 的图象过点 P(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 y=f(x) 的解析式 解 ∵f(x)的图象过点 P(0,1) , 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x) 4 3 2 4 3 2 故 ax +bx +cx +dx+e=ax -bx +cx ∴b=0,
2

班级:
4

小组:
2

姓名:

教师评价:

组内评价:

∴f(x)=ax +cx ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,∴可得切点为(1,-1) ∴a+c+1=3 ∵ f ?(1) =(4ax +2cx)|x=1=4a+2c,∴4a+ 由③④得 a= ,c= ?
5 2 9 2

函数 y=f(x)的解析式为 f ( x) ? x 4 ? x 2 ? 1.

5 2

9 2

规律方法指导
1.理解平均变化率的实际意义和数学意义。 2.搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线、加速度等问题打下理论基础.

探究点三 求下列各函数的导数: (1) y ?
x ? x5 ? sin x x2
2?

;

(2) y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3); (4) y ?
3 2

x x? (3) y ? ? sin ? ?1 ? 2 cos2 ?; 4?
1

1 1? x

?

1 1? x

.



(1)∵ y ?
? 3

x 2 ? x5 ? sin x x2

?x

?

? x3 ?
3 2
? 5 2

sin x x2

,

∴y′ ? ( x 2 )? ? ( x3 )? ? ( x ? 2 sin x)? ? ? x (2)方法一 方法二
2

? 3 x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ? 2 cos x.
3 2 2

y=(x +3x+2) (x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11.
y ? = ?( x ? 1)(x ? 2)? ( x ? 3) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)?

?

=(? x ? 1)? ( x ? 2) ? ( x ? 1)(x ? 2)?? (x+3)+(x+1) (x+2) =(x+2+x+1) (x+3)+(x+1) (x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1) (x+2)=3x
x x? 1 (3)∵y= ? sin ? ? ? cos ? ? sin x, 2? 2? 2
? ? ?
2

∴ y? ? ? sin x ? ? (sin x)? ? cos x. (4) y ?
1 1? x ? 1 1? x ? 1? x ?1? x (1 ? x )(1 ? x ) ? 2 , 1? x

?1 ?2

1 2

1 2

∴ y? ? ?

? 2 ? 2 ? ? 2(1 ? x)? ? . ? ? (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 ?1? x ?

规律方法指导
要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导.

【训练案】
1 函数 f ( x) ?| x | ,在 x ? 0 处: B.极限不存在
4 2

王新敞
奎屯

新疆

( C.不连续

) D D.不可导

A.无定义

? ? 2.若 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f (1) ? 2 ,则 f (?1) ?
3

班级: A. ?4

小组: B. ?2

姓名:

教师评价: C .2

组内评价: D.4

【答案】B【解析】考查函数的奇偶性,求导后导函数为奇函数,所以选择 B
1 ? ? ? 2 ? a, a ? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? 在点 ?

3.若曲线 y ? x (A)64

1 ? 2

(B)32

(C)16

(D)8

1 ? 1 ?3 1 ?3 1 ?3 3 ?1 2 2 2 2 y ' ? ? x ,? k ? ? a y ? a ? ? a ( x ? a) y? a 2 x ? 0 2 2 2 2 【答案】 A【解析】 , 切线方程是 , 令 , ,

令 y ? 0 , x ? 3a ,∴三角形的面积是

s?

1 3 ?1 ? 3a ? a 2 ? 18 2 2 ,解得 a ? 64 .故选 A.

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生 的计算能力.. 4.若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则
2

(A) a ? 1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1

(B) a ? ?1, b ? 1 (D) a ? ?1, b ? ?1

【解析】A:本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵

y? ? 2x ? a

x?0

?a

,∴ a ? 1 , (0, b) 在切线 x ? y ? 1 ? 0 ,∴ b ? 1

5. 若函数 f ( x ) 满足, f ( x) ? 0

1 3 x ? f ?(1) ? x 2 ? x, 则 f ?(1) 的值 3
2

提示: f ?(1) 为常数,f’ (x)=x -2 f ?(1) x-1, 令x=1则 f ?(1) =1-2 f ?(1) -1,解得 f ?(1) =0

6.

已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ?

1? a , x ?1

若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行,则 a 的值

f’ (x)=

1 a - a+ ,∵ y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x ?1 ( x ? 1) 2

直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行,而直线 l : y ? ?2 x ? 1 的斜率为-2,∴f’ (1)=-2

f’ (1)=

1 a - a+ =-2,解得 1?1 (1 ? 1) 2

a =3.

4

班级: 7
王新敞
奎屯 新疆

小组:

姓名:

教师评价:

组内评价:

(本小题 15 分) 已知直线 l1 为曲线 y ? x 2 ? x ? 2 在点 (0, ?2) 处的切线, l 2 为该曲线的另一条切线,
王新敞
奎屯 新疆

且 l1 ? l 2

(Ⅰ)求直线 l 2 的方程; (Ⅱ)求由直线 l1
王新敞
奎屯 新疆

l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积

王新敞
奎屯

新疆

(I) 解: 设直线 l1 的斜率为 k1 ,直线 l2 的斜率为 k2 ,

y ' ? 2 x ? 1 ,由题意得 k1 ? y ' |x?0 ? 1 ,得直线 l1 的方程为 y ? x ? 2

l1 ? l2 ? k2 ? ?

1 ? ?1 k1

王新敞
奎屯

新疆

令2 x ? 1 ? ?1, 得x ? ?1, 将x ? ?1代入y ? x2 ? x ? 2, 得y ? ?2

? l2 与该曲线的切点坐标为 A(?1, ?2), 由直线方程的点斜式,
得直线 l 2 的方程为 y ? ? x ? 3
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅱ)由直线 l1 的方程为 y ? x ? 2 ,令 y ? 0, 得x=2 由直线 l 2 的方程为 y ? ? x ? 3 ,令 y ? 0, 得x= ? 3 由?

? y ? x?2 5 得y?? 2 ? y ? ?x ? 3
王新敞
奎屯 新疆

设由直线 l1

l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积为 S,则

1 5 25 s ? ? ? ? [2 ? (?3)] ? 2 2 4
8.设质点做直线运动,已知路程 s 与事件 t 的函数为 s ? 3t 2 ? 2t ? 1 . (1)求从 t ? 2 到 t ? 2 ? ?t 的平均速度,并分别求 ?t ? 1, ?t ? 0.1 与 ?t ? 0.01 时的平均速度; (2)求 t ? 2 时的瞬时速度. 解: (1)∵ ?s ? 3(2 ? ?t ) 2 ? 2(2 ? ?t ) ? 1 ? (3 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 1) ? 14?t ? 3(?t ) 2 , ∴从 t ? 2 到 t ? 2 ? ?t 的平均速度 v ?

?s ? 14 ? 3?t ; ?t

当 ? t ? 1 时, v ? 17 ;当 ?t ? 0.1 时, v ? 14.3 ; 当 ?t ? 0.01 时, v ? 14.03 .

5

班级:

小组:

姓名:

教师评价:
2

组内评价:

14?t ? 3(?t ) ?s ? lim ? lim (14 ? 3?t ) ? 14 . ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t ?0 ?t 9.已知命题 p : 函数 y ? f ( x) 的导数是常数函数;命题 q : 函数 y ? f ( x) 是一次函数,则命题 p 是命题 q 的
(2) t ? 2 时的瞬时速度 v ? lim (填“充分” 、 “必要”或“充要” )条件.

【课后反思】

6


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