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浙江省学军中学2010届高考全真模拟试题数学文


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2010 年全国统一高考学军中学模拟考试 数学(文)试卷
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A = x x < 3 , B = {1, 2,3, 4} ,则 (C R A) I B =
A . {4} B . {3,4}

{<

br />
}





C . {2,3,4}

D . { ,2,3,4} 1

2. i 是虚数单位,若 (1 + i ) ? z = i ,则 z =
A.?





1 1 ? i 2 2

B .?

1 1 + i 2 2

C.

1 1 ? i 2 2

D.

1 1 + i 2 2
( )

3. “a=2”是“直线(a2-a) x + y = 0 和直线 2 x + y + 1 = 0 互相平行”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| a + 3 b | = ( A. 7 B. 10 C. 13 D.4

5.在等差数列 {a n } 中,若 a3 + a5 + a 7 + a 9 + a11 = 100, 则3a 9 ? a13 的值为( ) A.20 B.30

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C.40 ) D.

D.50

6. 执行下面的程序框图,若 p = 5 ,则输出的 S 等于 ( A.

1 16

B.

15 16

C.

31 32

63 64

7.已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) 对任意 x 都有

f ( + x) = f ( ? x ), 则 f ( ) 等于( ) 6 6 6
A. 2 或 0 B. ?2 或 0 C. 0 D. ?2 或 2

π

π

π

β ,给出下列四个命题 ①若 α // β , 则l ⊥ m ;②若 l ⊥ m, 则α // β ; ③若 α ⊥ β , 则l // m ;④若 l // m, 则α ⊥ β 其中正确命题的个数
是( A.0 9. 直线 y = ) B.1
2 2

8.已知直线 l , m, 平面α , β , 且l ⊥ α , m ?

C.2

D.3

3 x y x 与双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的交点在实轴上的射影恰为双曲线的焦 2 a b
( C. 2 2 D.4 ) B.2

点,则双曲线的离心率为 A. 2

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10. f ( x) = 设

2x 2 , g ( x) = ax + 5 ? 2a (a > 0) , 若对于任意 x1 ∈ [0,1] , 总存在 x0 ∈ [0,1] , x +1
( )

使得 g ( x 0 ) = f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围是

A. [ ,4]

5 2

B. [4,+∞ )

C. ? 0, ? 2

? ?

5? ?

D. ? ,+∞ ?

?5 ?2

? ?

二.填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.下图是样本容量为 200 的频率分布直方图。 根据样本的频率分布直方图估计,样本数 据落在(6,10)内的频数为 ,数据落在(2,10)内的概率约为 。.

? x + y ≥ 2, ? 13.若实数 x, y 满足不等式组 ?2 x ? y ≤ 4, 则 2 x + 3 y 的最大值是 ? x ? y ≥ 0, ?

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12.如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是 。

14.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,则所选 3 人中恰有 1 名女生的概率 是 15.已知向量 a = ( 2 cos α ,2 sin α ), b = (3 cos β ,3 sin β ) 若向量 a 与 b 的夹角为 60° ,则直

1 1 = 0 与圆 ( x ? cos β ) 2 + ( y + sin β ) 2 = 的位置关系系是 2 2 16. 某纺织厂的一个车间有 n(n > 7, n ∈ N ) 台织布机,编号分别为 1,2,3, L , n ,该车间有技术
线 x cos α ? y sin α + 工人 n 名,编号分别为 1,2,3, L , n .定义记号 aij ,如果第 i 名工人操作了第 j 号织布机,此时规 定 a ij =1, 否则 a ij =0. 则下列命题中所有正确的是 ①若第 7 号织布机有且只有一人操作,则 a17 + a 27 + a37 + L + a n 7 = 1; ②若 a11 + a12 + L + a1n + a 21 + a 22 + L + a 2 n = 2 ,说明第 1、2 号工人各操作一台织布机; ③若 a11 + a12 + L + a1n + a 21 + a 22 + L + a 2 n = 2 , 说明第 1、 号织布机有两个工人操作; 2 ④ a31 + a32 + a33 + L + a3n = 2 ,说明 3 号工人操作了两台织布机.

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17. f (x) 上定义在 R 上的奇函数, 设 且当 x ≥ 0 时,f ( x) = x , ?x ∈ [?2 ? 2 ,2 + 若
2

2] ,

不等式 f ( x + t ) ≥ 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 三.解答题(共 72 分) 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = 2 cos (1)求 ω 的值;
2

ωx
2

+ cos(ωx +

π
3

) 的最小正周期为 π ,其中 ω > 0.
1 , c = 3, ΔABC 的 2

(2)在锐角 ΔABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A) = ? 面积为 3 3 ,求 a 的值。

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 = 3, 且 an +1 = 2 S n + 3 ;数列{ bn }为等差数列,且公 差 d > 0 , b l +b 2 +b3 =l5 .

(2)若

a a1 a + b1 , 2 + b2 , 3 + b3 成等比数列,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . 3 3 3

20. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、 F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:CD∥面 PAB; (2)求异面直线 EF 与 CD 所成角; (3)在 AD 上是否存在点 Q,使 QF⊥面 PBC,给出理由或证明.

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(1)求数列 {a n } 的通项公式;

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21. (本小题满分 15 分) 如图 1, 已知抛物线 C:y = 3 x ( x ≥ 0) 与直线 x = a . 直线 x = b (其中 0 ≤ a ≤ b )及 x
2

轴围成的曲边梯形(阴影部分)的面积可以由公式 S = b ? a 来计算, 则如图 2, 过抛物线 C:
3 3

y = 3x 2 ( x ≥ 0) 上一点 A(点 A 在 y 轴和直线 x=2 之间)的切线为 l, S1 是抛物线 y = 3x 2 与
切线 l 及直线 y = 0 所围成图形的面积, S 2 是抛物线 y = 3 x 与切线 l 及直线 x = 2 所围成
2

图形的面积,求面积 S1 + S 2 的最小值。

22. (本小题满分 15 分) 如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M (m,0)(m > 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为

2m ,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线. (1)求抛物线方程;
(2)若 m 为定值,求 ΔAOB 面积的最小值; (3)若 ∠AOB =

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y
A

2π ,求实数 m 的取值范围. 3

O M B

x

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2010 年全国统一高考学军中学模拟考试 数学(文)答案
1-10 11.64 BDACC 0。4 CDCBA 12. 16.①④

3 π 6

13.20

14.

3 5

15. 相离 17. [ 2 ,+∞) 18. (1) ω = 2

(2) a = 13

19. (1) a n = 3n (2) bn = 2n + 1 ? Tn = n + 2n
2

20.解析(1):∵CD∥AB,AB ? 面 PAB,CD ? 面 PAB, ∴CD∥面 PAB (4 分) (2) ∵CD∥AB,CD⊥PD ∴CD⊥面 PAD, ∴CD⊥PA,又 EF∥PA ∴EF 与 CD 所成角为 90° (8 分) (3)当 Q 是 AD 中点时,有 QF⊥面 PBC. 取 PC 中点 K,连 DK,FK,则 DK⊥面 PBC. 又 FK∥AD,FK=AD, ∴QF∥DK ∴QF⊥面 PBC (12 分) 评析:(3)中是探索使结论成立的充分条件,只要证明当 Q 为 AD 中点时,满足题意即 可。 21.解:设切点 A 的坐标为 ( a,3a ) , 则 y′ |x = a = 6a 所以切线 l 的方程为:
2

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(1 分)

y ? 3a 2 = 6a( x ? a ) ,令 y = 0
得x=

a 2 ,令 x = 2 得 y = 12a ? 3a , 2
3 3

(3 分)

所以 S1 + S 2 = 2 ? 0 ? 记 f (a) = ?

1? a? 3 3 2 2 ? 2 ? ? (12a ? 3a ) = ? a + 6a ? 12a + 8 , 2? 2? 4
(5 分)

3 3 a + 6a 2 ? 12a + 8 , 4

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3 3 a + 6a 2 ? 12a + 8 在 a ∈ [0,2] 时的最小值, 4 9 2 9 2 因为 f ′(a ) = ? a + 12a ? 12 ,由 ? a + 12a ? 12 = 0 4 4
则转化为求 f ( a ) = ? 解得 a =

(7 分)

4 ? 4? 8 或 a = 4 ,因为 f (0) = 8 , f (2) = 2 , f ? ? = . 3 ? 3? 9 4 8 8 , f ( a ) 取得最小值 .,因此面积 S1 + S 2 的最小值 3 9 9
2

(9 分)

所以当 a =

22.(1)设直线 AB 方程为: x = ky + m ,抛物线方程为: y = 2 px( p > 0) , 由 ?

? y 2 = 2 px ? x = ky + m

得, y ? 2 pky ? 2 pm = 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则有 ?

? y1 + y 2 = 2 pk , ? y1 y 2 = ?2 pm

由题意, | ?2 pm |= 2m ? 2 p = 2 , 故所求抛物线方程为: y = 2 x ;
2

(3) cos ∠AOB =

OA ? OB
| OA | ? | OB |

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(2) S ΔAOB =

1 1 | OM || y1 ? y 2 |= m 4k 2 + 8m ≥ m 2m 2 2

=

x1 x 2 + y1 y 2
2 2

( x + 2 x1 )( x + 2 x 2 )
2 1

=

1 =? , 2 2m 4k + 8m
2

3 ( m 2 ? 2 m)



?0 < m < 2 2 ?0<m≤ ? 2 2 3 ?3m ? 20m + 12 = 4k ≥ 0

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