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高一数学函数的单调性、奇偶性测试


高一数学同步测试—函数的单调性、奇偶性

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的,请把正确答案的代号填在题后的括号内。 (每小题 5 分,共 50 分)

1、奇函数 f(x)在区间[-b,-a]上单调递减且 f(x)>0(0<a<b),那么|f(x)|在 区间[a,b]上是( A.单调递减 C.不增不减 增,设 a=f(3), b=f( A.a>b>c 内( ) B. 至多有一实根 D.必有唯一的实根 ) D.由 m 而定的其它常数 ) B.单调递增 D.无法判断单调性 ), c=f(2),则 a,b,c 的大小关系是( C.b>c>a )

2、定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递
2

B.a>c>b

D.c>b>a

3、 已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b] A. 至少有一实根 C.没有实根 减函数,则 f(1)等于( A.-3 -x)的( B.13 ) C.7

4、函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+ ∞]时增函数,当 x∈ ?? ? ,? 2 ? 时,是

5、 已知定义域为 R 的偶函数 y=f(x)的一个单调区间是(2,6),则函数 y=f(2

A.对称轴为 x=-2,且一个单调区间是(4,8) B.对称轴为 x=-2,且一个单调区间是(0,4)
1

C.对称轴为 x = 2, 且一个单调区间是(4,8) D.对称轴为 x = 2, 且一个单调区间是(0,4) 6、已知 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f( 2-x2 ),那么 g(x)( ) A.在区间(-1,0)上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数 7、已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B((3,1)是其图象上的两点, 那么|f(x+1)| <1 的解集的补集是( A.(-1,2) C.(-∞,-1]∪[4,+ ∞) B.(1,4) D.(-∞,-1]∪[2,+ ∞) )

8、设函数 f(x)的定义域为 R,则有下列命题: ①y=f(x)为偶函数,则 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称 ②y=f(x+2)为偶函数,则 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称 ③若 f(x-2)=f(2-x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称 ④y=f(x-2)和 y=f(2-x)的图象关于直线 x=2 对称 其中正确的结论是( )
x

A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④ 9、设函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? 3 ,则 f ? ? 2 ? 等 于( ) A. ? 1 B.
11 4

C.1

D. ?

11 4

10、函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的定义域相同,且对定义域中任何 x 有 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 , g ? ? x ? g ? x ? ? 1 ,若 g ? x ? ? 1 的解集是 ? 0 ? ,则函数
F ?x? ?

?x? ? g ?x? ?1
2f

f

? x ? 是(



A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 二、填空题:请把答案填在题中横线上。 (每小题 5 分,共 25 分) 11、设 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数,则 y ? f ? x ? 3 ? 的单调递减区间
2



;
?g ?x? ? x ? x ? 2
2

g 12. 已知 f ? x ? 为偶函数, ? x ? 是奇函数, f ? x ? 且 g ? x ? 分别为 ;

, f ?x? 、 则

13.定义在 ? ? 1, 1? 上的奇函数 f ? x ? ?
n ?

x?m x ? nx ? 1
2

,则常数 m ?





14.一般地,家庭用电量 y(千瓦)与气温 x(℃)有函数关系 y ? f ( x ) 。 图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温,图(2)表示某家庭 在 12 个月中每月的用电量. 试在数集 A ? { x | 5 ? x ? 30 , x 是 2.5 的整数倍}中确定一个最小值 x 1 和最大值 x 2 , 使 y ? f ( x )是 [ x 1 , x 2 ] 上的增函数,则区间[ x 1 ,x2]= .

15、 f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,它们的定义域都是{x|x≠±1,x∈R}且满 足 f(x)+g(x)=
1 x ?1

,则 f(x)=____

,

g(x)=______

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (12×4+ 13+14=75 分) 16、设 f(x)是定义在( 0 ,+ ∞)上的增函数 ,且 f( ) = f(x) - f(y)
y x

①求 f(1)的值.
3

②若 f(6) = 1,解不等式 f( x+3 )- f(

1 x

) <2 .

17.已知 f ? x ? ?

1? ? 1 x? x ? ?? x ? 0? , ? 2 ?1 2 ?

⑴判断 f ? x ? 的奇偶性;

⑵证明 f ? x ? ? 0 .

18.⑴已知 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? 0} ,且 2 f ( x) 奇偶性。 ⑵函数
f( x ? f (x) y? )

1 ? f ( ) ?x x

,试判断 f ( x ) 的 都有

定义域为 R ,且对于一切实数 f( x ) ? f( y ) ,试判断 f ( x ) 的奇偶性。

x, y

19.若 f ( x ) 是定义在 ? 0, ? ? ? 上的增函数,且 f

? x? ? ?? f ? y?

?x? ?

f

? y?

⑴求 f ? 1 ? 的值;⑵若 f ? 6 ? ? 1 ,解不等式 f ? x ? 3 ? ?

?1? f ? ?? 2 ? x?



4

20.已知 f ? x ? ? ⑴设 g ? x ? ?

x ?c
2

,且 f

?f ?

? x ?? ?

? f

?x

2

? 1?



f ?f ?

? x ? ? ,求 g ? x ? 的解析式; ?

⑵设 ? ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ,问是否存在实数 ? ,使 ? ? x ? 在 ? ? ? , ? 1 ? 上是 减函数,并且在 ? ? 1, 0 ? 上是增函数.

21.已知 ≤ a ≤1,若函数 f ? x ? ? a x
3

1

2

? 2 x ? 1 在区间[1,3]上的最大值为
M

M

? a ? ,最小值为 N ? a ? ,令 g ? a ? ?
1

?a? ? N ?a? .

(1)求 g ? a ? 的函数表达式; (2)判断函数 g ? a ? 在区间[ ,1]上的单调性,并求出 g ? a ? 的最小
3

值 .

高一数学同步测试参考答案 一、选择题:BDDBC 二、填空题: ADD AB 12. x
, g (x) ? x x ?1
2
2

11. ? 3, ? ? ? ;
1 x ?1
2

? 2, x



13. 0 ,

0



14. ?20 , 27 . 5 ? .15. f ( x ) ? 三、解答题:

5

16.解①在等式中 令 x ?

y ? 0 ,则

f(1)=0.

②在等式中令 x=36,y=6 则
f( 36 6 ) ? f ( 36 ) ? f ( 6 ), ? f ( 36 ) ? 2 f ( 6 ) ? 2 .

故原不等式为: f ( x ? 3 ) ? f ( ) ? f ( 36 ), 即 f(x(x+3) )<f(36),又
x

1

f(x)在(0,+∞)上为增函数,故不等式等价于:
?x ? 3 ? 0 ? ?1 ? 0? x ? ? ? 0 x ? ? 0 ? x ( x ? 3 ) ? 36 ?

153 ? 3 2

.

17.解:⑴ f ? x ? 的定义域为 ? ? ? , 0 ? ? ? 0, ? ? ? ,它关于原点对称,又
1 ? x ? 2 ? 1? ? 1 f ?x? ? x? x ? ?? ? x ? 0? x ? 2 ? 1 2 ? 2 ? 2 ? 1?
x

∴ f ??x?

?

?x ?2 2?2

?x

? 1? ? 1?

?x

?

x ? 2 ? 1?
x

2 ? 2 ? 1?
x

? f
x

? x ? ,∴ f ? x ? 为偶函数;

⑵证明:∵当 x ? 0 时, 2 ∴ f ?x? ?
1? ? 1 x? x ? ??0 ? 2 ?1 2 ?

x

? 1,

2 ?1 ? 0 ,



当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,∴ f ? ? x ? ? 0 . 又 f ? x ? 为偶函数,∴ f ? ? x ? ? f ? x ? , 故当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 . 综上可得: f ? x ? ? 0 成立. 18.解:⑴∵ f ( x ) 的定义域为 { x | x ? 0} ,且 2 f ( x ) ?
1 f( )? x x



6

令①式中 x 为 得: 2 f (
x

1

1 x

) ? f (x) ?

1 x



解①、②得 f ( x ) ? 又∵ f ( ? x ) ?
2

2x ?1
2


2x ?1
2

∵定义域为 { x | x ? 0} 关于原点对称,
? ? f ( x ) ,∴ f ( x ) ?

3x

2(? x) ? 1 3( ? x )

? ?

2x ?1
2

是奇函数.

3x

3x

⑵∵定义域关于原点对称, 又∵令 x ? 得 f (0) ? f (0) ? f (0) 则 f (0 ) ? 0 , 再令 y ? ? x 得 f (0) ? f ( x ) ? f ( ? x ) , ∴ f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,∴原函数为奇函数. 19.解:⑴在等式中令 x ? ⑵在等式中令 x ? 3 6,
f ? 36 ? ? 2 f ? 6 ? ? 2
y ?0

y ?0

,则 f ? 1 ? ? 0 ; ,

? 36 ? y ? 6则 f ? ? ? f ?36 ? ? f ? 6 ? ? 6 ?


1 f ( ) ? f ( 36 ), x

故原不等式为: f ( x ? 3 ) ?
?x ? 3 ? 0 ? ?1 ? 0? x? ? ?0 ?x ? 0 ? x ( x ? 3) ? 3 6 ?
4

即 f ? x ( x ? 3) ? ?

f (3 6 ) ,

又 f ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 上为增函数,故原不等式等价于:
153 ? 3 2



20.解:⑴ g ( x ) ? x ? 2 x ? 2 ;
(2)? ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) ? x ? (2 ? ? ) x ? (2 ? ? ) ,
2
4

? ( x 2 ) ? ? ( x1 ) ? ( x1 ? x 2 )
( x 2 ? x1 )[ x1 ? x 2 ? ( 2 ? ? )] ? ①
2 2

设 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? 1, 则 ( x1 ? x 2 )( x 2 ? x1 ) ? 0, x1 ? x 2 ?
2 2

2 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? ? ②由①、②知,

当 4 ? ? ? 0 即 ? ? 4时 , ? ( x ) 在 ( ? ? , ? 1) 上 是 减 函 数 ; 同理当 ? ? 4 时, ? ( x ) 在(-1,0)上是增函数。

于是有,当 ? ? 4时 , ? ( x ) 在(-∞,-1)上是减函数,
7

且在(-1,0)上是增函数。 21.解: (1)∵ 轴为 x ? ∴
f
1 a

1 3

? a ? 1,? f ( x )

的图像为开口向上的抛物线,且对称

? [1, 3 ].

? x ? 有最小值 N ( a ) ? 1 ?
1 a

1 a

.

当 2≤ ≤3 时, a ? [
1

1 1 , ], f ( x ) 有最大值 M 3 2

?a? ?

f ?1 ? ? a ? 1 ;

1 当 1≤ <2 时,a∈( ,1], f ( x ) 有最大值 M(a)=f(3)=9a-5; a

2

1 1 1 ? a ? 2 ? ( ? a ? ), ? ? a 3 2 ? g (a ) ? ? ? 9 a ? 6 ? 1 ( 1 ? a ? 1). ? a 2 ? 1 1 (2)设 ? a1 ? a 2 ? , 则 3 2 1 g ( a 1 ) ? g ( a 2 ) ? ( a 1 ? a 2 )(1 ? ) ? 0,? g ( a 1 ) ? g ( a 2 ), a1 a 2

1 1 ? g ( a ) 在 [ , ] 上是减函数. 3 2



1 2

? a 1 ? a 2 ? 1, 则
1 a1 a 2 ) ? 0,? g ( a 1 ) ? g ( a 2 ),

g ( a 1 ) ? g ( a 2 ) ? ( a 1 ? a 2 )(9 ?

1 1 ? g ? a1 ? 在 ( ,1] 上是增函数.∴当 a ? 时, g ? a ? 有最小值 1 . 2 2 2

8


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