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2012届江苏省高考数学理二轮总复习专题导练课件:专题3 导数及其应用


1.(2011? 金陵中学)函数f ? x ? ? x ? 2lnx的单调

递增区间为__________  .
2 x?2 解析:因为f ? ? x ? ? 1 ? ? ,解f ? ? x ?>0, x x 得x>2,所以f ? x ?的增区间是(2, ?). ?

2.(2011?广东卷)函数f ? x ? ? x ? 3x ? 1在x ? _____
3 2

处取得极小值.
解析 : 因为f ? ? x ? ? 3x 2 ? 6x ? 3x ? x ? 2 ?, 当0 ? x ? 2时,f ? ? x ? ? 0; 当x ? 0或x ? 2时,f ? ? x ? ? 0, 所以f ? x ? 在x ? 2处取得极小值.

3.(2010· 江西卷)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足 f′(1)=2,则f′(-1)=___
解析 : 由f ? x ? ? ax 4 ? bx 2 ? c,得f ? ? x ? ? 4ax3 ? 2bx. 又f ? ?1? ? 2,所以4a ? 2b ? 2,即2a ? b ? 1, f ? ? ?1? ? ?4a ? 2b ? ?2(2a ? b) ? ?2.

4.(2010· 山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单 位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式
1 3 为y=x +81x-234,则使该生产厂家获得最大 3

年利润的年产量为_万件.
.

解析 : 导数 y? ? ? x 2 ? 81 ? 0,解得 x ? 9( x ? ?9舍去); 1 3 易得函数 y ? ? x ? 81x ? 234 3 在区间 ? 0,9 ? 上是增函数,在区间(9, ?)上是减函数, ? 所以在x ? 9处取极大值,也是最大值,故填 9.

5.(2011?江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点P 是函数f ? x ? ? e x ? x ? 0 ?的图象上的动点,该图象在 P处的切线l交y轴于点M ,过点P作l的垂线交y轴于 点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值 是_________  .

解析 : 设P ( x0,ex0 ),则l:y ? ex0 ? ex0 ? x ? x0 ?, 所以M (0, ? x0 ? ex0 ),过点P作l的垂线, ?1 y ? ex0 ? ?e ? x0 ? x ? x0 ?,N (0,ex0 ? x0 e ? x0 ), 1 t ? ??1 ? x0 ? ex0 ? ex0 ? x0 e ? x0 ? ? 2? 1 ? ex0 ? x0 ? e ? x0 ? ex0 ? 2 1 t ? ? ? ex0 ? e ? x0 ??1 ? x0 ?, 2 所以,t在 ? 0,1? 上单调递增,在(1, ?)单调递减, ? tmax 1 1 ? (e ? ). 2 e

? 例1.已知曲线 s :f ? x ? ? ax ? b sin x在x ? 处的切线 3 ? 方程为y ? - 3. 3 ?1? 求a,b的值;

? 2 ? 设g ? x ? ? x ? 2,直线l:y1 ? g ? x ?, 曲线 s :y2 ? f ? x ?.
证明:直线l与曲线 s 同时满足下列两个条件: ①直线l与曲线 s 相切且至少有两个切点; ②对任意x ? R都有g ? x ? ? f ? x ?.
3

分析: (1)由切线方程知,已知点处的导函数为0, 列出关于待定系数的方程组;(2)根据已知切线的 斜率,列出关于切点横坐标的方程,利用三角函

数的周期找到切点.
解析 : ?1? 因为f ? x ? ? ax ? bsinx,所以f ? ? x ? ? a ? bcosx.

? 1 ? ? 3 ? f ?( ) ? a ? b ? 0,f ( ) ? a ? b ? ? 3, 3 2 3 3 2 3 解得a ? 1,b ? ?2.


? 2 ? 证明:由,f ? ? x ? ? 1 ? 2cosx ? 1,得cosx ? 0.
当x ? ?

?
2

时,cosx ? 0,

此时y1 ? ?

?
2

? 2 ,y 2 ? ?

?
2

? 2,y1 ? y2

所以(? , ? 2)是直线l与曲线s的一个切点; ? 2 2

?

?

3? 当x ? 时,cosx ? 0, 2 3? 3? 此时y1 ? ? 2,y 2 ? ? 2,y1 ? y2, 2 2 3? 3? 所以( , ? 2)是直线l与曲线s的一个切点; 2 2 所以直线l与曲线s相切且至少有两个切点, 故条件①满足; 对任意x ? R, g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 2sinx ? ? 2 ? 2sinx ? 0 所以g ? x ? ? f ? x ?,故条件②满足

【点评】已知曲线一点处的切线方程,可根据条
件列出方程(组),求出参数的值.某点处的导函

数值等于过该点处切线的斜率.

1 变式1.设函数f ? x ? ? x ? alnx与g ? x ? ? x ? x的 a 图象分别交直线x ? 1于点A,B,且曲线y ? f ? x ?
2

在点A处的切线与曲线y ? g ? x ? 在点B处的切线平 行.

?1? 求函数f ? x ?,g ? x ?的表达式; ? 2 ? 当a ? 1时,求函数h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?的最小值.

2x2 ? a 解析 : ?1?由f ? x ? ? x 2 ? alnx,得f ? ? x ? ? , x 1 由g ? x ? ? x ? a x,得g ? ? x ? ? 2 x ?a 2a x .

又由题意可得f ? ?1? ? g ? ?1?,

2?a 1 即2 ? a ? , 故a ? 2或a ? . 2a 2

1 所以当a ? 2时,f ? x ? ? x ? 2lnx,g ? x ? ? x ? x; 2 1 1 2 当a ? 时,f ? x ? ? x ? lnx,g ? x ? ? 2x ? x, 2 2 由于两函数的图象都过点 ?1,1?,因此两条切线重合,
2

不合题意,故舍去. 1 所以所求的两函数为f ? x ? ? x ? 2lnx,g ? x ? ? x ? x 2
2

? 2 ? 当a ? 1时,h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?
1 ? x ? 2lnx ? x ? x, 2 2 1 1 得h? ? x ? ? 2x ? ? ? x 2 2 x
2

2? x ? 1?? x ? 1? x ?1 ? ? x 2 x 4? x x ? x ? x ? 1? ? x ? ( x ? 1)[ ], 2x 4? x x ? x ? x ? 1? ? x 由x ? 0,得 ? 0, 2x

故当x ? ? 0,1? 时,h? ? x ? ? 0,h ? x ? 单调递减, 当x ? (1, ? )时,h? ? x ? ? 0,h ? x ? 单调递增, ? 1 3 所以函数h ? x ?的最小值为h ?1? ? 1 ? 2ln1 ? ? 1 ? . 2 2

例2.(2010●辽宁卷)已知函数
f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞), |f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

分析:导数的强大功能之一就是讨论函数的单
调性.第(2)问中绝对值成为解题障碍,是否可

考虑利用第(1)问中的结论?

解析 : ?1? f ? x ?的定义域为(0, ?). ? a ?1 2ax ? a ? 1 f ?? x? ? ? 2ax ? x x 当a ? 0时,f ? ? x ?>0,故f ? x ? 在(0, ?)上单调递增; ?
2

当a ? ?1时,f ? ? x ? <0,故f ? x ? 在(0, ?)上单调递减; ? a ?1 当 ? 1<a<0时,令f ? ? x ? ? 0,解得x ? ? . 2a a ?1 当x ? (0,? )时,f ? ? x ?>0; 2a a ?1 当x ? ( ? , ? )时,f ? ? x ? <0. ? 2a

a ?1 a ?1 故f ? x ? 在(0,? )上单调递增,在( ? , ?) ? 2a 2a 上单调递减.

? 2 ? 不妨假设x1 ? x2 . 由于a ? ?2,故f ? x ? 在(0, ?)上单调递减. ? 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 x1 ? x2 等价于f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 4x1 ? 4x2, 即f ? x2 ? ? 4x2 ? f ? x1 ? ? 4x1.令g ? x ? ? f ? x ? ? 4x,则
a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 g? ? x ? ? ? 2ax ? 4 ? . x x

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?? 2 x ? 1?2 于是g ? ? x ? ? ? ?0 x x 从而g ? x ? 在(0, ?)上单调递减,故g ? x1 ? ? g ? x2 ?, ? 即f ? x1 ? ? 4x1 ? f ? x2 ? ? 4x2 . 故对任意x1,x2 ? (0, ?), ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 x1 ? x2 . ? f

变式2.已知定义在(0, ?)上的三个函数f ? x ? ? lnx, ? g ? x ? ? x ? af ? x ?,h ? x ? ? x ? a,且g ? x ? 在x ? 1处
2

取得极值.

?1? 求a的值及函数h ? x ?的单调区间;
2 ? f ? x? 成立; ? 2 ? 求证:当1 ? x ? e 时,恒有x ? 2 ? f ? x?
2

? 3? 把h ? x ? 对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲 线C2,求C2与g ? x ? 对应曲线C3的交点个数,并说
明理由.

a 解析 : ?1? g ? x ? ? x ? af ? x ? ? x ? alnx,g ? ? x ? ? 2x ? , x g ? ?1? ? 2 ? a ? 0,所以a ? 2.
2 2

1 而h ? x ? ? x ? 2 x,h? ? x ? ? 1 ? , x 1 令h? ? x ? ? 1 ? ? 0得x ? 1; x 1 令h? ? x ? ? 1 ? ? 0得0 ? x ? 1. x 所以函数h ? x ?的单调递增区间是(1, ?); ? 单调递减区间是 ? 0,1?.

2 ? 因为1 ? x ? e 2,所以0 ? lnx ? 2,所以2 ? lnx ? 0, ? 2 ? f ? x? 欲证x ? ,只需要证明x ? 2 ? f ? x ? ? ? 2 ? f ? x ?, ? ? 2 ? f ? x? 2? x ? 1? 即证明f ? x ? ? , x ?1 2? x ? 1? 2? x ? 1? 记k ? x ? ? f ? x ? ? ? lnx ? , x ?1 x ?1 ? x ? 1?2 所以k ? ? x ? ? , 2 x? x ? 1?

当x ? 1时,k ? ? x ? ? 0,所以k ? x ? 在(1, ?)上是增 ? 函数, 2? x ? 1? 所以k ? x ? ? k ?1? ? 0,所以k ? x ? ? 0,即lnx ? x ?1 ? 0, 2? x ? 1? 所以lnx ? ,故结论成立. x ?1

? 3?由 ?1? 知g ? x ? ? x 2 ? 2lnx,h ? x ? ? x ? 2 x, 所以C2 对应的表达式为h1 ? x ? ? x ? 2 x ? 6, 问题转化为求函数g ? x ? ? x 2 ? 2lnx与h1 ? x ? ? x ? 2 ? 6
图象交点个数. 即求方程x 2 ? 2lnx ? x ? 2 x ? 6, 即2 x ? 2lnx ? ? x 2 ? x ? 6根的个数.

设h2 ? x ? ? 2 x ? 2lnx,h3 ? x ? ? ? x 2 ? x ? 6, 1 2 x ? x ? 2? x ?2 h?2 ? x ? ? ? ? ? . x x x x x 当x ? ? 0, 4 ? 时,h?2 ? x ? ? 0,h2 ? x ? 为减函数; 当x ? (4, ?)时,h?2 ? x ? ? 0,h2 ? x ? 为增函数. ?

1 2 25 而h3 ? x ? ? ? x ? x ? 6 ? ?( x ? ) ? ,图象是开口 2 4 向下的抛物线.作出函数h2 ? x ? 与h3 ? x ?的图象,
2

1 25 1 1 1 h3 ( ) ? ,而h2 ( ) ? 2 ? 2ln ? 2 ? 2ln2 ? h3 ( )可 2 4 2 2 2 知交点个数为2个,即曲线C2 与C3的交点个数为2个.

例3.已知函数f ? x ? ? alnx ? x 2 (a为实常数). ? ?1? 若a ? ?2,求证:函数f ? x ? 在(1, ?)上是增函 数;

? 2 ? 求函数f ? x ? 在[1,e]上的最小值及相应的x的值.
分析:第(1)问只要证明在(1,+∞)上f′(x)>0即可;

第(2)问未给a赋值,在求最小值时应分情况讨
论.

解析 : ?1? 证明:当a ? ?2时,f ? x ? ? x ? 2lnx.
2

2? x 2 ? 1? 当x ? (1, ? )时,f ? ? x ? ? ? ? 0. x 故函数f ? x ? 在(1, ?)上是增函数. ?

2x2 ? a ? 2? f ? ? x ? ? ? x ? 0 ?. x 当x ? [1,e],x 2 ? a ? [a ? 2,a ? 2e 2 ]. 2 若a ? ?2,f ? ? x ? 在[1,e]上非负(仅当a ? ?2,x ? 1 时,f ? ? x ? ? 0). 故函数f ? x ? 在[1,e]上是增函数, 此时 ? f ? x ? ? min ? f ?1? ? 1. ? ? ?a 若 ? 2e ? a ? ?2,当x ? 时,f ? ? x ? ? 0; 2
2

?a 时,f ? ? x ? ? 0,此时函数是减函数; ? 2 ? 当1 ? x ? 2 ?a 当 ? x ? e时,f ? ? x ? ? 0,此时函数f ? x ? 是增函 2 ?a a a a 数,故 ? f ? x ? ? min ? f ( ) ? ln(? ) ? . ? ? 2 2 2 2 若a ? ?2e 2,f ? ? x ? 在[1,e]上非正(仅当a ? ?2e 2, x ? e时,f ? ? x ? ? 0), 故函数 ? x ? 在[1,e]上是减函数, 此时 ? f ? x ? ? min ? f ? e ? ? a ? e 2 . ? ?

? 2 ? 综上可知,当a ? ?2时,f ? x ?的最小值为1,相应
的x值为1; a a a 当 ? 2e ? a ? ?2时,f ? x ?的最小值为 ln(? ) ? , 2 2 2 ?a 相应的x值为 ; 2 2 2 当a ? ?2e 时,f ? x ?的最小值为a ? e ,相应的x值为e.
2

变式3.已知函数f(x)的导数f ′(x)=3x2-3ax,f(0)=b. a, b为实数,且1<a<2. (1)若f(x)在区间[-1, 1]上的最小值、最大值分别为2、1,求a、b的值; (2)在(1)的条件下,求经过点P(2, 1)且与曲线f(x) 相切的直线l的方程; (3)设函数F(x)=[f′(x)+6x+1] e2x,试判断函数F(x)的 极值点个数.


因为x ? ? ?1, 1?,? a ? 2,所以当x ? ? ?1, 0 ? 时, 1 f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 递增; 当x ? ? 0, 1? 时,f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 递减. 所以f ? x ? 在区间? ?1, 1? 上的最大值为f ? 0 ? ? b, 所以b ? 1.

3 2 解析 : ?1?由已知得,f ? x ? ? x ? ax ? b,由f ? ? x ? ? 0, 2 得x1 ? 0,x2 ? a.
3

3 3 3 3 又f ?1? ? 1 ? a ? 1 ? 2 ? a,f ? ?1? ? ?1 ? a ? 1 ? ? a, 2 2 2 2 所以f ? ?1? ? f ?1?.由题意得f ? ?1? ? ?2,即 ? a ? ?2, 4 得a ? . 3 4 故a ? ,b ? 1为所求. 3

? 2 ?由?1? 得f ? x ? ? x3 ? 2x 2 ? 1,f ? ? x ? ? 3x 2 ? 4x,点P ? 2, 1? 在曲线f ? x ? 上. ①当切点为P ? 2, 1? 时,切线l的斜率k ? f ? ? x ? |x ?2 ? 4, 所以l的方程为y ? 1 ? 4 ? x ? 2 ?,即4x ? y ? 7 ? 0.
②当点P不是切点时,设切点为Q ? x0, y0 ? ( x0 ? 2), 切线l的斜率k ? f ? ? x ? |x ? x0 ? 3x0 2 ? 4x0,

又点P ? 2, 1? 在l上,所以1 ? y0 ? (3x0 2 ? 4x0 ) ? 2 ? x0 ?, 所以1 ? ( x30 ? 2 x 20 ? 1) ? (3 x 20 ? 4 x0 ) ? 2 ? x0 ?, 所以x 2 0 ? 2 ? x0 ? ? (3x 2 0 ? 4 x0 ) ? 2 ? x0 ?, 所以x 2 0 ? 3x 2 0 ? 4 x0,即2 x0 ? x0 ? 2 ? ? 0,所以x0 ? 0. 所以切线l的方程为y ? 1. 故所求切线l的方程为4x ? y ? 7 ? 0或y ? 1.

? 3? F ? x ? ? ? 3x 2 ? 3ax ? 6x ? 1??e2x ? ?3x 2 ? 3 ? a ? 2 ? x ? 1??e2x . ? ? 所以F ? ? x ? ? ?6x ? 3 ? a ? 2 ? ? ?e 2x ? 2 ?3x 2 ? 3 ? a ? 2 ? x ? 1? ?e 2x ? ? ? ? ? [6x 2 ? 6 ? a ? 3? x ? 8 ? 3a ]?e 2x . 二次函数y ? 6x 2 ? 6 ? a ? 3? x ? 8 ? 3a的判别式为 2 2 ? ? 36 ? a ? 3? ? 24(8 ? 3a) ? 12(3a ? 12a ? 11)
?3 ? a ? 2 ?2 ? 1? , ? 12 ? ?

令? ? 0,得:a ? 2 ? ?

2

1 3 3 ? ,? 2 ? a ? 2? . 3 3 3

3 3 令? ? 0,得a ? 2 ? ,或a ? 2 ? . 3 3 因为e 2x ? 0,1 ? a ? 2, 3 所以当2 ? ? a ? 2时,F ? ? x ? ? 0, 3 函数F ? x ? 为单调递增,极值点个数为0; 3 当1 ? a ? 2 ? 时,此时方程F ? ? x ? ? 0 3 有两个不相等的实数根,根据极值点的定义, 可知函数F ? x ? 有两个极值点.

1.导数的几何意义可以帮助我们解决许多解析几何
中的疑难.要求曲线在某点处的切线的斜率,可直接

求这点处的导数.
2.求可导函数单调区间,首先确定函数f(x)的定义 域A,然后解不等式f′(x)>0,得解集B,集合A∩B所包 含的区间即为函数的单调增区间;解不等式f′(x)<0, 得解集C,集合A∩C所包含的区间即为函数的单调减 区间.

3.求函数的极值点,如果f(x)函数在x0附近左侧 f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)是极大值;如果f(x)函数 在 x0 附 近 左 侧 f′(x)<0 , 右 侧 f′(x)>0 , 则 f(x0) 是 极 小 值.求函数的最值,先求函数在(a,b)上的各极值, 再与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值. 4.导数是研究函数性质的强有力的工具.在解决函 数、几何等问题时,不但避开了初等变形的难点,而 且使解法程序化,变“巧法”为“通法”.因此,在 探讨极值、单调性、不等式等有关问题时,要充分发 挥导数的作用,优化解题策略,简化运算.

(2011?江苏卷)(本小题满分16分) 已知a,b是实数,函数f ? x ? ? x 3 ? ax,g ? x ? ? x 2 ? bx, f ? ? x ? 和g ? ? x ? 分别是f ? x ? 和g ? x ?的导函数.若f ? ? x ?? g ? ? x ? ? 0在区间I 上恒成立,则称f ? x ? 和g ? x ? 在区间 I 上单调性一致. ? ?1? 设a ? 0.若f ? x ? 和g ? x ? 在区间[?1, ?)上单调性一 致,求b的取值范围;

? 2 ? 设a ? 0且a ? b.若f ? x ? 和g ? x ? 在以a,b为端点的开
区间上单调性一致,求 a ? b 的最大值.

解析:f ? ? x ? ? 3x ? a,g ? ? x ? ? 2x ? b.
2

? ?1?因为函数f ? x ? 和g ? x ? 在区间[?1, ?)上单调性 一致,所以,?x ? [?1, ?),f ? ? x ? g ? ? x ? ? 0, 分) ? (2 即?x ? [?1, ?),3x 2 ? a ? ? 2x ? b ? ? 0,因为a ? 0, ? ? 所以?x ? [?1, ?),x ? b ? 0, 分) ? 2 (4 即?x ? [?1, ?),b ? ?2x,所以b ? 2, 分) ? (6

a ? 2 ? 令f ? ? x ? ? 0,解得x ? ? ? . 3 若b ? 0,由a ? 0得0 ? (a,b). 又因为f ? ? 0 ? g ? ? 0 ? ? ab ? 0, 所以函数f ? x ? 和g ? x ? 在(a,b)上不是单调性一致的. 因此b ? 0.现设b ? 0. 当x ? (??, 时,g ? ? x ? ? 0; 0) a 当x ? (??, ? )时,f ? ? x ? ? 0. ? 3

a 因此,当x ? (??, ? )时,f ? ? x ? g ? ? x ? ? 0.(10分) ? 3 a a 故由题设得a ? ? ? 且b ? ? ? , 3 3 1 1 从而 ? ? a ? 0,于是 ? ? b ? 0. 3 3 1 1 因此 a ? b ? ,且当a ? ? ,b ? 0时等号成 3 3 立. 分) (13

1 1 2 又当a ? ? ,b ? 0时,f ? ? x ? g ? ? x ? ? 6x( x ? ),从 3 9 1 而当x ? (? , 时,f ? ? x ? g ? ? x ? ? 0, 0) 3 1 故函数f ? x ? 和g ? x ? 在(? , 上单调性一致. 0) 3 1 因此 a ? b 的最大值为 .(16分) 3

本题第(1)题只需根据f(x)和g(x)在区间I上单调性一 致的定义,有?x∈[-1,+∞),f ′(x)g′(x)≥0便可得分; 第(2)题的关键在于分类讨论,不断将题目中的条 件转化,争取多得分.


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