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时代学习报数学文化节第三届七年级第二轮


主办单位:

江 苏 教 育 出 版 社 时 代 数 学 报 江苏省教育学会中学数学教学专业委员会

时代数学报第三届数学文化节
第二轮活动“能力素质挑战”书面问题解答 (七年级)
(2008 年 1 月 6 日 上午 9:00~11:00)

亲爱的读者,欢迎参加时代数学报第三届数学文化节!在第一轮

“基础知识闯关”活动 中,你已经感受到扑面而来的数学文化气息,以你良好的基础,完全有信心从容地接受第二 轮活动的“能力素质挑战” !这里,重要的不是为了胜人一筹,而是由此更上一层楼.进一步 明白学好数学需要多方面的知识和素养, 同时再一次展现你的灵性和潜能, 品位数学文化的 美丽芬芳和博大精深,简单些吧,写成一个公式:

广泛阅读+深入思考+仔细品味=享受数学
再简单些吧,写成一个“数学公式” :G+S+Z=X.

Let’s go!
(注:满分 150 分,除第 7 题 10 分,第 15 题 11 分,第 18 题 10 分外每题 7 分.选择题只有一个正确答案)

数学之史
1、天籁谐音 示的规律. 颗 次 行星名称 距离 (天文单位) 1 水星 0.4 0.4 1766 年德国人提丢斯发现,太阳系中的行星到太阳的距离遵循表 1 所 表1 2 金星 0.7 0.4+0.3 3 地球 1 0.4+0.6 4 火星 1.6 0.4+1.2 5 小行星 2.8 0.4+2.4 6 木星 5.2 0.4+4.8 … … … …

根据表 1,第 7 颗行星到太阳的距离是 天文单位.当提丢斯将这一发现公布于众 之后,人们最终在行星带中“2.8”这一位置找到了一颗小行星,即“谷神星”. 2 、 一网打尽 正整数集只是有理数集合的一部分,有趣的是,德国数学家康托尔 (1845~1918) 曾将所有有理数像正整数那样排成一列纵队, 从而和正整数集一一对应起来. 让我们跟随康托尔的思路吧! -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

p 任一个有理数都可以写成一个既约分数 (p 是 q
整数,q 是正整数)它可以对应着网格纸(如图)上的 一个点, 即 p 所在行与 q 所在列的交点, 记为点 (q, p) .
B O A

1 如 对应图中的点 A(3,1).这样,每个有理数对应 3
着网格纸上的格点(水平线与竖直线的交叉点) ,而康 托尔用图中的方法从中心 O 出发“螺旋式”地扩展开

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

(第 2 题)
-1-

去,将平面内所有格点“一网打尽”. 在图中,O(0,0)是第一个点,A(1,-1)是第 点,第 35 个点是(________).

个点,B(-1,2)是第



数学之美
3、对称天地 很多建筑物都是对称的,如常州市的天宁寺宝塔,其底座就是一个正八 边形,这个八边形有对称轴 条. 4 、奇数宝塔 奇数宝塔(如图)的前 5 行中,每一行各数的和分别是 ________ , ________,________,________,________. 那么第 7 行中有________个数, 这些数依次是________, ________, ________, ________, ________,________,________;它们的和是________. 第n行 1 ………………1 3 5………………2 7 9 11……………3 13 15 17 19 ………4 21 23 25 27 29 …… 5 ……………………… (第 4 题) (第 3 题) 5、出入相补 积和是 . 图中是三个半径为 1 的圆,六个阴影部分完全相同,六个阴影部分的面

数学之用
6、翻译密码 在密码学中,直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到 的内容为密码.有一种密码,将英文的 26 个字母 a ,b,c, …,z(不论大小写)依次对应 于 1,2,3,…,26 这 26 个自然数(如表 2) ,当明码对应的序号 x 为奇数时,其密码对应 的序号为 y ?

x ?1 x ;当明码对应的序号 x 为偶数时,其密码对应的序号为 y ? ? 13 . 2 2
表2 b 2 o 15 c 3 p 16 d 4 q 17 e 5 r 18 f 6 s 19
-2-

字母 序号 字母 序号

a 1 n 14

g 7 t 20

h 8 u 21

i 9 v 22

j 10 w 23

k 11 x 24

l 12 y 25

m 13 z 26

按上述规定,将明码“love”译成的密码是( ) (A)qawq (B)shxc (C) sdri (D)love 7、薄利多销 在玉桥市场,甲、乙两人各销售 100 件某种衬衫,甲本着薄利多销的原 则,不久就全部售完;乙最初售价每件比甲贵 18 元,卖出一半后因十分滞销,不得已按最 初售价对折销售,虽勉强售完,但多花了时间,且最后卖得的总钱数比甲所得少 10%,求 甲每件衬衫的售价. 8、进退自如 一个机器人从数轴的原点出发,沿数轴的正方向,以每前进 3 步后退 2 步的程序运动.该机器人每秒钟前进或后退 1 步,并且每步的距离为 1 个单位长,若 xn 表 示第 n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数,则 x8 ?
x104 ?

; x21 ?



; x2008 ?

.

9、想想做做 如图,台上有一大张白纸,一把尺,一支笔,一个正方体木块,请你 设计一种方法量出正方体木块的对角线 AB 的长度(画示意图,并加以说明).

(第 9 题) 10、盲文世界 1829 年,法国盲人路易·布莱尔发明了点字

· · ,它是由一个框 · · · ·

内 6 个凸或不凸的点组成的,以凸点数的多少和点位的不同代表不同的符号,因此,可变化 组成 个不同的符号(没有任何凸点就不计数) ,这已成为现代国际上普遍采用的 盲文形式.

数学之思
11、 并非拼凑 有时两数的和恰等于这两数的商, 如-4+2= (-4) ÷2, ? 等,试写出另外两个这样的式子:

4 3

2 4 2 ? ? 3 3 3
.

12、 变与不变 将 27 个棱长为 1 (单位: cm) 的正方体, 摆成 3×3×3 的大正方体 (如 图①) ,从上面、正面、左面看到的大正方体的正投影图都如图②,是 3×3 的正方形. (1)如果将图①中,左前方的 9 个正方体和右后方的 9 个正方体取走,就变成图③,
-3-

这时,从正面、左面、上面看的正投影图依次是图④中的 . (2)在图③中,至少要补放 个正方体后,组成的立体图形,从上面看的正投影 图是图②.

13、五环填数

在五环图案

a

d

b

e

c 内,分别填写五个数 a,b,c,d,e,

其中 a,b,c 是三个连续偶数(a﹤b﹤c) ,d,e 是两个奇数(d ﹤e) ,且满足 a+b+c=d+e, 例如 2 5 4 7 6 ,请你在小于 20 的正整数中选择另 (第 13 题)

一组符合条件的数,填入右图中. 14、瞻前顾后 用 n 个 2×1 的长方形(如图①)可以覆盖 2×n 的大长方形棋盘(如 图②).当然,可能有很多种不同的覆盖方法,表 3 列出了 n=1,2,3,4,5 时对应的方法 数,请在表 3 中填出 n=6,7 时对应的方法数. 表3 … ① ② (第 14 题) 15、 聪明的乌鸦 口渴的乌鸦看到一只装了水的瓶, 瓶的旁 边还有 350 粒玉米 (假设每粒玉米的体积相等) , 乌鸦本想立即吃玉 米,但口渴难忍,它还得用祖辈传下来的本领——投“石”喝水呢! 乌鸦先叼了 100 粒玉米投入瓶中,水面上升到瓶的高度的 n 1 2 2 3 3 4 5 5 8 6 7 … …

覆盖方法数 1

1 ;再往 2

瓶中投了 150 粒玉米, 水面上升到瓶高度的 (如图, 瓶是圆柱形) . 若再向瓶中投入玉米,乌鸦就能喝到水啦! (1)如果瓶的容积是 V,那么每粒玉米的体积是 ; (2)最初瓶中水的体积是 ; (3)如果乌鸦最终喝了瓶中水的 70%,那么乌鸦还需投入瓶中 (4)这时它还可以吃到 粒玉米.
-4-

7 8

粒玉米;

16、数字走廊 在图①在中,18 个不同汉字分别代表 1~18 这 18 个不同的数,使得 每个正方形顶点处 4 个数的和都相等,那么这个和最大是 .请在图②中写出一种填 法来.



















去 处





一 ①









采 ② (第 16 题)

17、顺思逆想 一年共有 12 个月,闰年的二月是 29 天,又有 4 个小月,7 个大月, 所以闰年共有 29×1+30×4+31×7=366(天). 反过来思考:如果非负整数 a,b,c 满足等式:29a+30b+31c=366(*) ,那么 a+b +c= ,这样的数组(a,b,c)共有 组,它们分别是 . 18、是否可能有这样的社团,它的任何一个成员在社团内部有 8 个朋友,而任何两个成 员在社团内有 2 个或 3 个公共朋友?请说出理由.

数学之语
19、咬文嚼字 数学的符号语言简练、准确;而文字语言通俗易懂,但有时不够精练, 甚至容易引起歧义.下面 4 句文字语言没有歧义的是( ). (A)a 与 b 的平方的和 (B)a,b 的两数相差 8 (C)a 与 b 的和的平方 (D)a 除以 b 与 c 的和 20、 数轴妙用 小涵、 小敏和小灵三位同学对小雅书包里的书的本数作出不同的估计: 小涵说: “书包里至少有 10 本书.” 小敏说: “不!不!书包里的书不到 10 本.” 小灵接着说: “书包里最少有 1 本书.” 这时,小雅说: “你们三人的话,只有 1 个人正确.” 请问:小雅书包里有几本书? 这是一道逻辑推理题. 根据题意,三人的估计有三种可能情形,依次是:①对、错、错;②错、对、错③错、 错、对,然后再一一分析之. 现在,我们利用数轴知识,画成下图:

(第 20 题) 从图中可见: 1)若书包中有 1 或 2……或 9 本书,则小敏与小灵的估计都对了,不合题意; 2)若书包里至少有 10 本书,则小涵与小灵的估计都对了,也不合题意;
-5-

3)若书包里有 0 本书(即书包里没有书) ,只有小敏的估计正确,符合题意; 由此实例可见,利用数轴知识来解,真是一目了然,比平时的逻辑推理方法,更容易理 解.仿此,请大家做下面的一道趣题: 甲、乙、丙、丁四位同学对小雅同学书包里的书作出估计: 甲说: “书包里至多有 12 本书.” 乙说: “不!不!书包里的书至少 5 本,至多 11 本.” 丙说: “书包里至多 8 本书.” 丁说: “我估计乙、丙两人中至少有一人估计对了.” 小雅说: “你们 4 个人的话,只有 1 个人正确.” 则甲、乙、丙、丁中 估计正确,小雅书包里有 本书.

-6-


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