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宁夏大学附属中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试卷


宁大附中 2016-2017 学年第一学期期中考试 高二数学(理)试卷
命题人:李建忠 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 a ? b ? 0 ,则( A. a 2 ? ab ) C. a 2 ? b 2 ) D. a 2 ? b 2 审核人:马振卿

B. ab ? b 2

2.等比数列 ?a n ?中, a

4 ? 4 ,则 a 2 ? a 6 ? ( A.4 B.8 C.16 D.32

3.已知等差数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n ,若 a3 + a9 =6,则 S11= ( A.12 B.33 C.66 D.99

)

4.在△ ABC 中,BC=2,B=

?
3

,当△ ABC 的面积等于

3 时,c= ( 2
D. 1

)

A.

3 2

B. 3

C. 2

5.若关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 是( A. )

1 ? 0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围 4

? ?1,1?

B.

? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ?

C.

? ??, ?1? ? ?1, ?? ?

D. ? ?2, 2 ? 6.已知 ?ABC 中, A ? 30 , C ? 105 , b ? 8 ,则 a 等于(
? ?

) D. 4 5

A. 4

B. 4 2

C. 4 3

? y?x ? 7.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (



8.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形



D.不能确定

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9. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , 若 a5 、 那么 a9 、 a15 成等比数列,

a9 等于 ( a5



A.

2 3

B.

3 2

C.

3 4

D.

4 3
) D.13

1 4 10.当 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 时, x ? y 的最小值为( x y

A.9

B.10

C.12

4 11.已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则 ?an ? 的前 10 项和等于( ) 3 1 A. -6 ?1-3-10 ? B. ?1-310 ? C. 3 ?1-3-10 ? D. 3 ?1+3-10 ? 9

12.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? (1 ? x )(1 ? y ) 若不等式 ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 1 对任意 实数 x 成立,则 A. ? 1 ? a ? 1 ( B. ?2 ? a ? 0 ) C. 0 ? a ? 2 D. ?
3 1 ?a? 2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
1 13.在 △ ABC 中, b ? 3 , c ? 5 , cos A ? ? ,则 a ? 2

.

14. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色地面砖_________________块.

15.不等式 ( x ? 2) 2 ? 2 x ? 11 的解集为

____.
Sn a 2n = , 则 11 =_________ Tn 3n ? 1 b11

16. 等差数列 ?an ?, 若 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn、Tn ,

高二数学(理)答题卷
一、将选择题答案填在下面表格中(每小题 5 分,共 60 分)
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位号:

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 三、解答题 三、解答题 17. (10 分)已知等差数列 ?an ?中, a1 ? 1, a3 ? ?3 (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?an ?前 k 项和 S k ? ?35 ,求 k 的值。 14、 15、 16、

18. (12 分)若不等式 ax 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ? ?x

1 ? ? x ? 2? , ? 2 ?

(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ)求不等式 ax 2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集.

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19. (12 分) 在锐角△ABC 中,a, b, c 分别为角 A、 B、 C 所对的边, 且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c = 7 且△ABC 的面积为
3 3 ,求 a ? b 的值. 2

20. (12 分)已知数列 ?a n ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a 2 ? a3 ? 12. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? a n x n ( x ? R). 求数列 ?bn ?前 n 项和的公式.

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21. (12 分)如图, A 、 B 是海平面上的两个上岛,为测量 A 、 B 两岛向的距离, 测量船以 15 海里/小时的速度沿既定直线 CD 航行,在 t1 时刻航行到 C 处, 测 得 ?ACB ? 75? , ?ACD ? 120? , 1 小 时 后 测 量 船 到 达 D 处 , 测 得

?ADC ? 30? ,?ADB ? 45? ,求 A 、 B 两小岛的距离。 (注: A 、 B 、C 、 D
在同一平面)

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? x ? 2 y ? 2n ? 22 . ( 12 分)已知点 ( x, y ) 是区 域 ? x ? 0 ,( n ? N * ) 内的点,目标函数 ? y?0 ?

z ? x ? y ,z 的最大值记作 z n .若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a1 ? 1 ,且点 ( S n , an )
在直线 z n ? x ? y 上. (Ⅰ)求 z n ; (Ⅱ)证明:数列 {an ? 2} 为等比数列; (Ⅲ)求数列 {S n } 的前 n 项和 Tn .

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高二数学(理)答案 1.D 2.C 11.C 13. 7 12.B 14. 4n+2 15. [?1, 7] 16. 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.A

21 32

17.解: (1)∵ a3 ? a1 ? 2d ∴ d ? ?2 ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2n (2) S k ? ka1 ?

k (k ? 1) d ? ?35 2

∴ k ? k (k ? 1) ? ?35

k 2 ? 2k ? 35 ? 0

∴ k ? 7 或 k ? ?5 (舍)

18.(1) a =-2 (2) {x ? 3 ? x ? } 19.(1)∵ =2csinA ∴正弦定理得 ,

1 2

∵A 锐角

∴sinA>0,


2 2 2

又∵C 锐角



(2)三角形 ABC 中,由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC 即 7=a +b ﹣ab,又由△ABC 的面积得
2 2 2 2 2



即 ab=6, ∴(a+b) =a +b +2ab=25 由于 a+b 为正,所以 a+b=5. 20.(Ⅰ)解:设数列 {a n } 公差为 d ,则 a1 ? a 2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12, 又 a1 ? 2, d ? 2. 所 以 a n ? 2n. (Ⅱ)解:令 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 则由 bn ? a n x n ? 2nx n , 得

S n ? 2 x ? 4 x 2 ? ? (2n ? 2) x n ?1 ? 2nx n , ①

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xS n ? 2 x 2 ? 4 x 3 ? ? ? (2n ? 2) x n ? 2nx n ?1 , ②
当 x ? 1 时,①式减去②式,得

(1 ? x) S n ? 2( x ? x 2 ? ? x n ) ? 2nx n ?1 ?
所以 S n ?

2 x(1 ? x n ) ? 2nx n ?1 , 1? x

2 x(1 ? x n ) 2nx n ?1 ? . 当 x ? 1 时, S n ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ? n(n ? 1) 1? x (1 ? x) 2 2 x(1 ? x n ) 2nx n ?1 ? . 1? x (1 ? x) 2

综上可得当 x ? 1 时, S n ? n(n ? 1) ;当 x ? 1 时, S n ?

21.

AB ? 5 15

22.(Ⅰ)由已知当直线过点 (2n, 0) 时,目标函数取得最大值,故 z n ? 2n (II)方程为 x ? y ? 2n ∵( S n , an )在直线 z n ? x ? y 上, ∴ S n ? an ? 2n ①∴ S n ?1 ? an ?1 ? 2(n ? 1), n ? 2 ②由①-②得, 2an ? an ?1 ? 2, n ? 2

∴ 2an ? an ?1 ? 2, n ? 2 , ∴ 2(an ? 2) ? an ?1 ? 2, n ? 2 ∵ a1 ? 2 ? ?1 ,

1 为公比的等比数列 2 1 1 (III)由(II)得 an ? 2 ? ?( ) n ?1 ,∴ an ? 2 ? ( ) n ?1 2 2 1 ∵ S n ? an ? 2n , ∴ S n ? 2n ? an ? 2n ? 2 ? ( ) n ?1 2
∴数列 {an ? 2} 以 ?1 为首项,

1 1 1 Tn ? [0 ? ( )0 ] ? [2 ? ( )] ? ??? ? [2n ? 2 ? ( ) n ?1 ] 2 2 2 1 0 1 1 ? [0 ? 2 ? ??? ? (2n ? 2)] ? [( ) ? ( ) ? ??? ? ( ) n ?1 ] 2 2 2 1 ∴ 1 ? ( )n n(2n ? 2) 2 ? n 2 ? n ? 2 ? ( 1 ) n ?1 ? ? 1 2 2 1? 2

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