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对数的基本概念及运算


第十讲 一:问题思考 问题 1:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取 5 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺?

对数的基本概念及运算

(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得

(2)可设取 x 次,则有

二:新知引入 1. 对数的概念:一般地,如果 数,记作: ,其中 叫做对数的底数, ,那么数 叫做以 为底 叫做真数。 的对

注意:①是否是所有的实数都有对数呢? 负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0 且 a≠1。 思考:为什么对数的定义中要求底数 a>0 且 a≠1? 对数的书写格式

2、对数式与指数式的互化

a x ? N ? x ? loga N
幂底数 ← a → 对数底数 指数(指数函数的自变量) ← b → 幂(指数函数的函数值) ← N → 对数 真数

3、对数的形式 ①常用对数:以 10 为底的对数
,简记为: lgN

②自然对数:以无理数 e=2.71828…为底的对数的对数 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以 e 为底的对数) ③一般对数: 注意:对数的书写 课堂练习 1 将下列指数式写成对数式: (1)
(2) (含有常用对数和自然对数)

(3)

(4)

2 将下列对数式写成指数式: (1) (3) 3 求下列各式的值: (1)
(2) (2)

2. 对数运算 (1) 基本性质 ①0 和负数没有对数,即 N>0 ②1 的对数是 0,即 loga 1 ? 0 ③底数的对数等于 1,即 loga a ? 1 ④对数恒等式: a (2) 运算法则 如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 3 ) 2) log a
log a N

?N

M ? log a M ? log a N ; N
, 例
4

loga M n ? n loga M (n ? R ) 。 ( 例 题

p111

, 计

7 ? 算: (1 ) 2 ? log3 4 3 ? ( 3 ? 1) lg1 ? log5 35 ? log5 7 ) 9

1

对数计算练习题
一、选择题 1、以下四式中正确的是( )

A、log22=4

B、log21=1 )

C、log216=4

D、log2

=

2、下列各式值为 0 的是( A、1 3、2
log 2 1 5

B、log33 的值是( )

C、(2-

)° D、log2∣-1∣

A、-5

B、5

C、

D、-

二、填空题 1、用对数形式表示下列各式中的 x

10 =25:____; 2 =12:____;4 = 2、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________ 3、2log510+log50.25=_____________ 三、解答题 1、求下列各式的值 ⑴2log28 ⑵3log39 ⑶2
log 1 5 2

x

x

x

:____

⑷3

log 1 7 3

⑴lg10

-5

⑵lg0.01

⑶log2 (2)

(8) lg12.5 ? lg

5 1 ? lg ; 8 2

2 lg 2 ? lg 3 ; 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg 8 2 3

三、对数换底公式:

loga N ?

logm N ( a ? 0, a ? 1, m ? 0, m ? 1, N ? 0 ) logm a

四、两个常用推论

(1)

loga b * logb a ? 1 ? loga b ? loga b * logb c * logc a ? 1

1 logb a

(2) log a m b ?
n

n log a b 上节两道 m

(a,b 大于 0 且均不为 1) 【同步练习】 计算题 (1) 5
2log5 10?1

?



log (

2 ? 1 )

(? 3

2 ? 2) ;

7l o 7g

6 l6 o g 5 5 l o g 4

?

.

(2)已知 loga 2 ? m,loga 3 ? n ,求 a

2m ? n

.

(3)已知 2

6a

1 2 3 ? 33b ? 62c ,求证: ? ? . a b c

(4) log16 27log81 32 ;

(5) (log3 2 ? log9 2)(log2 3 ? log8 3) .

(6)已知 log3 4log4 8log8 m ? log 4 16 ,求 m .

(7)已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,则

lg 12 ? lg 15

.

(8) lg 2 ? a , lg 7 ? b ,则 log8 9.8 =

.


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