当前位置:首页 >> 数学 >> 炜昊教育2015高考第一轮复习专题素质测试题圆锥曲线(文科)

炜昊教育2015高考第一轮复习专题素质测试题圆锥曲线(文科)


炜昊教育 2015 高考第一轮复习专题素质测试题 圆锥曲线(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到准线的距离是( A.1 B. 2 ) C. (4,0) D. (- 4,0) ) C. 4 D. 8

2.抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标是( A. (2,0)

B. (- 2,0) )

x2 y 2 3.双曲线 ? ? 1 的焦距为( 10 2

A. 3 2 4.设 P 椭圆 A .4 5.下列曲线中,离心率为

B. 4 2

C. 3 3

D. 4 3 )

x2 y 2 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 | PF1 | ? | PF2 | 等于( 25 16

B.5

C.8 )

D.10

6 的是( 2
B.

A.

x2 y2 ? ?1 2 4

x2 y2 ? ?1 4 2

C.

x2 y2 ? ?1 4 6

D.

x2 y2 ? ?1 4 10


6. “双曲线的方程为 A.充分而不必要条件

9 x2 y2 ? ? 1 ”是“双曲线的准线方程为 x= ? ”的( 5 9 16

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.6 )

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r=( 7.双曲线 6 3

A. 3

B.2

C.3

8.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5

9.已知 F1 、 右焦点, 点 P 在 C 上, ∠F1 P F2 = 60 0 , 则 | PF1 | | PF2 |? F2 为双曲线 C: x2 ? y 2 ? 1的左、 ( A.2 10.设椭圆 ) B.4 C. 6 D. 8
1 x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 ,则 2 2 m n

此椭圆的方程为(



x2 y 2 A. ? ?1 12 16

x2 y 2 B. ? ?1 16 12

x2 y 2 C. ? ?1 48 64

x2 y 2 D. ? ?1 64 48

11.若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一点,则 4 3

OP ? FP 的最大值为(
A.2

) B.3 C.6 D.8

x2 y 2 12.设双曲线 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x2+1相切, 则该双曲线的离心率等 a b

于(

) B.2 C. 5 D. 6

A. 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,则实数 a ? 14.在 △ ABC 中, ?A ? 90 , tan B ? .

3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离 4

心率 e ? . 15.已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 16.已知双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 a 2 b2

y 2 ? 16 x 的焦点相同.则双曲线的方程为
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

.

17.(本题满分 10 分)已知抛物线 C 的方程 C: y 2 ? 2 px (p>0)过点 A(1,?2) . (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于

5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

x2 y2 3 18. (本题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭 3 a b
圆短半轴长半径的圆与直线 y ? x ? 2 相切.

(Ⅰ)求 a 与 b; (Ⅱ)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1 和 F2 ,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l 2 与 y 轴垂直, l 2 交 l1 与点 P. 求线段 PF 1 垂直平分线与 l 2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型.

19. (本题满分 12 分)已知抛物线 C : y ? 2x2 ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段
AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ )证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行;

(Ⅱ )是否存在实数 k 使 NA ? NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 2 a b 3

与 C 相交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 是,坐标原点 O 到 l 的距离为

2 2

C 上是否存在点 P , (Ⅰ ) 求 a , b 的值; (Ⅱ ) 使得当 l 绕 F 转到某一位置时, 有 OP ? OA ? OB

成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y 2 21.( 本题满分 12 分)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 B、D a b

两点,且 BD 的中点为 M(1,3) . (Ⅰ )求 C 的离心率; (Ⅱ )设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, | DF | ? | BF |? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

22. (本题满分 12 分)双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经
AB 、 OB 成等差数列, 过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点. 已知 OA 、 且 BF

与 FA 同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

参考答案:
一、选择题答题卡: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 B 6 A 7 A 8 B 9 B 10 B 11 C 12 C

二、填空题 13. ? 1 . 三、解答题 17.解: (Ⅰ)将 A(1,?2) 代入 y ? 2 px ,得 p ? 2 .
2 2 故所求的抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ,其准线方程为 x ? ?1 .

14.

1 . 2

15. y ? 4 x .
2

16.

x2 y2 ? ? 1. 4 12

(Ⅱ) k OA ? ?2 ,直线 OA 的方程为 y ? ?2 x,即2 x ? y ? 0 . 假设存在符合题意的直线 l ,其方程为 y ? ?2 x ? t,即2 x ? y ? t ? 0 . 由?

? y ? ?2 x ? t
2 ? y ? 4x

,得 y ? 2 y ? 2t ? 0 .
2

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以得 ? ? 4 ? 8t ? 0 ,解得 t ? ?

1 . 2

另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d ?

|t | 1 5 ? ,可得 ,解得 t ? ?1 . 5 5 5

因为 ? 1 ? ??

? 1 ? ? 1 ? ,?? ?,1 ? ?? ,?? ? ,所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . ? 2 ? ? 2 ? 3 c2 a2 ? b2 1 b2 2 ,? e 2 ? 2 ? ? .? 2 ? . 3 3 3 a a a2
2 1?1 ? 2 ? r ? b,

18.解: (Ⅰ)? e ?

2 2 2 因为圆 x ? y ? b 与直线 y ? x ? 2 相切,所以 d ?

? b 2 ? 2, a 2 ? 3 .
因此, a ? 3, b ?

2.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 F1 , F2 两点分别为 (?1,0), (1,0) , 设 M(x、 y)是所求轨迹上的任意点,则点设 P 的坐标为 (1, y ) .

那么线段 PF 1 中点为 N (0, ) .

y 2

从而 NM ? ( x, ), F1 P ? (2, y ) ,由 NM ? F1 P ? 2 x ?
2

y 2

y2 ? 0 得 y 2 ? ?4x . 2

所以,点 M 的轨迹方程是抛物线 y ? ?4 x (除原点). 19. (Ⅰ)证明: x ?
2

1 1 y, p ? ,设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) . 2 4

当 k ? 0 时,点 M 在 y 轴上,点 N 与原点 O 重合,抛物线 C 在点 N 处的切线为 x 轴,与 AB 平行. 当 k ? 0 时,由

y A M

1 k AB

? x0 ? p 得: x 0 ?

k . 4

B O

N

k ?点 N 的横坐标为 . 4
对 y ? 2 x2 求导得: y ' ? 4x ,从而 y ( ) ? 4 ?
'

x

k 4

k ? k. 4

即抛物线 C 在点 N 处的切线的斜率等于直线 AB 的斜率. 故抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行. (Ⅱ)解:若 NA ? NB ? 0 ,则 NA ? NB ,即 ?ANB ? 90? . y A M

? | AB |? 2 | AM |? 2 | BM |? 2 | MN | .
y 0 ? kx0 ? 2 ? k2 ?8 , 4
2 2 2

B O

N

k ?8 k k ? 16 ? ? . ? | MN |? y 0 ? y N ? 4 8 8
由?

x

? y ? kx ? 2,
2 ? y ? 2x .

得 2 x ? kx ? 2 ? 0 .
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

k , x1 x 2 ? ?1 . 2

? | AB |? (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? (k 2 ? 1)(

k2 1 ? 4) ? (k 2 ? 1)(k 2 ? 16) . 4 2

1 k 2 ? 16 (k 2 ? 16) 2 2 2 2 2 (k ? 1)(k ? 16) ? 2 ? . 即 (k ? 1)(k ? 16) ? . ? 2 8 4
化简,得: k ? 1 ?
2

k 2 ? 16 2 ,即 k ? 4 .? k ? ?2 . 4

故存在实数 k ? ?2 ,使 NA ? NB ? 0 . 20.解: (Ⅰ)设 F ?c,0?, 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0, O 到 l 的距离为

0?0?c 2
由 e?

?

c 2

,故

c 2

?

2 ,c ? 1. 2

c 3 得 ? a 3

a ? 3 , b ? a2 ? c2 = 2 .
(Ⅱ)设 C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立. 椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,点 F 的坐标为(1,0). 3 2

设弦 AB 的中点为 Q( x, y) . 由 OP ? OA ? OB 可知,四边形 OAPB 是平行四边形,点 Q 是线段 OP 的中点,点 P 的坐标为 (2 x,2 y) ,点 P 在椭圆上,

4x 2 ? 2 y 2 ? 1.??????????????① ? 3
若直线 l 的斜率不存在,则 l ? x 轴,这时点 Q 与 F (1,0) 重合, OP ? (2,0) ,点 P 不在椭圆上,故直 线 l 的斜率存在. 由点差法公式 k AB ?

y b2 y y 2 ? ?? . ? ? 2 得: x ?1 x 3 x a

2 ? y 2 ? ? ( x 2 ? x) .????????????????② 3
由①和②解得: x ?

3 2 . ,y ?? 4 4

?当 x?

y 3 2 3 2 ? ? 2 ,点 P 的坐标为 ( , 时 , k AB ? ,y ? ) ,直线 l 的方程为 x ?1 4 4 2 2

2x ? y ? 2 ? 0 ;
当 x?

y 3 2 3 2 ? 2 , 点 P 的 坐 标 为 ( ,? 时 , k AB ? ,y ?? ) ,直线 l 的方程为 x ?1 4 4 2 2

2x ? y ? 2 ? 0 .

综上,C 上存在点 P( ,?

3 2

2 ) 使 OP ? OA ? OB 成立,此时 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 2

21.解: (Ⅰ)由 k BD ?

y0 b 2 b 2 b2 ? 2 得 2 ? 3 ,? e ? 1 ? 2 ? 2 . a x0 a a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,C 的方程为 3x 2 ? y 2 ? 3a 2 , c ? 2a ,? A(a,0), F (2a,0) . 直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,由 ?

?y ? x ? 2 ?3 x ? y ? 3a
2 2 2

得 2 x ? 4 x ? 3a ? 4 ? 0 .
2 2

3a 2 ? 4 设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 2, x1 x 2 ? ? . 2
| BF |? ( x1 ? 2a) 2 ? y1 ? x1 ? 4ax1 ? 4a 2 ? 3x1 ? 3a 2 ?| 2 x1 ? a | ,
同理 | DF |?| 2 x2 ? a | . 由 | BF | ? | DF |? 17 得 | 4x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? a 2 |?| 5a 2 ? 4a ? 8 |? 17 . 因为 a >0,所以 5a ? 4a ? 8 ? 17 .
2
2 2 2

解得 a ? 1 ,或 a ? ? 故 | BD |?

9 (舍去) , 5

7 (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 2 ? (2 2 ? 4 ? ) ? 6 , 2

连结 MA,则由 A(1, 0) , M(1,3) 知 MA ? 3 ,从而 MA=MB=MD ,且 MA ? x 轴,因此以 M 为圆 心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切,所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

x2 y2 22.解: (Ⅰ)设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0). a b

? | OA | 、 | AB | 、 | OB | 成等差数列,设 | AB |? m ,公差为 d,则 | OA |? m ? d , | OB |? m ? d , ? (m ? d ) 2 ? m2 ? (m ? d ) 2 . 即 m 2 ? 2dm ? d 2 ? m 2 ? m 2 ? 2dm ? d 2 . ? m ? 4d . 从而 | OA |? 3d , | AB |? 4d , | OB |? 5d .
又设直线 l1 的倾斜角为 ? ,则 ?AOB ? 2? . l1 的方程为 y ? y

b x. a

l2
A M O F

l1

? tan ? ?

b | AB | 4 . 而 tan2? ? tan?AOB ? ? . a | OA | 3

x N B

2 tan? ? ? 1 ? tan2 ?
解之得:

b a ?4. b 3 1 ? ( )2 a 2?

b 1 ? . a 2

b 5 . ? e ? 1 ? ( )2 ? a 2
(Ⅱ)设过焦点 F 的直线 AB 的倾斜角为 ? , 则 ? ?

?
2

?? .

tan2 ? ? ? cos ? ? ? sin ? . 而 sin 2 ? ? 1 ? tan2 ?
1 ? cos 2 ? ? . 5
通径 H ?

1 ( )2 1 2 ? . 1 5 1 ? ( )2 2

2b 2 b ? 2b ? ? b . a a
H ? 4. 1 ? e cos 2 ?
2

又设直线 AB 与双曲线的交点为 M、N. 于是有: | MN |?

?

b 5 1 1 ? ( )2 ? 2 5

? 4.

解得 b ? 3 ,从而 a ? 6 .

? 所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 36 9

.精品资料。欢迎使用。


赞助商链接
更多相关文档:
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com