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高中数学 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


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第五节
自 主 落 实 ? 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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典 例 探 究 ? 提 知 能

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1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)六个公式: sinαcosβ±cosαsinβ ①sin(α±β)=__________________________; cosαcosβ?sinαsinβ ②cos(α ±β )=__________________________; tan α ±tan β 1?tan α tan β ③tan(α±β)=________________. (2)公式 T(α±β)的变形: tan(α+β)(1-tan αtan β) ①tan α +tan β =___________________________; tan(α-β)(1+tan αtan β) ②tan α -tan β =___________________________.

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2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)三个公式: 2sinαcosα ①sin 2α =________________; ②cos 2α =cos2α -sin2α =___________=___________; 2cos2α-1 1-2sin2α 2tan α ③tan 2α =___________. 1-tan2α (2)公式S2α 、C2α 的变形: 1 sin 2α ①sin α cos α =_____________; 2 1 (1-cos 2α ) 2 2 ②sin α =______________; 1 (1+cos 2α ) 2 ③cos2α =________________.

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1.你能用 tan α 表示 sin 2α 与 cos 2α 吗?

【提示】

2sin αcos α 2tan α sin 2α= 2 = , 2 2 sin α+cos α 1+tan α

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cos2α-sin2α 1-tan2α cos 2α= 2 = . cos α+sin2α 1+tan2α
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2.若 sin α +cos β =m,cos α +sin β =n,你能用 m、n 表示 sin(α+β)吗?
【提示】 由 sin α+cos β=m 得 sin2α+cos2β+ 2sin αcos β=m2, 由 cos α +sin β=n 得 cos2α+sin2β+2cos αsin β=n2, 1 2 2 2 ∴2+2sin(α+β)=m +n , ∴sin(α+β)= (m +n2-2). 2

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1.(人教A版教材习题改编)sin 34°sin 26°-cos 34° cos 26°的值是( ) 1 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2

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sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°=- 1 (cos 34°cos 26°-sin 34°sin 26°)=-cos 60°=- . 2
【答案】 C

【解析】

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3 2.下列各式中,值为 的是( ) 2 A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215° C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°

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1 【解析】 2sin 15°cos 15°=sin 30°= ,cos215° 2 3 2 -sin 15°=cos 30°= ,2sin215°-1=-cos 30°=- 2 3 , 2 sin215°+cos215°=1.故选B.

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【答案】

B





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(

3.已知tan(α+β )=3,tan(α-β)=5,则tan ) 1 1 4 4 A. B.- C. D.- 8 8 7 7

2α =
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【解析】

tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]

tan(α+β)+tan(α-β) 3+5 4 = = =- . 7 1-tan(α+β)· tan(α-β) 1-3?5
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【答案】

D

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π 4 4.若cos α =- ,α是第三象限角,则sin(α+ )= 5 4 ( ) 7 2 7 2 2 2 A.- B. C.- D. 10 10 10 10
π 3 【解析】 由题意知sin α=- ,∴sin(α+ )=sin 5 4 π π 3 2 4 2 7 2 αcos +cos αsin =- ? +(- )? =- . 4 4 5 2 5 2 10

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【答案】

A

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sin α+cos α 1 5.(2012· 江西高考)若 = ,则tan 2α = sin α-cos α 2 ( ) 3 A.- 4
【解析】

3 4 4 B. C.- D. 4 3 3 sin α+cos α 1 由 = ,等式左边分子、分 sin α-cos α 2

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tan α+1 1 母同除cos α得, = ,解得tan α=-3,则tan tan α-1 2 2tan α 3 2α= = . 2 1-tan α 4
【答案】
菜 单

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B

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化简:(1)sin 50°(1+ 3tan 10°); θ θ (1+sin θ+cos θ)(sin -cos ) 2 2 (2) (0<θ< 2+2cos θ π ).
【思路点拨】 (1)切化弦,逆用两角和的正弦公式;

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(2)统一为 的三角函数,变形化简. 2

θ

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【尝试解答】

(1)sin 50°(1+ 3tan 10°)

cos 10°+ 3sin 10° =sin 50°( ) cos 10° 1 3 2sin 50°( cos 10°+ sin 10°) 2 2 = cos 10° 2sin 50°sin(30°+10°) = cos 10° 2sin 50°cos 50° sin 100° cos 10° = = = =1. cos 10° cos 10° cos 10°

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θ π (2)由θ∈(0,π),得0< < , 2 2 θ ∴cos >0. 2 θ 因此 2+2cos θ= 4cos =2cos . 2 2 θ θ 又(1+sin θ+cos θ)(sin -cos ) 2 2 θ θ θ θ 2θ =(2sin cos +2cos )(sin -cos ) 2 2 2 2 2 θ θ 2θ 2θ =2cos (sin -cos )=-2cos cos θ. 2 2 2 2 θ -2cos cos θ 2 故原式= =-cos θ. θ 2cos 2
菜 单



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1.本题(2)中有开方运算,联想二倍角公式的特征进行 升幂,化为完全平方式.

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2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的
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差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而 确定使用的公式,常见的有“切化弦”; (3)三看“结构特征”帮助我们找到变形的方向.
菜 单

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化简:(1) 2+2cos 8+2 1-sin 8; 1 2cos x-2cos x+ 2 (2) . π π 2 2tan( -x)sin (x+ ) 4 4
4 2

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【解】
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(1) 2+2cos 8+2 1-sin 8
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= 2(1+cos 8)+2 1-2sin 4cos 4 = 2?2cos24+2 (sin 4-cos 4)2 =-2cos 4+2(cos 4-sin 4) =-2sin 4.
菜 单

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1 2cos x(cos x-1)+ 2 (2)原式= π π 2 2tan( -x)· ( -x) cos 4 4 -4cos2xsin2x+1 1-sin22x = = π π π 4cos( -x)sin( -x) 2sin( -2x) 4 4 2 cos22x 1 = = cos 2x. 2cos 2x 2
2 2

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π 4 (1)(2012· 江苏高考)设α为锐角,若cos(α+ )= ,则 6 5 π sin(2α+ )的值为________. 12 π 4 3 (2)(2013· 烟台模拟)已知cos(α- )+sin α = ,则 6 5 7π sin(α+ )=________. 6

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π π π π 【思路点拨】 (1)2α+ =2(α+ )- ,求出α+ 12 6 4 6 的正弦、余弦,再代入求解; π (2)先用两角差的余弦公式展开cos(α- ),再逆用公式 6 7 合并,最后用诱导公式求sin(α+ π). 6
【尝试解答】 π 4 (1)∵α为锐角且cos(α+ )= , 6 5

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π 3 ∴sin(α+ )= . 6 5 π π π ∴sin(2α+ )=sin[2(α+ )- ] 12 6 4
菜 单

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π π π π =sin 2(α+ )cos -cos 2(α+ )sin 6 4 6 4 π π π 2 2 = 2sin(α+ )cos(α+ )- [2cos (α+ )-1] 6 6 2 6 3 4 2 42 = 2? ? - [2?( ) -1] 5 5 2 5 12 2 7 2 17 2 = - = . 25 50 50 π π π (2)cos(α- )+sin α=cos αcos +sin αsin + 6 6 6 sin α

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π 4 3 3 = cos α+ sin α= 3sin(α+ )= 3. 2 2 6 5 π 4 ∴sin(α+ )= , 6 5 π 7 π 4 ∴sin(α+ π)=sin(π+α+ )=-sin(α+ )=- . 6 6 6 5
17 2 【答案】 (1) 50 4 (2)- 5

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给值求值问题,解决的关键是把所求角用已知角表示. (1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角 的和或差的形式. (2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角

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的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角.

(3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号.

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π 3π π 3π 3 已知0<β< <α< ,cos( -α)= ,sin( +β) 2 4 4 5 4 5 = ,求sin(α+β)的值. 13
3π π π 【解】 因为sin( +β)=sin[ +( +β)] 4 2 4 π 5 =cos( +β)= , 4 13 π 3π 又因为0<β< <α< , 2 4

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π π 3π π π π 所以 < +β< ,- < -α<- , 4 4 4 2 4 4 π 故sin( +β)= 4 12 , 13 π 1-cos ( +β)= 4
2

5 2 1-( ) = 13

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π sin( -α)=- 4 4 =- . 5

π 1-cos ( -α)=- 4
2

3 2 1-( ) 5
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π π 所以sin(α+β)=sin[( +β)-( -α)] 4 4 π π π π =sin( +β)cos( -α)-cos( +β)sin( -α) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 = ? - ?(- )= . 13 5 13 5 65

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π α 1 2 已知0<α< <β<π ,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求sin α 的值;(2)求β的值.

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【尝试解答】

(1)由tan

α 1
2

= , 2

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4 得tan α= = , 3 2α 1-tan 2 3 ∴cos α= sin α ,①又sin2α+cos2α=1,② 4 由①、②联立,得25sin2α=16, π 4 ∵0<α< ,∴sin α= . 2 5

2tan

α
2

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3 4 (2)由(1)知,cos α= ,sin α= 5 5 π 又0<α< <β<π,∴0<β-α<π. 2 π 2 由cos(β-α)= ,得0<β-α< . 10 2 98 7 2 ∴sin(β-α)= = , 10 10 ∴sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos 7 2 3 2 4 25 2 2 α)· α= sin ? + ? = = . 10 5 10 5 50 2 π 3 由 <β<π得β= π. 2 4
菜 单

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α+cos(β-

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π 2 1.第(2)问中,由sin β = 易错误得出β = ,这些 2 4 错误的原因都是忽视了角的范围. 2.“给值求角”的求解思路:(1)求角的某一三角函数 值,(2)讨论角的范围,确定角的大小.其中求角的某一三 角函数值时,应选择在该范围内是单调函数,若角的范围 π π 是(0,π ),选余弦较好;若角的范围为(- , ),选正弦 2 2 较好.

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π 1 13 已知cos α = ,cos(α-β)= ,且0<β<α< ,试 7 14 2 求角β的值.
π 1 【解】 由cos α= ,0<α< ,得sin 7 2 1 2 4 3 2 1-cos α= 1-( ) = . 7 7 π π 由0<β<α< ,得0<α-β< . 2 2 13 又∵cos(α-β)= , 14 3 3 2 ∴sin(α-β)= 1-cos (α-β)= , 14
菜 单

α=

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由β=α-(α-β),得 cos β=cos[α-(α-β)]=cos sin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = ? + ? = . 7 14 7 14 2 π π 又0<β< ,所以β= . 2 3

αcos(α-β)+sin

α

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三角函数是定义域到值域的多对一的映射,时刻关注角 的范围是防止增解的有效措施.

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1.拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)- α+β α-β α-β β α β,β= - , =(α+ )-( +β). 2 2 2 2 2 2.化简技巧:切化弦,“1”的代换等.

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1.变角:设法沟通所求角与已知角之间的关系. 2.变名:尽可能减少函数名称,其方法是“弦切互 化”、“升幂与降幂”等. 3.变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、

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降低次数等.
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从近两年的高考试题来看,和差角公式、二倍角公式是 高考的热点,常与三角函数式的求值、化简交汇命题.题型 全面,难度中低档,源于教材,主要考查公式的灵活运用,

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三角恒等变换能力以及化归转化等数学思想.

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规范解答之五
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三角函数的给值求值问题
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x π (12分)(2012· 广东高考)已知函数f(x)=Acos( + ), 4 6 π x∈R,且f( )= 2. 3 (1)求A的值; π 4 30 2 (2)设α,β∈[0, ],f(4α+ π )=- ,f(4β- π )= 2 3 17 3 8 ,求cos(α+β)的值. 5

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π π π 【规范解答】 (1)由f( )= 2得Acos( + )= 2, 3 12 6 ····················2分 π 即A· cos = 2,∴A=2. ········4分 4 x π (2)由(1)知f(x)=2cos( + ). 4 6 4 30 ? ?f(4α+3π)=-17, 由? ?f(4β-2π)=8, 3 5 ?

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? ?2cos(α+π+π)=-30, ? 3 6 17 得? ·······6分 π π 8 ? ?2cos(β- 6 + 6 )=5, ? 15 ? ?sin α=17, 解得? ············8分 4 ?cos β= . 5 ? π 8 2 ∵α,β∈[0, ],∴cos α= 1-sin α= , 2 17 3 2 sin β= 1-cos β= . ········· 10分 5

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8 4 15 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= ? - 17 5 17 3 13 ? =- . ················12分 5 85

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π 【解题程序】 第一步:根据f( )= 2求A的值; 3 4 30 2 8 第二步: 根据f(4α+ π)=- ,f(4β- π)= ,求 3 17 3 5 sin α、cos β; 第三步:求cos α,sin β的值; 第四步:根据两角和的余弦公式求cos(α+β).

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易错提示:(1)在利用诱导公式求sin α时,符号出错. (2)在利用两角和的余弦公式时,公式记忆不准确,导 致失误. 防范措施:(1)在利用诱导公式时,先判断角的范围,

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确定三角函数值的符号,再写出结果. (2)对于两角和与差的余弦公式,应特别注意符号的差
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别,防止出错.





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(

1 1. (2012· 江西高考)若 tan θ + =4, sin 2θ = 则 tan θ ) 1 1 A. B. 5 4 1 1 C. D. 3 2

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【解析】

sin θ cos θ 1 由 tan θ + = + = tan θ cos θ sin θ

1 =4, sin θcos θ

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1 1 得 sin θcos θ= ,则 sin 2θ=2sin θcos θ=2? 4 4 1 = . 2
【答案】 D

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2.(2012· 陕西高考)设向量 a=(1,cos θ )与 b=(-1, 2cos θ )垂直,则 cos 2θ 等于( ) 2 1 A. B. 2 2 C.0 D.-1
【解析】 a=(1,cos θ),b=(-1,2cos θ).

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∵a⊥b,∴a·b=-1+2cos2θ=0,
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∴cos 2θ=2cos2θ-1=0.
【答案】 C

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课后作业(二十)

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