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线面角、面面角强化训练


线面角、面面角强化训练
一.解答题(共 24 小题) 1. (2012?浙江) 如图, 在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AD∥BC, AD⊥AB, AB= .AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. 证明: (1) (i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2

)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

2. (2010?湖南)如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (Ⅰ)求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (Ⅱ)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

3. (2009?湖南)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=4,AA1= 点,点 E 在 AC 上,且 DE⊥A1E. (1)证明:平面 A1DE⊥平面 ACC1A1; (2)求直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值.

,点 D 是 BC 的中

4. (2008?上海)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 BC1 的中点.求直 线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

5. (2005?黑龙江)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD, AD=PD,E,F 分别为 CD,PB 的中点. (1)求证:EF⊥面 PAB; (2)若 ,求 AC 与面 AEF 所成的角.

6.如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三角形,AB=BC=2, CD=SD=1. (Ⅰ)证明:SD⊥平面 SAB; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小.

7. (2011?北京) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, AB=2, ∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

8. (2008?安徽) 如图, 在四棱锥 O﹣ABCD 中, 底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ∠ABC= OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. (Ⅰ)证明:直线 MN∥平面 OCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.



9. (2005?北京)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证 AC⊥BC1; (Ⅱ)求证 AC1∥平面 CDB1; (Ⅲ)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

10. (2009?江西) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=4, AB=2.以 AC 的中点 O 为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点 M,交 PC 于点 N (1)求证:平面 ABM⊥平面 PCD; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离.

11. (2008?海南)如图,已知点 P 在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的对角线 BD′上, ∠PDA=60°. (Ⅰ)求 DP 与 CC′所成角的大小; (Ⅱ)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.

12.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD, E 是 PC 上的一点,PE=2EC. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BED; (Ⅱ)设二面角 A﹣PB﹣C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.

,PA=2,

13. (2012?重庆)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中 点. (Ⅰ)求异面直线 CC1 和 AB 的距离; (Ⅱ)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1﹣CD﹣B1 的平面角的余弦值.

14. (2012?重庆)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中 点 (Ⅰ)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离; (Ⅱ)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1﹣CD﹣C1 的平面角的余弦值.

15. (2012?浙江)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是边长为 的菱形,∠BAD=120°, 且 PA⊥平面 ABCD,PA= ,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (1)证明:MN∥平面 ABCD; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A﹣MN﹣Q 的平面角的余弦值.

16. (2012?四川)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上. (Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 B﹣AP﹣C 的大小.

17. (2012?山东) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是等腰梯形, AB∥CD, ∠DAB=60°, FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F﹣BD﹣C 的余弦值.

18. (2011?辽宁) 如图, 四边形 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD, PD∥QA, QA=AB= PD. (I)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ (II)求二面角 Q﹣BP﹣C 的余弦值.

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥ 底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值.

20.如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的,底面边长是侧棱长 2 倍,D、E 分别是 AC、 A1C1 的中点; (Ⅰ)求证:直线 AE∥平面 BDC1; (Ⅱ)求证:直线 A1D⊥平面 BDC1; (Ⅲ)求直线 A1C1 与平面 BDC1 所成的角.

21.已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1 在底面 ABC 上的射影恰 为 AC 的中点 D,又知 BA1⊥AC1. (Ⅰ)求证:AC1⊥平面 A1BC; (Ⅱ)求 C1 到平面 A1AB 的距离; (Ⅲ)求二面角 A﹣A1B ﹣C 的余弦值.

22. 已知在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=1, AB=2, E、F 分别是 AB、PD 的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面 PEC; (Ⅱ)求 PC 与平面 ABCD 所成角的大小; (Ⅲ)求二面角 P 一 EC 一 D 的大小.

23.如图,ABCD﹣A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体,E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点,且 AE=BF. (1)求证:A1F⊥C1E; (2)当 A1、E、F、C1 共面时,求:①D1 到直线 C1E 的距离;②面 A1DE 与面 C1DF 所成 二面角的余弦值.

24.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AC1∥平面 CDB1; (Ⅱ)求点 B 到平面 CDB1 的距离; (Ⅲ)求二面角 B﹣B1C﹣D 的大小.


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