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【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业:12.3 变量间的相关关系与线性回归方程]


1.两个变量成负相关关系时,散点图的特征是 ( ) A.点分布在从左下角到右上角的区域 B.散点图在某方形区域内 C.散点图在某圆形区域内 D.点分布在从左上角到右下角的区域 解:正确的只有 D 选项.故选 D. 2.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法 正确的是( ) A.都可以分析出两个变量的关系 B.都可以用一条直线通过近似表示两者关系来 估计总体的均值 C.都可以作出散点图 D.都可以用确定的表达式表示两者的关系 解:任两个变量均可作出散点图,从散点图上看 有相关关系的才具有分析的价值,无相关关系的则作 不出什么结论.故选 C. 3.下列命题: ① 任何两个变量都具有相关关系; ② 圆的周长与该圆的半径具有相关关系; ③ 某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性 关系; ④ 根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意 义的; ⑤ 两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非 确定性问题转化为确定性问题进行研究. 其中正确的命题为( ) A.① ③ ④ B.② ④ ⑤ C.③ ④ ⑤ D.② ③ ⑤ 解:由于散点图可能是无线性相关关系的两个变 量的散点图, 因此可能得出无意义的回归直线方程. 回 归方程的意义在于把具有相关关系的量化为确定性问 题进行研究.故选 C. 4.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关 于其相关系数比较,正确的是( )

解: 由相关系数定义及散点图所表达含义可知 r2<r4<0<r3<r1,故选 A. 5.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零 件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,根据收集到 ^ 的数据(如下表), 由最小二乘法求得回归方程y=0.67x +54.9. 零件数 x 10 20 30 40 50 加工时间 y(min) 62 & 75 81 89 现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出 该数据的值为( ) A.67 B.68 C.69 D.70 1 ^ 解: x = × (10+20+30+40+50)=30,由于y= 5 0.67x+54.9 必过点( x , y ),∴ y =0.67× 30+54.9= 75,因此图表中的模糊数据为 75× 5-(62+75+81+ 89)=68.故选 B. 6. 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10, 1), (11.3, 2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对 应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5, 2),(13,1).r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( ) A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1 解: 对于变量 Y 与 X 而言, Y 随 X 的增大而增大, 故 Y 与 X 正相关;对于变量 V 与 U 而言,V 随 U 的 增大而减小,故 V 与 U 负相关,故 r2<0<r1.故选 C. 东北模拟)某市物价部门对本市的 5 家商 7. (2012· 场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,得到售 价 x(元)和销售量 y(件)之间的一组数据如下表: 价格 x 9 9.5 10 10.5 11 销售量 y 11 10 8 6 5 由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较好的 ? =-3.2x 线性相关关系,其线性回归直线方程是: y +a,则 a=______. 9+9.5+10+10.5+11 = 5 11+10+8+6+5 ? 10,销售量的平均数 y = =8,由 y 5 解: 价格的平均数 x = =- 3.2x + a 知 b =- 3.2 ,所以 a = y - b x = 8 + 3.2× 10=40.故填 40. 8.某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿 子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的 身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方 法预测他孙子的身高为________cm. 解:根据题中所提供的信息,可知父亲与儿子的 身高的对应数据可列表如下: 父亲的身高(x) 173 170 176

A.r2<r4<0<r3<r1 C.r4<r2<0<r3<r1

B.r4<r2<0<r1<r3 D.r2<r4<0<r1<r3

儿子的身高(y)

170
3 i ?1

176
i

182
i

?= ∴b x =173,y =176,

? ( x ? x)( y
3 i ?1 i

? y)

2

8 解:(1)按性别比例分层抽样,应选男生 15× = 40 8 3(人),选女生 25× =5(人). 40

? ( x ? x)

3× 6 ? x =176-173=3. ? = y -b =1, a (-3)2+32 ? =x+3,从而可预测他孙子 ∴ 回归直线方程为 y 的身高为 182+3=185(cm).故填 185. 9.假设关于某种设备的使用年限 x(年)与所支出 的维修费用 y(万元)有如下统计资料: x y
5

2 2.2

3 3.8
5

4 5.5

5 6.5

6 7.0

(2)以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标 作散点图如图所示. 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附 近, 并且在逐步上升, 故物理与数学成绩线性正相关. ? =bx+a, 设 y 与 x 的线性回归方程是 y 根据所给

已知

? xi2 =90, ? xi yi =112.3.
i ?1 i ?1

? ≈0.65, a ? ≈34.5, 的数据,可以计算出 b ? =0.65x+34.5. 所以 y 与 x 的回归方程是 y
11.某公司利润 y 与销售总额 x(单位:千万元) 之间有如下对应数据: x y 10 1 15 1.3 17 1.8 20 2 25 2.6 28 2.7 32 3.3

(1)求 x , y ; (2)如果 x 与 y 具有线性相关关系,求出线性回归 方程; (3)估计使用年限为 10 年时, 维修费用约是多少? 2+3+4+5+6 解:(1) x = =4, 5 2.2+3.8+5.5+6.5+7.0 =5. y= 5

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)估计销售总额为 24 千万元时的利润. 参考数据:

?= (2) b

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5x y ? 5x
2

? xi2 =3447, ? xi yi =346.3.
i ?1 i ?1

7

7

?x
i ?1



2 i

112.3-5× 4× 5 =1.23, 90-5× 42

解:(1)散点图如图所示:

? x =5-1.23×4=0.08. ? = y -b a ? =1.23x+0.08. 所以线性回归方程为 y ? =1.23×10+0.08=12.38(万元), y (3)当 x=10 时,
即估计使用年限为 10 年时,维修费用约为 12.38 万元. 10.某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分 析,决定从全班 25 名女同学,15 名男同学中随机抽 取一个容量为 8 的样本进行分析. (1)如果按性别比例分层抽样,应选男女生各多少 人; (2)随机抽取 8 位同学的数学、 物理分数对应如表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 根据上表数据用散点图说明物理成绩 y 与数学成 绩 x 之间是否具有线性相关性?如果具有线性相关 性,求出线性回归方程(系数精确到 0.01);如果不具 有线性相关性,请说明理由.

1 (2) x = (10+15+17+20+25+28+32)=21, 7 1 y =7(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,

?= b

?x y
i ?1 7 i

7

i

? 7x y ? 7x
2

?x
i ?1

2 i

346.3-7× 21× 2.1 = ≈0.104, 3447-7× 212

? x =2.1-0.104×21=-0.084, ? = y -b a ? =0.104x-0.084. ∴y ? = 2.412(千万 (3) 把 x= 24(千万元 ) 代入方程得 y
元). ∴ 销售总额为 24 千万元时,估计利润为 2.412 千 万元. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感 冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院

抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感 冒而就诊的人数,得到如下资料: 1月 2月 3月 4月 5月 6月 日期 10 号 10 号 10 号 10 号 10 号 10 号 昼夜温 10 11 13 12 8 6 差 x(℃ ) 就诊人 22 25 29 26 16 12 数 y(个) 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据 中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再 用被选取的 2 组数据进行实验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程; (3) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出 的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性 回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是 否理想? 解:(1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件 A,因 为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 C2 每 6=15 种情况, 种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两个数据的 5 1 情况有 5 种,所以 P(A)= = . 15 3 (2)由数据求得 x =11, y =24. ? =18. 由公式求得 b 7

? ? = y -b 再由 a

? =- . x ,求得 a 7

30

18 30 ? = x- . 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y 7 7 150 ?150 4 ? = ,? 7 -22? (3)当 x=10 时, y ?=7<2; 7 78 78 6 ? = ,? -12?= <2. 当 x=6 时, y ? 7 7 ?7 所以,该小组所得的线性回归方程是理想的.


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