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安徽省淮南第二中学2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


淮南二中 2015 届高三第三次模拟考试 数学试题(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 4 ? 2i(i 为虚数单位) ,则 | z |? ( ) A.

10

B.
<

br />5

C.
x

3
2

D.

2

2.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 A A. x x ? 0 B. x 1 ? x ? 2 C.

? ? ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?

?

?

?

D.

? ? ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?
) D.

?

CR B ? (
开始



i ? 1, S ? 0
ai ? sin i ?? 3

3. 执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为( 3 A. ? 3 B. C. 0 2

3

S ? S ? ai

i ? i ?1


4. 下列说法正确的是( ) A. 采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16,27,38,49 的同学均被选出,则该班学生人数可能为 60 B. 在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若 X 在 (0,1) 内取值的概率为 0.4,则 X 在 (0, 2) 内取值的概率为 0.8 C. “ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的充要条件
2

i ? 8?
否 输出 S 结束
第 3 题图

D. “ ?x ? 2 , x ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定 是“ ?x0 ? 2, x0 - 3x0 ? 2 ? 0 ” ..
2

2

5. 若当 x ? ( )

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin(x ? ? ) (A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

?
4

? x) 是

A.奇函数且图像关于点 ( C.偶函数且图像关于点 (

? ?
2 2

, 0) 对称 , 0) 对称

B.偶函数且图像关于直线 x ? D.奇函数且图像关于直线 x ?

? ?
2 2

对称 对称

6. 某几何体的三视图(单位: cm )如右图所示,其中侧视图是一个边 长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是( ) 3 3 A. 2??cm B. 3??cm C.

3??cm

3

D.

3 3??cm

3

1 1 正视图

2 侧视图

?x ? y ? 2 ? 7. 设不等式组 ? 所表示的区域为 M ,函数 y ? ?x ? y ? ? 2 ?y ? 0 ? ?

1 ? x2 的图

俯视图

第 6 题图

象与 x 轴所围成的区域为 N , 向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为(
-1-



? ? 2 C. D. 16 8 ? 2 P F C l l 8. 已知抛物线 : y ? 8x 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一
A. B. 个交点, 若 FP ? 3FQ ,则 | QF | =( A. ) C. 3 D. 2

? 4

5 2

8 B. 3

9.如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点, 若 P 为半径 OC 上的动点,则 的最小值为( )

(第 9 题图) A. 10. 已 知 函 B. 数 C.9 D.﹣9 奇 函 数 , 当

f ?x ?



R





x?0





f ( x) ?

1 (x?c o ? ? s x ? 2c o ? ? s 3c o ?) s 2

( ? ? ? ? ? ? ),若对任意实数 x ? R, 都有f ( x ? 3) ? f ( x)恒成立 , 则实数 ? 的取值范围是 ( ) A. ?? ? ,? 3 ? ? ?

?

2? ?

B. ?? , ? 6 6 ? ?

? 5? 5? ?

C. ? ,? ? ? 6 ?

? 5?

?

D. ?? , ? 3 3 ? ?

? 2? 2? ?

二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号 的 ....... 位置上) 11. 已知二项式 ( x ?
2

1 n ) 的展开式的二项式系数之和为 32 ,则展开式中含 x 项的系数是_ x


_. 12. 等差数列{an}的前 n 项和为 S n , a1 ? 0,3a7 ? 7a10 ,则当 S n 取最小值时, n = 13.已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1? t ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? 3 ? 2t

轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ,则直线 l 与曲线 C 相交的弦

长为__________. 14.将甲、乙等 6 名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,则甲、乙在同一
-2-

路口的不同的分配方案共有

种(请用数字作答)

15. 函数 y ? f ( x) 图像上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别是 k A , kB ,规定

? ( A, B) ?

| k A ? kB | 叫做曲线 y=f(x)在点 A 与点 B 之间的“弯曲度” ,给出以下命题: | AB |

①函数 y ? x3 ? x2 ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2 ,则 ? ( A, B) ? 2 ②存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x2 ? 1 上不同的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ; ④设曲线 y ? e x 上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? (A, B) ?1 恒成立, 则实数 t 的取值范围是 (??,1) .以上正确命题的序号为 。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x cos( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C ) ? ? 面积为 2 3 ,求边长 c 的值.

?
3

).

1 , a ? 2, 且 ?ABC 的 4

17.(本小题满分 12 分) 根据最新修订的 《环境空气质量标准》 指出空气质量指数在 0~50, 各类人群可正常活动. 某 市环保局在 2014 年对该市进行了为期一年的空气质量检测,得到每天的空气质量指数, 从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为 ?0,10? , ?10,20? ,

?20,30? , ?30, 40? , ?40,50? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.

(Ⅰ)求 a 的值;并根据样本数据,试估计这一年度的空气 质量指数的平均值; (Ⅱ)用这 50 个样本数据来估计全年的总体数据,将频率 视为概率.如果空气质量指数不超过 20,就认定空 气质量为 “最优等级” . 从这一年的监测数据中随机 抽取 2 天的数值, 其中达到 “最优等级” 的天数为 ? , 求 ? 的分布列,并估计一个月(30 天)中空气质量 能达到“最优等级”的天数.
第 17 题图

18.(本小题满分 12 分) 如图, 在矩形 ABCD 中,BC ? 2 ,E , F 分别为 AB , CD
-3-

P
D

F O B

C

A

E

的中点,且沿 AF , BF 分别将 ?AFD 与 ?BFC 折起来,使其顶点 C 与 D 重合于点 P ,若所 得三棱锥 P ? ABF 的顶点 P 在底面 ABF 内的射影 O 恰为 EF 的中点。 (Ⅰ)求三棱锥 P ? ABF 的体积; (Ⅱ)求折起前的 ?BCF 与侧面 BPF 所成二面角的大小.

19. (本小题满分 13 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 是等比数列,满足 a1 ? 3, b1 ? 1 ,

b2 ? S2 ? 10, a5 ? 2b2 ? a3.
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; ?2 ? , n 为奇数, (Ⅱ)令 cn ? ? S n ?b , ? n n 为偶数, 20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: (3,-1) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若动点 P 在直线 l : x ? ?2 2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M,N 两点,使得 PM=PN, 再过 P 作直线 l ? ? MN , 证明 : 直线l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标.

设数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,求 T2 n .

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 2 3 a b

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 2 x , g ( x) ? x2 ? (2 ? a) x ? (2 ? a)ln x ,其中 a ? R . (Ⅰ)判断 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 若函数 F(x)=f(x)-g(x)存在两个零点 m,n(0<m<n),且 2x0=m+n.问:函数 F(x)在 点(x0,F(x0))处的切线能否平行于 x 轴?

(3 (4

-4-

淮南二中 2015 届高三第三次模拟考试 数学试题(理科)参考答案
1-5 ADDBC ②③ 16.解析: f ( x) ? cos x(cos x cos 6-10 CABBD 11. 10 12. 11 13.

2 30 5

14. 150

15.



?

? 1 3 sin x sin ) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 cos(2 x ? ? ) ? 1 2 3 4 3 3 2 4
???????4 分 ???????6 分

(1) T ? ? ; (2) f (C ) ?

1 ? 1 1 ? ? cos(2C ? ) ? ? ? ,? cos(2C ? ) ? ?1,? C ? . ???????8 分 2 3 4 4 3 3
???????10 分

S

ABC

1 3 ? ab sin C ? ab ? 2 3,? ab ? 8, a ? 2,? b ? 4, 2 4

由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 12,?c ? 2 3.

???????12 分

17.解:(Ⅰ)由题意,得 (0.03 ? 0.032 ? a ? 0.01 ? 0.008) ?10 ? 1, 解得 a ? 0.02. ???????3 分 50 个样本中空气质量指数的平均值为 X ? 0.1? 5 ? 0.2 ?15 ? 0.32 ? 25 ? 0.3 ? 35 ? 0.08 ? 45 ? 25.6 由样本估计总体,可估计 2014 年这一年度空气质量指数的平均值约为 25.6 ????6 分 (Ⅱ)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 0, 20? 内为“最优等级” ,且指数达到“最 优 等 级 ” 的 概 率 为 0.3 , 则 ?
B( 2 , 0 .. ? 3 )的 可 能 取 值 为

0 , 1 ,

2,???????????????7 分
0 P(? ? 0) ? C2 (0.3)0 ? (0.7)2 ?

9 49 42 2 1 ??? (0.3)2 ? , P(? ? 1) ? C2 (0.3) ? (0.7) ? , P(? ? 2) ? C2 100 100 100

?10 分 ? ? 的分布列为:
?

0
49 100

1
42 100

2
9 100

P

???????11 分
E? ? 0 ? 49 42 9 ? 1? ? 2? ? 0.6 .(或者 E? ? 2 ? 0.3 ? 0.6 ), 100 100 100

???????12 分

设一个月(30 天)中空气质量能达到“最优等级”的天数为η ,则η ~B(30,0.3) 故一个月(30 天)中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为 Eη =30×0.3=9 天. ? 13 分

18. 【解】( I )依题设:

? PA, ? PF ? ?PF PF ? PB,

面 PAB

又依题设:O 为 EF 的中点,且 PO ? EF ? PE ? PF ,
-5-

故 ?PEF 是斜边为 EF ? 2 的等腰 Rt ? , 故 PO ? 1, PE ? PF ? 2 ,且 AB ? DC ? 2PF ? 2 2 , 又 ABCD 为矩形,且 E , F 为边的中点 EF ? AB , 故 VP ? ABF ?

1 1 2 2 。 S?ABF ? PO ? ? 2 2 ?1 ? 3 3 3

( II ) 因所求二面角与二面角 P ? BF ? O 互补,故先求二面角 P ? BF ? O 。 作 OH ? BF 于 H,连 PH , 则由 PO ? 面ABCD 知:OH 为 PH 的射影 ? PH ? BF ? ?PHO 为二面角 P ? BF ? O 的 平面角, 在 Rt ?PBE 中,由 PH ? BF ? PF ? PB 易求得: PH 故在 Rt ?PHO 中,由 sin ?PHO ?

?

2 3 ,又 PO ? 1 ,

? PO 3 ? ?PHO = , ? 3 PH 2
2? 。 3

由此即知二面角 C ? BF ? P 的大小为

z
D
(1, ? 2, 0) x

(II)设平面 PBF 与平面 BCF 的夹角为 ? , 并设其法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则由 BF ? (?2, ? 2,0) , PF ? (?1,0, ?1) , 以及 n ? BF ?

P (0, 0,1) F (?1, 0, 0) C B (1,
2, 0)

?

A

O E (1, 0, 0)

y

n ? PF

?n ? BF ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ?n ? PF ? ? x ? z ? 0 ?

? y ? ? 2 x, ? z ? ? x, ?

取 x ? 1 ,得平面 PBF 的一个法向量为: n ? (1, ? 2, ?1) ; 而平面 BCF 的一个法向量为: m ? (0,0,1) , 故由 cos? ? cos ? n, m ? =

1 ? ?? ? 。 2 3 2? 。 3

而所求二面角为钝二面角,故其大小为 ? ? ? ?

19.解析:(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,数列 {bn } 的公比为 q,则
?b2 ? S2 ? 10, ?q ? 6 ? d ? 10, ?d ? 2, 由? 得? 解得 ? ?q ? 2, ?a5 ? 2b2 ? a3 , ?3 ? 4d ? 2q ? 3 ? 2d , n ?1 所以 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 2 . (Ⅱ)由 a1 ? 3 , an ? 2n ? 1 得 Sn ? n(n ? 2) ,
? 2 , n 为奇数, ? c ? 则 n ? n(n ? 2) ?2n ?1 , n 为偶数, ?

???????4 分

1 ?1 , n 为奇数, ? ? c ? n n ? 2 即 n ? ? 2n ?1 , ? n 为偶数,

-6-

???????6 分
T2n ? (c1 ? c3 ? ? c2n?1 ) ? (c2 ? c4 ? ? c2n ) 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (2 ? 23 ? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

? 22n?1 )

???????9 分

?1?

2n 2 1 2(1 ? 4n ) ? ? (4n ? 1) ? 2n ? 1 3 2n ? 1 1? 4

???????12 分

9 1 20.解: (1)由题意知点(3,-1) 在椭圆 C 上,即 2+ 2=1, ① ??????????1

a

b

分 6 c a -b 6 2 2 又椭圆的离心率为 ,所以 2= 2 =( ) = ,② 3 a a 3 3
2 2 2 2 2

??????????3 分

联立①②可解得 a =12,b =4,所以椭圆 C 的方程为 + =1.??????????5 分 12 4 2 3 2 3 (2) 因为直线 l 的方程为 x=-2 2, 设P (-2 2, y0) , y0∈ (- , ) , ??????? 3 3 6分 当 y0≠0 时,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,显然 x1≠x2,

x2

y2

? ? x -x y -y y -y 1 x +x 联立? 则 + =0,即 =- · , 12 4 x - x 3 y +y x y + = 1 , ? ?12 4
+ =1, 12 4
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

x2 1

y2 1

???????8

分 又 PM=PN,即 P 为线段 MN 的中点, 1 -2 2 2 2 故直线 MN 的斜率为- · = , 3 y0 3y0 3y0 又 l′⊥MN,所以直线 l′的方程为 y-y0=- (x+2 2) , 2 2 3y0 4 2 4 2 即 y=- (x+ ) ,显然 l′恒过定点(- ,0) ; 3 3 2 2 ???????10 分 ???????9 分

4 2 当 y0=0 时,直线 MN 即 x=-2 2,此时 l′为 x 轴亦过点(- ,0) .???????12 3 分 综上所述,l′恒过定点(- 4 2 ,0) .???????13 分 3

21、解: (1)

f ( x) ? a ln x ? 2 x   ? f '( x) ?

a ?2 x ? a ?2 ? x x
-7-

∵x>0,∴ a ? 0时,-2x+a ? ??即f '(x)<0 当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( 4分 (2)∵ g ( x) ? x2 ? (2 ? a) x ? (2 ? a)ln x ,x>0 ∴ g '( x) ? 2x ? (2 ? a) ?

∴f(x)在(0,+ ? )上单调递减. ???????

a 2

a , +?) 上单调递减 2

2 ? a 2 x 2 ? (2 ? a) x ? (2 ? a) ,若 g '( x) ≥0,在 x>0 上恒成立, ? x x

则 2 x2 ? (2 ? a) x ? (2 ? a) ≥0 恒成立, ∴a≥6-2 ??x ? 1? ? 分 而当 x>0 时, ∴a∈ ?2,? ?? 8分 (3)设 F(x)在(x0,F(x0) )的切线平行于 x 轴,其中 F(x)=2lnx﹣x ﹣ax ?2 ln m ? m 2 ? am ? 0    ( 1) ? 2 2 ln n ? n ? an ? 0    (2) 结合题意,有 ? ? ? ?m ? n ? 2 x0       (3) ? ? 2 ? 2 x0 ? a ? 0    (4) ? ? x0 (1)﹣(2)得 2 ln
2

? ?

1 ? 恒成立。 x ? 1? ?

???????6

?x ? 1? ?

1 ? 2, x ?1
???????

m ? (m ? n)(m ? n) ? a (m ? n) n
???????9 分

m n ? 2x , 所以 a ? 0 m?n 2 由(4)得 a ? ? 2 x0 x0 2ln
?m ? 2? ? 1? m 2?m ? n ? n ? ? ? 所以 ln = (5) ???????10 分 m n m?n ?1 n m 2(t ? 1) ? 0(t ? (0,1)) 设 t ? ? (0,1) , (5)式变为 ln t ? n t ?1

2(t ? 1) 1 2(t ? 1) ? 2(t ? 1) ? t ? 1? ? 4t ? t ? 1? (t ? (0,1)) , h '(t ) ? ? ? ? ?0 设 h(t ) ? ln t ? 2 2 2 t ?1 t t ? t ? 1? t ? t ? 1? ? t ? 1?
2 2

所以函数 h(t ) ? ln t ?

2(t ? 1) 在(0,1)上单调递增,因此, h(t ) ? h(1) ? 0 , t ?1

m 2( ? 1) m   也就是 ln < n 此式与(5)矛盾。???????12 分 m n ?1 n
所以 F(x)在(x0,F(x0) )的切线不能平行于 x 轴
-8-

???????13 分

-9-

- 10 -


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