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第二部分 第二天


第二天
[知识回扣] 1.平抛运动(如图 1 所示) (1)平抛运动的规律

物体的曲线运动

水平方向:匀速直线运动 ax=0,vx=v0,x=v0t. 1 竖直方向:自由落体运动 ay=g,vy=gt,y= gt2. 2

图1 瞬时速度:v= vy gt tan β= = . vx v0
2 v

2 0+vy = 2 v2 0+?gt? =

v2 0+2gy,vx=v0=vcos β,vy=vsin β.

y gt 合位移:s= x2+y2,位移方向与水平方向的夹角为 α:tan α= = . x 2v0 (2)重要推论: 速度偏角与位移偏角的关系为 tan β=2tan α 平抛物体运动到任一位置 A,过 A 点作其速度方向反向延长线交 Ox 轴于 C 点,有 OC x = . 2 2.匀速圆周运动的规律 1 2π 2π (1)v、ω、T、f 及半径的关系:T= ,ω= =2πf,v= · r=2πf· r=ωr. f T T 2 2 v 4π (2)向心加速度大小:a= =ω2r=4π2f2r= 2 r. r T v2 4π2 2 (3)向心力大小:F=ma=m =mω r=m 2 r=4π2mf2r. r T 3.竖直平面内的圆周运动问题 (1)无支撑的小球,在竖直平面内做圆周运动过最高点情况(如图 2):

图2 ①临界条件:由 mg+FT=mv2/R 知,小球速度越小,绳拉力或轨道压力 FT 越小,但 FT v2 临 的最小值只能为零,此时小球的重力提供向心力,小球恰能通过最高点,即 mg=m . R 临界速度 v 临= gR. ②能过最高点条件:v≥v 临(当 v≥v 临时,绳、轨道对球分别产生拉力、压力). ③不能过最高点条件:v<v 临(实际上球还未到最高点就脱离了轨道). (2)有支撑的小球,在竖直平面做圆周运动过最高点情况(如图 3):

图3 ①临界条件:杆和环对小球有支持力的作用. v2 由 mg-FN=m 知,当 v=0 时,FN=mg(可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点). R ②当 0<v< gR时,支持力 FN 向上且随 v 增大而减小;且 mg>FN>0. ③当 v= gR时,FN=0 ④当 v> gR时,FN 向下(即拉力或压力)随 v 增大而增大,方向指向圆心. m1m2 - 4.万有引力公式:F=G 2 ,其中 G=6.67×10 11 N· m2/kg2 r (1)重力和万有引力的关系 Mm 4π2 ①在赤道上,有 G 2 -mg=mRω2=mR 2 . R T Mm ②在两极时,有 G 2 =mg R (2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系 v2 Mm GM ①由 G 2 =m 得 v= ,所以 R 越大,v 越小. R R R Mm GM ②由 G 2 =mω2R,得 ω= ,所以 R 越大,ω 越小. R R3 Mm 4π2 4π2R3 ③由 G 2 =m 2 R 得 T= ,所以 R 越大,T 越大. R T GM (3)求中心天体的质量 M 和密度 ρ Mm 2π 由 G 2 =m( )2r, r T 4π2r3 M 3πr3 可得 M= 2 ,ρ= = 3 2. GT 4 3 GR T πR 3 3π 当 r=R,即近地卫星绕中心天体运行时,ρ= 2. GT [方法回扣] 1.平抛运动的处理方法 解答平抛运动问题要把握以下几点: (1)根据实际问题判断是分解瞬时速度,还是分解运动的位移; (2)将某时刻速度分解到水平方向和竖直方向,由于水平方向物体做匀速直线运动,所以 水平分速度等于抛出时的初速度,竖直方向做自由落体运动,满足自由落体运动规律; (3)无论分解速度还是位移,都要充分利用图形中的已知角,过渡到分解后的矢量三角形 中,再利用三角形的边角关系列式计算. 2.天体运动问题的分析思路和方法 (1)两条基本思路 ①当天体转动时,由万有引力提供向心力 v2 Mm 2π G 2 =m =mω2r=m( )2r r r T

主要用于计算天体的质量,讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题. Mm ②在地面附近万有引力近似等于物体的重力, G 2 =mg.主要用于计算涉及重力加速度的 R 问题. (2)卫星变轨问题的分析方法 v2 v2 卫星绕天体稳定运行时,F 引=m .当卫星由于某种原因速度 v 突然改变时,F 引和 m 不 r r 2 m v GM 再相等,因此不能再根据 v= 来确定 r 的大小.当 F 引> 时,卫星做近心运动; r r mv2 当 F 引< 时,卫星做离心运动. r 3.第一宇宙速度的计算方法 方法一 设想在地球表面附近有一颗人造地球卫星, 地球对卫星的万有引力提供卫星做圆 2 v mM GM GM 周运动的向心力, 由G =m , 得到 v= .因为 R?h, 所以 v≈ , R ?R+h?2 ?R+h? R+h 若已知地球的质量和半径,则可计算第一宇宙速度的值. 方法二 设想在地球表面附近有一颗人造地球卫星, 它受到的重力近似等于地球对卫星的 v2 万有引力, 而万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力, 由 mg=m 得到 v= g?R+h?. R+h 因为 R?h,所以 v≈ gR,若已知地球表面附近的重力加速度和地球半径,则可计算出第 一宇宙速度的值. 4.中心天体质量和密度的计算方法 (1)当卫星绕行星或行星绕恒星做匀速圆周运动时,根据题目提供的不同条件,在下面四 种情况下都可求解中心天体的质量: Mm gr2 ①若已知卫星在某一高度的加速度 g 和环绕的半径 r,根据 G 2 =mg,得 M= ; r G v2 rv2 Mm ②若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度 v 和半径 r,根据 G 2 =m ,得 M= ; r r G Mm 4π2 4π2r3 ③若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和半径 r,由 G 2 =m 2 r,得 M= 2 ; r T GT vT v3T Mm 2π ④若已知卫星运行的线速度 v 和周期 T,根据 G 2 =mv· 和 r= ,得 M= . r T 2π 2πG 4 (2)要想求中心天体的密度,还要知道中心天体的半径 R,由 M=ρV 和 V= πR3 求天体的 3 密度. 5.双星问题的分析方法 被相互引力组合在一起,互相绕转的两颗星就叫物理双星.双星绕公共圆心转动,如图 4 所示.双星系统具有以下几个特点:

图4 (1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即

Gm1m2 Gm1m2 =m1ω2 =m2ω2 1r1, 2r2 L2 L2 (2)两颗星的周期及角速度都相同,即 T1=T2,ω1=ω2 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为 r1+r2=L (4)两颗星到圆心的距离 r1、r2 与星体质量成反比,即 m1 r2 = m2 r1 (5)双星的运动周期 L3 T=2π G?m1+m2? (6)双星的总质量 4π2L3 m1+m2= 2 TG [习题精练] 1.如图 5 所示,隐形战斗机在竖直平面内作横 8 字形飞行表演,飞行轨迹 1→2→3→4→5→6→1,如果飞行员体重为 G,飞行圆周半径为 R,速率恒为 v,在 A、 B、C、D 四个位置上,飞机座椅或保险带对飞行员的作用力分别为 FNA、FNB、FNC、FND, 以下关于这四个力的大小关系说法正确的是 ( )

图5 A.FNA=FNB<FNC=FND B.FNA=FNB>FNC=FND C.FNC>FNA=FNB>FND D.FND>FNA=FNB>FNC 答案 A v2 v2 解析 设飞行员质量为 m,在 A、B 两点,FNA+G=m ,FNB+G=m ,则 FNA=FNB R R v2 v2 v2 v2 =m -G;在 C、D 两点,FNC-G=m ,FND-G=m ,则 FNC=FND=m +G,故正 R R R R 确选项为 A. 2.如图 6 所示,从倾角为 θ 的斜面上的某点先后将同一小球以不同初速度水平抛出,小球均 落到斜面上.当抛出的速度为 v1 时,小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为 α1,当 抛出的速度为 v2 时,小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为 α2,则( )

图6

A.当 v1>v2 时,α1>α2 B.当 v1>v2 时,α1<α2 C.无论 v1、v2 大小如何,均有 α1=α2 D.α=0 答案 C 解析 tan φ=tan (α+θ=2tan θ),由几何知识知 tan φ=2tan θ,无论 v 多大,因 θ 不变, 故 φ 不变,α 也不变,所以无论 v 多大,α1=α2,故 A、B、D 错误,C 正确.

3.2010 年 10 月 1 日,嫦娥二号卫星发射成功.作为我国探月工程二期的技术先导星,嫦娥 二号的主要任务是为嫦娥三号实现月面软着陆开展部分关键技术试验, 并继续进行月球科 学探测和研究.如图 7 所示,嫦娥二号卫星的工作轨道是 100 km 环月圆轨道Ⅰ,为对嫦 娥三号的预选着陆区——月球虹湾地区(图中 B 点正下方)进行精细成像, 北京航天飞行控 制中心对嫦娥二号卫星实施了降轨控制,嫦娥二号在 A 点轨道变为椭圆轨道Ⅱ,使其近 月点在虹湾地区正上方 B 点,距月面大约 15 公里.下列说法正确的是 ( )

图7 A.嫦娥二号卫星在 A 点的势能小于在 B 点的势能 B.嫦娥二号卫星变轨前后的机械能不相等 C.嫦娥二号卫星在轨道Ⅰ上的速度大于月球的第一宇宙速度 D.嫦娥二号卫星在轨道Ⅱ上 A 点的加速度大于在轨道Ⅰ上 A 点的加速度 答案 B 解析 因为 A 点高度大于 B 点的高度, 所以卫星在 A 点的势能大于在 B 点的势能, A项 错误;因为变轨瞬间卫星点火减速,做向心运动,则其机械能变小,B 项正确;因为轨 道Ⅰ的半径大于月球半径,所以卫星在轨道Ⅰ上的速度小于月球的第一宇宙速度,C 项 GM 错;由 a= 2 知,D 项错误. r 4.如图 8 所示,一个小球从高 h=10 m 处以水平速度 v0=10 m/s 抛出,撞在倾角 θ=45° 的 斜面上的 P 点,已知 xAC=5 m(g=10 m/s2),求:

图8 (1)P、C 之间的距离;

(2)小球撞击 P 点时速度的大小和方向. 答案 解析 (1)5 2 m (2)10 2 m/s,垂直于斜面向下 (1)设 P、C 之间的距离为 x,根据平抛运动规律有

xAC+xcos 45° =v0t 1 h-xsin 45° = gt2 2 联立解得 x=5 2 m,t=1 s (2)小球撞击 P 点时的水平速度 vx=v0=10 m/s,竖直速度 vy=gt=10 m/s,所以小球撞
2 击 P 点时速度的大小为 v= v2 设小球的速度方向与水平方向的夹角为 0+vy =10 2 m/s, vy α,则 tan α= =1,α=45° ,即方向垂直于斜面向下,所以小球垂直于斜面向下撞击 P v0

点.


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