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数学创新方法漫谈(二)——归纳法和类比法


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第 2 O卷 第 2期  20 0 6年 4月  

高 等 函授 学 报 ( 自然 科 学 版 )  
J u n lo  g e  r e p n e c  u a in Na u a  ce c s  o r a  fHih rCo r s o d n eEd c to ( t r lS in e )

Vo . 0 NO 2 12   .   Ap i 2 0   rl 0 6  

文 章 编 号 :0 6— 7 5 2 0 0 10 3 3(0 6) 2— 0 1 ( 4) 0   050 一 4

数 学 创 新 方 法 漫谈 ( ) 二  
— —

归 纳法 和类 比法 

陈 志云  郭 朋 贵  蒋 永 红  , ,
(I 中师 范 大 学  数 学 与 统 计 学 院 , 1华 武汉 4 0 7 ;. 南 民族 大 学  预 科 部 。 汉 3092中 武 40 7 ) 3 0 4 

摘 要 : 纳 法 和 类 比 法 是数 学创 新 的基 本 方 法 。 文在 给 出 归 纳 法和 类 比 法 定 义 的 基 础 上 , 归 本 分  析 了其 在数 学 学 科 发 展 中 的重 要 作 用 , 从 学 生 创 新 的 角度 出发 。 绍 了利 用 归 纳 法 和 类 比 法 进  并 介 行数 学 创 新 的 基 本 途 径 。   关键词 : 归纳 法 ; 比 法 ; 学创 新 ; 学 创 新 方 法  类 数 数 中 图 分 类 号 : 6 36 G 3 .  文献 标 识 码 :   A

数学 家拉 普拉 斯 曾说 过 : 数 学本 身赖 以 获  “ 得 真理 的重 要 手 段 就是 归 纳 和 类 比 。 ”在人 类 的  认 识活 动 中 , 人们 常 常 通 过 事 物 的个 性 来 认 识 事  物 的共性 , 通过 特殊 结论 归 纳 出一般 结果 , 或者 通  过两事 物 的类 比发 现 一事物 的某一 特性 。 因此 , 归  纳法 和类 比法是数 学 中两个 常 用且 重要 的思想 方  法 , 数学 发现 和创新 的有 效方 法 。 是   1 归纳法 和类 比法  .
归 纳 法 也 称 归 纳 推 理 , 指 由 个 别 到 一 般 的  是

f 一 53十   。   ’   f f十 f 

4 1— 4 9+ 7+ 5— 2 7+ l 9+ 5 6 4 5 9  

等 个别例 子看 出 , 每次 相加 的三 个数 都是 素数 , 于 
是 提 出猜 想 : 所有 大 于 5的奇 数都 可 以分 解 为 三  个 素数 之 和 。 欧拉 在此 基 础上 补 充 提 出 : 4以后 的 

每 个偶 数都 可 以分 解 为 两个 素 数 之 和 , 二 者后  这
来 即称 为歌 德 巴赫 猜 想 。 又例 如 欧 拉 的 多 面 体公  式, 最初 在考 虑 了 如表 l所 示 几 种 特 殊 多 面 体 的  面数 、 顶点 数 和 棱 数 之后 , 通过 归 纳 得 出猜 想 : 4  5  6  对  于 任何 多面 体 , F+V— E+2 即面 数加 顶点 数  有 , 等于棱 数 加 2 .  
表 1  
多 面 体 
三 棱 锥  四 棱 锥  三 棱 柱  五 棱 锥  立 方 体 
正 八 面 体 
0  

推 理方法 , 即从几 个 单 称 判 断 或 特 称 判 断 ( 提 ) 前  
得 出 一 个 新 的 全 称 判 断 ( 论 )的 推 理 。 根 据 考  结 它

察 分析 的对象 是否完 全 而分 为完全 归 纳法 和不完 
全 归纳法 。 完全 归 纳 法 是指 通 过 考 察 一 类事 物 的 

面(   F)

顶点(   V)

棱(   E)

全 体对 象 , 定它们 都具 有某 一 属性 , 而作 出这  肯 从 类 事物 都具 有这一 属性 的一 般性 结论 的 归纳推理 
方法 。 不完全 归纳 法 是 根 据 考 察 一类 事 物 的部分  对 象具 有某 一属性 , 作 出该 类 事物 都 具 有 这 一  而 属性 的一般 结论 的归 纳推理 方法 。 数学 创新 中 , 在  

经常 使用 的是不 完全 归纳 法 。  
归 纳 法 在 数 学 发 现 中 起 到 了 举 足 轻 重 的 作 

五 棱 柱 

截 角 立 方 体 
“ 顶 ”体   塔

用, 数学 中 的许 多 定 理 、 想都 是 归 纳 总 结 出来  猜
的。 如著名 的歌 德 巴赫 猜 想 ,9 2年 , 国数 学 家  17 德 歌德 巴赫 根据 奇数 

但是 , 轮 胎状 ”镶嵌 画用 的框 架 多面体 出  当“

现后 , 述猜 想 就 不 成立 了 。 时 , 通 过 归纳 研  上 这 再



收 稿 日期 :0 6 0 — 0  20 — 1 5 作 者 简 介 : 志 云 (9 7 陈 1 4 一  ) 男 , 教授 。 要 从 事 数学 教 育 论 教 学 及 其 研 究 工 作 。 , 副 主  
1  5

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J u n lo  ih rCo r s o d n eEd c t n Na u a  ce c s  o r a  fH g e  r e p n e c   u a i ( t r lS in e ) o

Vo . O No 2 I2   .  

Ap i 2 0   rl 0 6  

究 , 出新 的猜 想 : 何 凸 多面 体 的面 、 得 任 顶点 和 棱  的 数 目, 足关 系式 F 满 +V— E +2 即得 到大 家肯  . 定 的欧拉 多面 体公 式 。   归 纳法 在数 学 的发展 中也 是功 不 可 没 的 。 例  如, 人们 看到 一元 二次方 程可 以用 根式求 解 , 三次  和 四次 方 程也 能 用 根 式 求解 , 是 猜 想 一般 的  于 次 方程 也一定 能用 根 式 求 解 , 而 这 一 猜 想是 不  然 正 确的 。 了否定 这 一 猜 想 , 罗 瓦创 立 了 群论 , 为 伽   阿贝尔 证 明了五 次及 五次 以上方 程一般 不 能用根 
式求 解 。  

上 画 出的直 角三 角形分 别 相似 于 以其两直 角边 为 
斜 边所 画 出的两 个 直 角三 角 形 , 显 然整 个 三 角  且

形 的面积 等于他 的 两 部分 面 积之 和 。 而勾 股 定  从
理 得证 。  

从 数 学史 上 可 以看 出 , 比推 动 了数 学 的发  类 展 。 柯尔 莫戈 洛夫 的公 理化概 率 论 , 尔莫 戈洛  如 柯 夫将 概率 和测度 做 类 比, 概 率 看 作 抽 象 的事 件  把 空 间 中事 件集上 的可 数 可 加 测 度 。 率 与 直线 上  概
的测 度对应 关 系如 表 2 .  
表 2  
直 线 上 的 测 度 
全直线 Z  

所谓 类 比法是 指根 据两 个或 两类 事物在 某些  属 性上 都相 同或相 似 , 推 出 它们 在 其 它 属性 上  而 也 相 同 或 相 似 的 推 理 方 法 , 称 为 类 比或 类 比  也
推理 。  

概 率 
事 件 空 间 X 

点集 E  

事件 集 A  

E— r E ( 度 ) e ) (    
m( E )一    ( ) E  

A— P A ( ( )姆率)  
P( ( )   A。 )一  P( ) A  

数 学 中的许 多定 理 、 式 及 其证 明都 是 靠类  公 比获得 的 。 如 , 拉 借 助 类 比发 现 了无 穷级 数  例 欧
∞  
.  

E    n E 

A,n A   

∑  的 他 数方 。 n - : +   1 和, 拿代 程口+   t z …+ x-   a
^ l ¨  =
一   一

由于这 样 的类 比关 系 , 率 论 依 托勒 贝 格发  概
展 起来 的实 变 函数 论 才 获 得 长 足 的发 展 。 四元  而 数 则是 直接类 比二元数 建构 的结 果 。   由上可 知 , 纳 法 和类 比法 是 数学 发 现 的基  归

3  

—5  

口  0 三 方 i 一 或  +   一 = 与 角 程sx 0 亍一  一 z n


7  

1  

J + … = 0 比, '   类 从而得到 1 4+… 一 n. +÷      又 
如波利 亚通过 类 比获得 了勾 股定 理 的一个 美妙 证 
明 。 证明 如下 : 其  

本 方法 , 数 学创 新 中起 着重 大 作 用 。 仅 如此 , 在 不   归纳法 和类 比法 在培 养 学 生 的 创 新 意识 、 新 精  创
神 和创 新能 力方 面 也起 着 重 要 的作 用 。 面 从 学  下 生 创新 的角 度 , 论 述 利 用 归 纳 法 和类 比法 进 行  来 数 学创 新 的一些 途径 。  

比建构 更 
遍 化命题 
B   D   c 

2 运 用归 纳法进 行数 学创 新 的途径  . 在 数学 学 习 中, 由一 些 例题 的解 法 归纳 出这 

(   2)

() 3 

类 问题 的 一般解 法 和 公 式 , 通 过 一 些 具 体数 据  或
的计算 结 果来推 出一 般数 学规 律等 , 对学 生来说 ,   都 是一 种创 新 。 面 介绍 两 种 应 用 归 纳 法进 行 数  下 学 创新 的途 径 。  

图 l  

在 图 11 ( )中 , 直角 三角 形 的边长 分别 为 口 b  ,,

c分 别 在 其 三 边 上 各 做 一 个 正 方 形 , 面 需 要  , 下
证 明 

2 1分 类考 查所有 的对 象 , . 得到 一般 性 的结论 
依 据 创新 层 次 , 生通 过 研 究得 出教 材 中 的  学

口  = b + c    

①.  

定理 、 式等 , 公 也是 一 种 创 新 。 当我们 全 面 考查  而
了一些 对 象的 属性 后 , 可 能 归纳 出相 应 的 定理  就 或结论 。 如考查 锐角 三角 形 、 直角 三角形 和钝 角三 

图 12 ( )中 , 画在 斜边 上 的任意 多边形 的 面积  为  。 由其 画在三 角形边 a b c 的三个 多边 形  , ,, 上

的相 似 性 , 得 三 个 多 边 形 的 面 积 分 别 为  可
,   .

,  

角形 的三 条高 线后 , 发现 它们 都交 于 一点 , 而 推  从 出三 角形 的高 线交 于一 点 ; 如通 过 对 圆周 角 不  又 同情 况 的考查 发现 , 当圆 心 在 圆 周 角 的一 边 或 圆 
心在 圆周 角 的内部 或 圆心 在 圆 周 角外 部 时 , 圆周 

假设 ① 正 确 , 下面 的方程 也是 正确 的 : 则  
:  +  .  

现在 只需 找到 图 1 2 ( )的一 个 合 适 的 特 殊 化 

情形 , 即图 1 3 . 图 1 3 中 , ()在 ( ) 在直 角三角 形斜 边 
】  6

角 的度数 等于 它所 对 弧 的 度数 的一 半 , 于是 归 纳 

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Vo . O N o 2 I2   .   Ap i 2 0   rl 0 6  

出圆 周角 的度数 等于 它所 对弧 的度数 的 一半 。  
分类考 查 所 有 的对 象 , 完全 归 纳 法 , 即 它  得到的结论是 准 确 的 , 需 要 另外 加 以验证 。 不  

归 结为 明确 的概念 , 而建构 其 它一致 之处 。 从 下面  介 绍 几 种 常 见 的 使 用 类 比 法 进 行 数 学 创 新 的 
途径。  

但 在 使 用 完 全 归 纳 法 进 行 数 学 创 新 时 , 注 意  应 被研 究 对 象 的 数 量 或 者 种 类 不 能 太 多 , 且 被  并
研 究 的 所 有 对 象 的 共 同 属 性 必 须 是 这 类 对 象  所 固有 的 属 性 。   2 2有 目的 的考察 部分 对 象 , 出猜 想  . 得 很 多命 题 或定理 所包 含 的对象 是不 明确 或是 

3 1数与 形的 类比 , . 获得 解题途 径 

坐标 系的建立 , 数形 之间架 起 了一 座桥梁 , 在  
开 辟 了新 的解 题思 路 , 从而 可 以用 图形 描述 数式 ,  

用 数 式解 释 图形 。 通过 数形 类 比 , 以化 繁 为 简 , 可  
从 而 获得解 题途 径 。  

例 2  

求 函 数 ,  )一  ̄  一 2 ( / 。  +2+ 

很 多的 , 时 , 以通 过 考查 其包含 的部 分对 象发  这 可
现规 律 , 而猜 想发 现新 的结 论 。 从   例 1   大值 。   分析  该 题若 直 接 考 虑 求 平 面 上 ,条 直线  l 求 平 面 上 ,条 直 线 交 点 个 数 的 最  l

 ̄  + 2 2的最小 值 。 / 。  +  
分析  本 题直接 用 函数表 达式 求 , ) ( 的最 
小值 不容 易 , 因为 对 二次 根 式 之 和 进 行 变 形 比较  困难 。 ,  ) 从 ( 的表达 形式 上发 现 它与坐 标平 面 内 

两点 间距 离 的表达 式 很 相 似 , 于是 可 构 造 几 何 图 
形来 解决 。   解  把 函数 ,  )的表 达式 变形 得  (

交 点 的个 数 , 似乎 很难下 手 。 可通 过 图 2归 纳平面 
上 ,条 直线 的最 多交点 个 数 。 l  

×

 
图 2  

≯  



厂 )=  ̄ 一 2 ( /    + 2+ ~  + 2 /  + 2  


 ̄( /  一 1 + ( 1 。 ) O一 )  

十  
由上面 的情形 可 以看 出 , 增加一 条 直线 , 每 交  点至 多增 加 ( ~ 1 个 , 而猜想 平 面上 ,条直 线  , l ) 从 l
交点个 数 的最 大值 为 
1+ 2+ 3+ 4+ … + (l 1 ,一 )一 型 墨 
.  

干 

F 可

 

所 以 ,  )表示 动点 ( O (  , )与两 定点 A( ,) 1 1 

与 B( , ) 一1 1 的距 离之 和 。 由于两 点 A, B在 轴 同 
侧 ( 方) 因此根 据 平 面几 何 知 识 , 得 A( ,) 上 , 可 1 1  关 于  轴 的对 称点 A ( , 1 ,   1 一 ) 则 
,  )i I B I (    一     A   
一 、 ( + 1  + ( 1一 1   /  ) 一 )

由得 到猜 想 的过程 , 容易 证 明上述 猜想 。 很  
需要说 明 的 是 , 用 不 完全 归 纳 法 发 现 的结  运



2  

.  

3 2低 维到 高维类 比 , 到新 的数 学概 念 和命题  . 得

论不 一定可 靠 , 完全 归 纳 法 不 能 作 为严 格 的证  不
明方法 。 例如 , , = 2  F( ) 1 。+1 称为 费尔 马数 , 费尔 
马 发 现 7= 1 2 3 4时 , 1 " / ,, , F( )= 5 F( )= 1 , , 2 7 

立 体几 何 研 究 的 是 空 问 图形 的 性 质 和 应 用  等 , 然研究 的对象从 平 面扩展 到 了空 问 , 仍有  虽 但 许 多东西 和平面 几 何 相 同或 相 似 , 过 与 平 面几  通
何 的类 比 , 会发 现空 间图形 的很 多性 质 。 如在 二维 

F( )= 2 7 F( )= 6 5 7均 为素 数 , 是 他得  3 5, 4 53 于
出结论 : 所 有 形 如 F(1 “ , )= 2 + 1的 数 均 为素  。 数 ” 但不久 欧 拉 发现 F( )= 6 1× 6 0 4 7 即  。 5 4 70 1 , 是说 F( )不是 素数 , 5 因而 推 翻 了上 述猜 想 。   3 运用 类 比法 进行数 学 创新 的途 径  . 波 利亚在《 怎样解 题 》中指 出“ 比是 一个 伟  类 大的引 路人” 在提 出猜 想 的过 程 中 ,每 当理智缺  。 “

空 间中有 著名 的“ 股定 理 ” 即直 角 三 角 形 两直  勾 , 角边 的平方 和等 于 斜边 的平 方 。 类 比的 方法 在  用 三维 空 间中可得 类 似命 题 : 四面 体 三 侧 面 面 积  直
的平 方 和等 于底 面 面 积 的平 方 。 间 的 四 面 体 与  空 平面 上 的三角形 有 一致之 处 : 平面 之 于空 间( 一  低 维 ) 似 直 线 之 于 平面 ( 一 维 ) 四面 体 是 由 空  恰 低 , 问 中最少 数 目的平 面 围成 的 有 限几 何 体 , 三 角  而 形是 由平 面上 最 少 数 目的直 线 围 成 的 有 限 图形 

乏可靠 论证 的思路 时 , 比这个 方 法 往 往 能 指 引  类 我们前 进 。 ”从某 种 意 义 上 讲 , 比是 一 种 相 似 , 类  
它把在 某些 方面 彼此一 致 的相似 对象 的一 致之处 

故 四面体 在空 问 的地 位与 三角 形在平 面 上的地 位 
】  7

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Vo . O NO 2 12   .  
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是一 致 的 , 或者 说在 这一 点上 是相 似 的 , 它们 具 有 
类 比关 系 。  

l fxd   l () d(<6 的证法为:   ()xl I   ≤I 厂z lxa )    
J  d  J 口  


因此 , 可以根据 三角 形 的有关 概念 、 质类 比  性

l ( )l 厂 z ≤ l ( )l 厂z ≤ () 厂z ,  
r6  

推 理 出四 面 体 的 相 应 概 念 、 质 。 直 角 三 角 形  性 如
些一 三直 四面体 ; 三 角形  正 一 等面 四面 

由定 积分 单 调性得 
r  6


J  d 

I I ()Ix≤ I ()x   厂z   d 厂 zd 
J    d

体 ;  ̄g -  ̄内切 圆( 内心 ) — 

四面 体 内切 球 
所 以 
r6  
J n  

r6  

≤ I 厂 z   x a< 6 ,  l ( )l ( d ) 
J  

( 内心 ) 三 角形 外 接 圆 ( 心 ) ; 外 — _  四面 体 外  上 ! 接球 ( 心 ) 外 ;顶 点 到 对 边 中 点 的 连 线 ( 心 ) 重  
一 顶 点 到 对 面 重 心 连 线 ( 心 ) i -  ̄ 形  重 ;E-

r6  
J  4 

  ()xl   厂 z   ( l 厂 z d ≤ I l ( )lxa< 6. I d )  
通 过归 纳法 和类 比法进 行数 学创新 的途径 还 

三 心重 合 

等面 四面体 三 心重 合等 等 。  

3 3有 限到无 限的 类比 , . 获得 新 的命 题 和 结论  微 积分 的建立 , 得 对数 学 的研 究从 有 限扩  使 展 到无 限, 通过有 限 和无 限的类 比 , 会获 得许 多新 
的 有 用 的定 理 和 结 论 。  

有 很多 , 于篇 幅 , 限 此处 不 再 一一 赘 述 。 得 注意  值 的是 , 两种 方法 除 了完全 归纳 法之外 , 不是证  这 都
明方法 , 所得 结论 尚需 证 明 , 特别 要注 意 防止错 误 

类 比, 如把有 限项 的加 法 法 则类 比到 无 限项 的 加 
法 上就 是错 误 的类 比。   综 上所 述 , 归纳 法 和 类 比法 在数 学研 究 及 解  题 中均 有着 重要 的地 位 和作 用 , 理 利 用 这 两 种  合 方法 , 可使学 生 在学 习数 学 的 过程 中发 现 更 多 的  问题 、 决更 多 的问题 , 而培养 学生 的创 新意识  解 从 和创新 精神 , 发展 创新 能力 。  
参 考 文 献 

在有 限和 中 , 的绝对 值不 超过 绝 对值 的和 , 和  

即  

l nl ∑ l . ∑  ≤   1 n  
作为无 限 和的定 积分 中用 类 比方法 得到定 积 

分 的绝对值 不超 过 函数绝 对值 的定 积分 , 即 
r  6
J  d 

r6  
J d 

I 厂 zd ≤ I I ()I xa< 6.   ( )xI   厂z   ( I d )  
不仅命 题可 以用 类 比 的方 法 得 到 , 们 的证 明方  它
法 也 可 以用 类 比推 理 得 到 。  
[]G 波 利 亚 著 . 学 与 猜 想 ( 一 卷 ) 数 学 中 的 归 纳  1 . 数 第 一
与类 比 [ . 京 : 学 出 版 社 .94 M] 北 科 18.   [] 张 奠 宙 , 伯 祥 著 . 学 方 法 论 稿 [ . 海 : 海 教  2 过 数 M] 上 上
育 出 版 社 。9 6 19 .  

l nl ∑ l  的 ∑  ≤   l 证法为: n  
f 1 一  


f l 三  

l f ≤ n ≤ l   ( 一 1 2 3 ,) 各不等  口 l     l    n , ,… , , 2

式 相加得 


[] 钱 骊 玲 。 光 华 编 著 . 学 思 想 方 法 与 中学 教 学 [ . 3 邵 数 M]  
北 京 : 京 师范 大 学 出版 社 。9 7 北 19.  

∑ 
f 1 =  

l ∑n≤ ∑ l l ≤     , n    
f 1 =   i 1 一  

[] 王 宪 昌 主编 . 学思 维 方 法 [ . 京 : 民教 育 出版  4 数 M] 北 人
社 , 0 2  20.

所以 l nl ∑ l . 得到 ∑  ≤   1 n 类比  

[3 ( )卡茨 著 . 文 林 。 建 成 。 鸣伟 等 译 . 学 史 通  5 美 李 邹 胥 数 论 [ . 京 : 等 教 育 出版 社 。0 4 M] 北 高 20.  

1  8


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